張繼紅，王瑞林

(大連交通大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 大連 116028)*

一種新的MQ徑向基函數(shù)擬插值格式

張繼紅，王瑞林

(大連交通大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 大連 116028)*

提出了一種新的MQ徑向基函數(shù)擬插值算法，給出了該格式的構(gòu)造原理及其性質(zhì)，并用它來(lái)逼近函數(shù).通過(guò)數(shù)值算例及與真實(shí)值的對(duì)比，驗(yàn)證了所提方法的有效性.提出的方法形式簡(jiǎn)單，不需要求解任何線性方程組，容易實(shí)現(xiàn)，且具有不錯(cuò)的逼近效果.

MQ徑向基函數(shù)；擬插值格式；數(shù)值逼近

0 引言

徑向基函數(shù)是處理多元問(wèn)題的一種有效的方法.實(shí)質(zhì)上，它是通過(guò)定義在[0,+∞)上的一元函數(shù)φ與Rd上的歐幾里德范數(shù)‖·‖2來(lái)表示d元函數(shù)φ(‖x-y‖2),其中x,y∈Rd，徑向基函數(shù)在數(shù)據(jù)擬合方面更是有著形式簡(jiǎn)單和精度高等優(yōu)點(diǎn).常見(jiàn)的徑向基函數(shù)有Kriging方法的Gauss分布函數(shù)和Markov分布函數(shù)及Hardy的MQ函數(shù)，而MQ徑向基函數(shù)作為數(shù)值性能最好的方法之一在數(shù)學(xué)領(lǐng)域受到了廣泛的關(guān)注.

在逼近論及其應(yīng)用中擬插值格式是一個(gè)非常用力的工具，能夠避免插值問(wèn)題所要面臨的求解大量線性方程組以及由此產(chǎn)生的病態(tài)問(wèn)題.MQ徑向基擬插值最早是由Beaston和Powell[1]在1992年提出的，他們給出了三種單變量MQ擬插值算子，分別叫LALB和LC，1994年Wu和Schaback[2]提出單變量的MQ擬插值算子LD，并且證明了這種格式有保形并且收斂.2009年Wu和Ma[3]構(gòu)建了新的MQ擬插值算子LE成功應(yīng)用到了Sine-Gordon方程中.

本文提出一個(gè)新的MQ擬插值算子.具體安排如下：首先介紹MQ擬插值格式的構(gòu)造及其性質(zhì)，然后用三個(gè)數(shù)值實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證這種方法的可行性，最后給出文章的結(jié)論及未來(lái)的工作方向.

1 MQ徑向基擬插值格式的構(gòu)造及其性質(zhì)

定義1 給出徑向基擬插值算子LN的如下表達(dá)式：

其中,

1.1 MQ擬插值格式的構(gòu)造原理

考慮

以及

那么

假設(shè)

則有

考慮

用左矩形公式近似積分：

因此

1.2 公式的性質(zhì)

可以證明LN具有保常數(shù)性和保單調(diào)性.

定理1LN保常數(shù)性.

證明：令f(x)=1,則格式LNf(x)=1，很容易被驗(yàn)證.

定理2LN具有保單調(diào)性.

證明： 等式(1)的一階導(dǎo)數(shù)如下：

因?yàn)?/p>

2 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

通過(guò)數(shù)值算例給出該MQ擬插值格式對(duì)函數(shù)的數(shù)值近似情況，用三個(gè)算例來(lái)驗(yàn)證方法的有效性.首先考慮函數(shù)f(x)=arctan5x,0≤x≤1,取數(shù)據(jù)點(diǎn)為區(qū)間[0,1]間的均勻節(jié)點(diǎn)，步長(zhǎng)h=0.001,給出真實(shí)值和LNf近似函數(shù)的對(duì)比圖像及絕對(duì)誤差圖像，分別如圖1、圖2所示.

圖1 真實(shí)值與近似值對(duì)比圖圖2 真實(shí)值與近似值 的絕對(duì)誤差圖

考慮函數(shù)f(x)=ex3+cos2x,0≤x≤1,取數(shù)據(jù)點(diǎn)為區(qū)間[0,1]間的均勻節(jié)點(diǎn)，步長(zhǎng)h=0.001,其真實(shí)值和LNf近似函數(shù)的對(duì)比圖像及其誤差圖像，分別如圖3、圖4所示.

圖3 真實(shí)值與近似值對(duì)比圖 圖4 真實(shí)值與近似值 的絕對(duì)誤差圖

圖5 真實(shí)值與近似值對(duì)比圖 圖6 真實(shí)值與近似值 的絕對(duì)誤差圖

通過(guò)以上三個(gè)算例中，真實(shí)值和近似值的對(duì)比情況，可以看出這個(gè)方法是可行的，更重要的是該方法是顯示表達(dá)式，不需要求解線性方程組，格式簡(jiǎn)單，易于編程實(shí)現(xiàn).

3 結(jié)論

本文構(gòu)造了一種新的MQ徑向基擬插值算法，給出了格式的構(gòu)造原理及性質(zhì)，并且通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)對(duì)函數(shù)進(jìn)行數(shù)值逼近，得到了比較好的數(shù)值結(jié)果.數(shù)值算例驗(yàn)證了本文所提算法的有效性，本算法最大特點(diǎn)在于形式簡(jiǎn)單，不用求解線性方程組，避免了病態(tài)問(wèn)題，易于編程實(shí)現(xiàn)，并且具有不錯(cuò)的近似效果.該方法在微分方程數(shù)值解中的應(yīng)用，是我們未來(lái)的研究方向.

[1]BEATSON RK,POWELL MJD.Univariate multiquadric approximation:quasi-interpolation to scattered data[J].Construct Approx,1991(8):275- 288.

[2]WU Z M,SCHABACK R.Shape preserving properties and convergence of univariate multiquadric quasi-interpolation[J].Acta Math.Appl Sinica,1994,10(4):441- 446.

[3]MA LM,WU ZM.A numerical method for one-dimensional nonlinear Sine-Gordon equation using multi-quadric quasi-interpolation[J].Chinese Phys B，2009,18(8):3099- 4005.

[4]吳宗敏.散亂數(shù)據(jù)擬合的模型、方法和理論[M].北京：科學(xué)出版社，2007.

A New MQ Radial Basis Function Quasi-Interpolation Scheme

ZHANG Jihong,WANG Ruilin

(School of Mathematics and Physics,Dalian Jiaotong University,Dalian 116028,China)

In this paper,a new MQ radial basis function quasi-interpolation algorithm is proposed.Its construction and properties are presented,and it is used to approximate functions.The validity of the method is verified by the comparison between the numerical values and the true values of functions.The presented method is simple, easy to implement,accurate,and need not solve any linear equations.

MQ radial basis function;quasi-interpolation scheme;numerical approximation

1673- 9590(2017)05- 0118- 03

A

2016- 12- 06 基金項(xiàng)目:遼寧省博士科研啟動(dòng)基金資助項(xiàng)目

張繼紅(1979-)，女，副教授，博士，主要從事數(shù)值逼近及微分方程數(shù)值解方面的研究 E-mail:iamzjh@126.com.