張國庭，趙顯貴

?

保持交換環(huán)上矩陣若干性質(zhì)的映射

張國庭，趙顯貴

（惠州學(xué)院 數(shù)學(xué)系，廣東 惠州 516007）

將域上的矩陣保持問題推廣到交換環(huán)，有條件地得到了類似于域上的矩陣保持問題的若干結(jié)論，刻畫了交換環(huán)上的矩陣空間中保持三類性質(zhì)的映射：1）上三角矩陣空間的保持冪等的映射；2）全矩陣空間和上三角矩陣空間的保持對(duì)合的映射；3）全矩陣空間、上三角矩陣空間和對(duì)稱矩陣空間的保持正交性的映射.

冪等矩陣；對(duì)合矩陣；正交矩陣；矩陣保持問題

矩陣的保持問題一直是一個(gè)活躍的研究領(lǐng)域，它主要研究在映射的作用下從某一矩陣到另一矩陣的某些性質(zhì)的保持，具有廣泛的應(yīng)用背景，在微分方程、數(shù)理統(tǒng)計(jì)這些領(lǐng)域中具有重要的作用. 關(guān)于域上的矩陣的保持問題已取得了大量的研究成果[1-12]. 其中，文獻(xiàn)[1]給出了域上的上三角矩陣空間的保持冪等的映射的形式；文獻(xiàn)[2]刻畫了域上全矩陣空間和上三角矩陣空間的保持對(duì)合的映射的形式；文獻(xiàn)[3]研究了域上的矩陣空間的保持正交性的映射，分別刻畫了全矩陣空間、上三角矩陣空間及對(duì)稱矩陣空間的保持正交性的映射的形式. 本文研究交換環(huán)上的矩陣保持問題，推廣了文獻(xiàn)[1-3]的結(jié)論. 由于交換環(huán)中的元不一定可逆，本文的結(jié)論及其證明與文獻(xiàn)[1-3]有所不同.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[1]201若滿足，則稱是上的上三角矩陣空間的保持冪等的映射.

定義2[2]539若滿足，則稱是上全矩陣空間的保持對(duì)合的映射. 將上述換成則稱是上的上三角矩陣空間的保持對(duì)合的映射.

定義3[3]55若滿足：，則稱是上全矩陣空間的保持正交性的映射. 將上述換成則稱是上的上三角矩陣空間（對(duì)稱矩陣空間）的保持正交的映射.

2 上三角矩陣空間的保持冪等的映射

.

直接計(jì)算得：

.

直接計(jì)算得：

3 全矩陣空間的保持對(duì)合的映射

直接計(jì)算得：

. （3）

直接計(jì)算得：

. （4）

直接計(jì)算得：

. （5）

直接計(jì)算得：

. （6）

. （7）

由于2非零且不是零因子，于是由式（7）可得：

. （9）

下面的定理給出了交換環(huán)上的上三角矩陣空間的保持對(duì)合的映射的一種刻畫.

證明 由定理2的證明可知充分性顯然，下證必要性.

直接計(jì)算得：

. （10）

由于2非零且不是零因子，于是由式（10）可得：

.

直接計(jì)算得：

把式（11）代入式（12）得：

. （13）

4 全矩陣空間的保持正交性的映射

，

.

. （15）

. （16）

由式（16）得：

. （18）

從定理4的證明我們可以得到下面的定理.

下面我們研究對(duì)稱矩陣空間的保持正交性的映射.

證明 由定理4的證明可知充分性顯然，下證必要性.

. （19）

由式（19）和式（20）得：

. （21）

.

[1] 樊玉環(huán)，王佩臣. 域上上三角矩陣空間的保持冪等的函數(shù)[J]. 河北科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2013, 34(3): 200-203.

[2] 樊玉環(huán)，馬艷芬，蔣超凡. 域上保持對(duì)合矩陣的函數(shù)[J]. 河北科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2014, 35(6): 538-542.

[3] 樊玉環(huán)，馬曉峰，譚麗娟. 域上矩陣空間的保持正交性的函數(shù)[J]. 黑龍江大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2015, 32(1): 54-57.

[4] 李嘉. 2×2矩陣空間上保冪等的線性算子[D]. 哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2007.

[5] 孟麗娜. 關(guān)于幾類保持問題的研究[D]. 哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2007.

[6]GUAN Lijie, CAO Chongguang. Functions preserving square-zero matrices of orderover fields [C]// Proceeding of the Sixth International Conference of Matrix and Operators. Chengdu: World Academic Press, 2011: 216-218.

[7] 榮建英. 域上矩陣類保持問題[D]. 南京：南京航空航天大學(xué)，2006.

[8] 任苗苗. 幾類保持半環(huán)上矩陣不變量的線性算子[D]. 西安：西北大學(xué)，2012.

[9] 王雪佳. 關(guān)于矩陣不變量的保持函數(shù)[D]. 哈爾濱：黑龍江大學(xué)，2013.

[10] 姚紅梅，曹重光. 全矩陣空間保矩陣逆的加法映射[J]. 黑龍江大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2008, 25(2): 225-228.

[11] 曹重光，皇甫明. 矩陣空間之間的保冪線性映射[J]. 數(shù)學(xué)研究與評(píng)論，2007, 27(2): 413-417.

[12] 關(guān)麗杰. 域上矩陣冪零及冪等性保持函數(shù)[D]. 哈爾濱：黑龍江大學(xué)，2012.

[責(zé)任編輯：熊玉濤]

Mappings That Preserve Properties of Matrices over Commutative Rings

ZHANGGuo-ting, ZHAOXian-gui

(Department of Mathematics, Huizhou University, Huizhou 516007, China)

We generalize preserving problems of matrices over fields to those over commutative rings and extend several existing results for matrices over fields. We characterize three classes of mappings that preserve certain properties of matrices over a commutative ring: 1) mappings preserving idempotence in upper triangular matrix spaces; 2) mappings preserving involution in full matrix spaces and upper triangular matrix spaces; 3) mappings preserving orthogonality in full matrix spaces, upper triangular matrix spaces, and symmetric matrix spaces.

idempotent matrices; involution matrices; orthogonal matrices; matrix-preserving problems

1006-7302（2017）03-0020-07

O151.21

A

2017-03-30

廣東省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（2016A030310099）；惠州學(xué)院博士科研啟動(dòng)基金（2015JB021）.

張國庭（1994—），男，廣東廣州人，在讀本科生，研究方向?yàn)榇鷶?shù)學(xué)；趙顯貴，博士，通信作者，研究方向?yàn)榇鷶?shù)學(xué).