胡云云，歐見平

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雙圈圖的Wiener極性指數(shù)

胡云云，歐見平

（五邑大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，廣東 江門 529020）

連通圖的Wiener極性指數(shù)是它的距離等于3的點對數(shù)，通過引入圖變換，本文確定了雙圈圖的極小Wiener極性指數(shù)，并刻畫了極圖. 兩個圈點不交的雙圈極圖也得到了刻畫.

雙圈圖；Wiener極性指數(shù)；Wiener指數(shù)

1 引言與預(yù)備知識

1998年，Lukovits和Linert[2]應(yīng)用Wiener極性指數(shù)定量論證了許多含圈和不含圈的碳氫化合物的結(jié)構(gòu)性質(zhì)關(guān)系. Hosoya發(fā)現(xiàn)了Wiener極性指數(shù)的一個物理化學(xué)解釋[3]. 文獻[4]得到了Wiener極性指數(shù)和Zagreb指數(shù)之間的關(guān)系，同時確定了前兩個具有最小的Wiener極性指數(shù)的單圈圖，文獻[5]確定了樹的最小和最大Wiener極性指數(shù)，文獻[6]確定了含個懸掛點的樹的最大Wiener極性指數(shù)，并刻畫了極圖. 在文獻[7-8]中，作者研究了單圈圖和六角系統(tǒng)的Wiener極性指數(shù)，并刻畫了極圖. 本文確定了雙圈圖的極小Wiener極性指數(shù)，并刻畫了極圖，同時也研究了點不交的雙圈圖的極小Wiener極性指數(shù)，并刻畫了極圖.

2 圖變換及其性質(zhì)

引理1[10]若樹含個頂點，則，等號成立當且僅當；如果則，等號成立當且僅當，其中且.

，

. （1）

.

，

3 最小Wiener極性指數(shù)及極圖

為了確定圈不交的雙圈圖的最小Wiener極性指數(shù)，我們還要引進一些其他的符號和術(shù)語. 用表示含有頂點，最大度為的單圈圖的集合. 設(shè)是一個圈，. 先在點上連接個孤立頂點，. 然后，將一個星圖的一個1度點與重合，這顆星有個頂點，得到的圖記為，其中表示此圖的點數(shù)；或者將個孤立點連接在上，得到的圖記作；或者將的一個鄰點的度為2的1度點與重合，得到的圖記為. 易見，對所有成立；第二種情形下，；其他兩種情形下. 而且，，或者，或者對某個成立. 參考下列圖1.

圖1 幾個特殊圖

引理4[4]298如果是一個階的單圈圖，那么，等號成立當且僅當.

引理5[4]302設(shè)是一個階的單圈圖. 如果，那么，等號成立當且僅當.

. （3）

.

引理成立. 證畢.

，

.

證畢.

證明 根據(jù)引理6和引理7，定理顯然成立. 證畢.

[1] WIENNER H. Structural determination of paraffin boiling points [J]. Amer Chem Soc, 1947, 69(1): 17-20.

[2] LUKOVITS I，LINERT W. Polarity-numbers of cycle-containing structures [J]. Chem Inform Comput Sci, 1947, 38(4): 715-719.

[3] ROUVRAY D H, KING R B. Topology in chemistry-discrete mathematics of molecules [M]. [S.l.]: Horwood Pub, 2002.

[4] LIU Muhuo, LIU Bolian. On the Wiener polarity index [J]. MATCH Commun Math Comput Chem, 2011, 66(1): 293-304.

[5] DU Wenxue, LI Xueliang, SHI Yongtang. Algorithms and extremal problem on Wiener polarity index [J]. MATCH Commun Math Comput Chem, 2009, 62(1): 235-244.

[6] DENG Hanyuan, XIAO Hui. The maximum Wiener polarity index of trees withpendants [J]. App Math Lett, 2010, 23(6): 710-715.

[7] BEHMARAMA A, YOUSEFI-AZARI H, ASHRAFI A R. Wiener polarity index of fullerenes and hexagonal systems [J]. App Math Lett, 2012, 25(10): 1510-1513.

[8] HOU Huoquan, LIU Bolian, HUANG Yufen. The maximum Wiener polarity index of unicyclic graphs [J]. Appl Math Comput, 2012, 218(20): 10149-10157.

[9] BANDY J B A, MURTY U S R. Graph theory [M]. London: Springer, 2008.

[10] LIU Bolian, HOU Huoquan, HUANG Yufen. On the Wiener polarity index of trees with maximum degree or given number of leaves [J]. Comput Math Appl, 2010, 60(7): 2053-2057.

[責(zé)任編輯：韋 韜]

On Minimum Wiener Polarity Index of Bicyclic Graphs

HUYun-yun, OUJian-ping

(School of Mathematics and Computational Science, Wuyi University, Jiangmen 529020, China)

The Wiener polarity index of a connected graphis defined as the distance being logarithm points of 3. By introducing some graph transformations, this paper determines the minimum Wiener polarity index of bicyclic graphs and characterizes the corresponding extremal graphs. Extremal bicyclic graphs with two cycles being vertex-disjoint are also characterized.

bicyclic graphs; Wiener polarity indexes; Wiener indexes

1006-7302（2017）03-0008-05

O157.5

A

2017-03-27

廣東省自然科學(xué)基金資助項目（2014A030310413）

胡云云（1990—）女，江西南昌人，在讀碩士生，主要從事圖的邊連通性研究；歐見平，教授，博士，碩士生導(dǎo)師，通信作者，主要研究方向為圖論及其應(yīng)用.