競(jìng)爭(zhēng)法免疫層析試條的數(shù)學(xué)模型與仿真研究

曾念寅 朱盼盼 李玉榕 姜海燕 杜民

摘要根據(jù)競(jìng)爭(zhēng)法免疫層析試條的檢測(cè)原理，本研究將其分為T(mén)wA和TnA兩種模式，結(jié)合對(duì)流擴(kuò)散方程分別建立其數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)用COMSOL軟件對(duì)試條的動(dòng)態(tài)反應(yīng)過(guò)程進(jìn)行仿真，得到檢測(cè)線和質(zhì)控線上各復(fù)合物濃度關(guān)于各影響因素的關(guān)系曲線。在TwA模式中，分析了待測(cè)物濃度[A0]=0～20 mol/L，標(biāo)記物濃度[P0]=0.01～100 mol/L，檢測(cè)線位于5～20 mm位置等因素對(duì)于檢測(cè)結(jié)果的影響；在TnA模式中，分析了[A0]= 0～20 mol/L， [P0]=0.01～100 mol/L， [A0]和[P0]兩種物質(zhì)濃度及孔隙率等因素對(duì)于檢測(cè)結(jié)果的影響。結(jié)果表明，本研究建立的競(jìng)爭(zhēng)法模型與仿真能探究各參數(shù)對(duì)于檢測(cè)結(jié)果的影響，優(yōu)化試條性能，從而提高試條檢測(cè)靈敏度和實(shí)現(xiàn)定量檢測(cè)。

關(guān)鍵詞免疫層析試條； 競(jìng)爭(zhēng)法； 對(duì)流擴(kuò)散； 數(shù)學(xué)模型； 生化反應(yīng)過(guò)程

1引 言

隨著免疫層析層析技術(shù)的不斷發(fā)展和“床邊檢測(cè)”的興起，免疫層析試條被廣泛用于快速檢測(cè)與疾病的評(píng)估[1～3]。 為了提高其檢測(cè)性能和擴(kuò)大應(yīng)用領(lǐng)域， 研究人員做了許多工作[4～16]。 很多研究者根據(jù)免疫層析試條反應(yīng)機(jī)理建立數(shù)學(xué)模型，輔助優(yōu)化設(shè)計(jì)免疫層析定量檢測(cè)試條[8～12]。

在免疫層析試條建模的研究中，本研究組曾利用控制理論建立了免疫層析生化反應(yīng)過(guò)程的非線性狀態(tài)空間方程模型，通過(guò)該模型能夠便捷地預(yù)測(cè)試條的性能，并實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)定量測(cè)定[8～10]。Qian等[11，12]根據(jù)夾心法和競(jìng)爭(zhēng)法原理分別初步建立了免疫層析反應(yīng)過(guò)程數(shù)學(xué)模型。2017年，本研究組基于夾心法免疫層析試條檢測(cè)原理，通過(guò)COMSOL對(duì)建立的夾心法數(shù)學(xué)模型進(jìn)行仿真，分析得到了各因素對(duì)試條性能的影響[16]。在前期工作的基礎(chǔ)上，結(jié)合Qian等[12]的研究成果， 本研究建立了競(jìng)爭(zhēng)法免疫層析試條的生化反應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，并通過(guò)COMSOL軟件對(duì)試條動(dòng)態(tài)反應(yīng)過(guò)程進(jìn)行仿真。依據(jù)檢測(cè)線上的生成物是否含有待測(cè)物將競(jìng)爭(zhēng)法分為T(mén)wA模式和TnA模式兩種，通過(guò)建立的模型能夠輔助設(shè)計(jì)并優(yōu)化試條，從而提高試條檢測(cè)靈敏度和實(shí)現(xiàn)定量檢測(cè)。

2競(jìng)爭(zhēng)法免疫層析試條的數(shù)學(xué)模型

根據(jù)競(jìng)爭(zhēng)法免疫層析試條中待測(cè)物是否會(huì)結(jié)合檢測(cè)線上的抗體/抗原，即檢測(cè)線上的生成物是否含有待測(cè)物，將競(jìng)爭(zhēng)法分為兩種模式：（1） 檢測(cè)線上生成物含待測(cè)物模式，即TwA模式；（2） 檢測(cè)線上生成物不含待測(cè)物模式，即TnA模式。

2.1TwA模式競(jìng)爭(zhēng)法的數(shù)學(xué)模型

如圖1所示，待測(cè)物A （若存在） 與標(biāo)記物P不發(fā)生反應(yīng)。當(dāng)包含有A和P的混合液移動(dòng)到檢測(cè)線時(shí)，A與P會(huì)與檢測(cè)線上的RT競(jìng)爭(zhēng)地發(fā)生結(jié)合反應(yīng)，分別形成RTA和RTP。同時(shí)，假設(shè)RT和A反應(yīng)產(chǎn)生RTA，它將不能再依附于P，反應(yīng)式如下：

A+RTka1kd1RTA（1）

P+RTka2kd2RTP（2）

因此，A、P、RTA和RTP可以由以下對(duì)流擴(kuò)散反應(yīng)方程式描述[12，16]：

DA2[A]x-U[A]x-[A]t=ka1[A]（[RT0]-[RTA]-[RTP]-kd1[RTA]）（3）

DP2[P]x2-U[P]x-[P]t=ka2[P]（[RT0]-[RTA]-[RTP]-kd2[RTP]）（4）

[RTA]t=ka1[A]（[RT0]-[RTA]-[RTP]）-kd1[RTA]）（5）

[RTP]t=ka2[P]（[RT0]-[RTA]-[RTP]）-kd2[RTP]）（6）

混合液在通過(guò)檢測(cè)線之后繼續(xù)移動(dòng)，當(dāng)流經(jīng)質(zhì)控線時(shí)P與質(zhì)控線上包被著的RC反應(yīng)形成RCP：

P+RCka3kd3RCP（7）

在質(zhì)控線上的P和RCP分別由以下對(duì)流擴(kuò)散反應(yīng)方程式描述[12，16]：

DP2[P]x2-U[P]x-[P]t=ka3[P]（[RC0]-[RCP]-kd3[RCP]）（8）

[RCP]t=ka3[P]（[RC0]-[RCP]-[RCP]）-kd3[RCP]）（9）

2.2TnA模式競(jìng)爭(zhēng)法的數(shù)學(xué)模型

如圖2所示，由于在混合液進(jìn)入硝酸纖維膜之前P和A被預(yù)先混合，A （若存在） 將結(jié)合P形成PA，而PA不能結(jié)合檢測(cè)線RT。只有自由的P可以與RT結(jié)合：

P+Aka1kd1PA（10）

P+RTka2kd2RTP（11）

P，RTP分別由以下對(duì)流擴(kuò)散反應(yīng)方程式描述[12，16]：

DP2[P]x2-U[P]x-[P]t=ka2[P]（[RT0]-[RTP]）-kd2[RTP]（12）

[RTP]t=ka2[P]（[RT0]-[RTP]）-kd2[RTP]）（13）

在質(zhì)控線上，PA和自由的P都可以在質(zhì)控線處與RC結(jié)合：

PA+RCka3kd3RCPA（14）

P+RCka4kd4RCP（15）

P，PA，RCP，RCPA分別由以下對(duì)流擴(kuò)散反應(yīng)方程式描述[12，16]：

DP2[P]x2-U[P]x-[P]t=ka4[P]（[RC0]-[RCPA]-kd4[RCP]）（16）

DP2[PA]x2-U[PA]x-[PA]t=ka3[PA]（[RC0]-[RCPA]-[RCP]-kd3[RCPA]）（17）

[RCP]t=ka4[P]（[RC0]-[RCPA]）-kd4[RCP]）（18）

[RCPA]t=ka3[PA]（[RC0]-[RCPA]-[RCP]）-kd3[RCPA]）（19）

3數(shù)學(xué)模型的約束條件與環(huán)境設(shè)置

競(jìng)爭(zhēng)法免疫層析試條中各物質(zhì)的生化反應(yīng)過(guò)程同夾心法原理[16]一樣，在符合上述建立的數(shù)學(xué)模型外，還需滿足質(zhì)量守恒定律并遵循動(dòng)量守恒定律，具體描述見(jiàn)文獻(xiàn)[16]中的公式（12）和（13）。endprint

TwA模式在COMSOL的仿真中初始條件設(shè)置如下：

[A]（x，0）=[P]（x，0）=[RTP]（x，0）=[RCP]（x，0）=0（20）

[RT]（x，0）=R0[]xL1≤x≤xL2

0[]xxL2（21）

[RC]（x，0）=R0[]xL3≤x≤xL4

0[]xxL4（22）

在試條的入口 （x = 0） 處有：

[A]（0，t）=[A0]×f1t（23）

[P]（0，t）=[P0]×f1t（24）

其中， f1t是一個(gè)分段函數(shù)，在0～20s時(shí)等于1，其余為0。

在試條的出口 （x = L） 處有：

[A]（L，t）x=[P]（L，t）x=0（25）

[RT]（L，t）=[RT]（L，t）=[RTA]（L，t）=[RTP]（L，t）=[RCP]（L，t）（26）

TnA模式在COMSOL的仿真中初始條件設(shè)置如下：

[A]（x，0）=[P]（x，0）=[PA]（x，0）=[RTP]（x，0）=[RCP]（x，0）=[RCPA]（x，0）=0（27）

[RT]（x，0）=R0[]xL1≤x≤xL2

0[]xxL2（28）

[RC]（x，0）=R0[]xL3≤x≤xL4

0[]xxL4（29）

在試條的入口 （x=0） 處的物質(zhì)濃度如式 （23） （24） 所示，在試條的出口 （x = L） 處有：

[RT]（L，t）=[RC]（L，t）=[RTP]（L，t）=[RCP]（L，t）=[RCPA]（L，t）（30）

4仿真結(jié)果與討論

為了驗(yàn)證建立的競(jìng)爭(zhēng)法免疫層析試條數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用COMSOL軟件進(jìn)行仿真，其參數(shù)設(shè)置為： ka1=ka2=ka3=ka4=10

Symbolm@@ 3 L/（mol·s）， kd1=kd2=kd3=kd4=10

Symbolm@@ 3 （s

Symbolm@@ 1）， [A0]=10 mol/L， [P0]=10 mol/L， [RT]=10 mol/L， [RC]=10 mol/L， L=0.00041 m， U=2×10

Symbolm@@ 4 m/s。

4.1TwA模式中，待測(cè)目標(biāo)分析物[A0]對(duì)檢測(cè)線和質(zhì)控線復(fù)合物的影響與分析

首先通過(guò)改變[A0]來(lái)分析其對(duì)檢測(cè)線和質(zhì)控線上復(fù)合物的影響，并在試條的整個(gè)動(dòng)態(tài)反應(yīng)過(guò)程中其他物質(zhì)都足夠量，結(jié)果如圖3所示。

從圖3可見(jiàn)，當(dāng)[A0]逐漸增加時(shí)，[RTA]隨之逐漸增多，而[RTP]隨之逐漸減少，但[RTP]和[RTA]的總和基本不變；另外，[A0]的增加對(duì)質(zhì)控線的[RCP]幾乎沒(méi)有影響。這是因?yàn)樵赥wA模式中，只是A和P競(jìng)爭(zhēng)RT，所以[A0]的增加只會(huì)影響檢測(cè)線的免疫反應(yīng)。

4.2TwA模式中，標(biāo)記物[P0]對(duì)檢測(cè)線和質(zhì)控線復(fù)合物的影響與分析

保持[A0]不變，檢測(cè)線和質(zhì)控線上生成的復(fù)合物隨著[P0]的改變而變化的情況如圖4所示，只有當(dāng)[P0]濃度大于一定值時(shí)，檢測(cè)線上的生成的[RTP]開(kāi)始增大，而由于RT的原因[RTA]相應(yīng)地減小，且[RCP]基本保持不變。

4.3TwA模式中，檢測(cè)線位置對(duì)于檢測(cè)線上生成復(fù)合物的影響與分析

[A0]改變時(shí)，檢測(cè)線上生成 [RTP]隨檢測(cè)線位置變化的情況如圖5所示，當(dāng)[A0]較低時(shí)，檢測(cè)線位置對(duì)于檢測(cè)結(jié)果沒(méi)有太大影響。[A0]增大時(shí)，在質(zhì)控線位置不變的情況下，檢測(cè)線位置的變化，會(huì)對(duì)檢測(cè)結(jié)果有一定的影響。因此， 檢測(cè)線的位置選取是試條具有較好的定量檢測(cè)效果的一個(gè)關(guān)鍵因素。

4.4TnA模式中，待測(cè)目標(biāo)分析物[A0]對(duì)檢測(cè)線和質(zhì)控線復(fù)合物的影響與分析

[A0]的濃度變化時(shí)對(duì)檢測(cè)線和質(zhì)控線復(fù)合物的影響如圖6所示，隨著A0的增加，檢測(cè)線上生成的[RTP]會(huì)隨著減少。在[A0]比較小時(shí)，[A0]對(duì)[RTP]的影響較小，[RTP]幾乎不隨著[A0]的變化而變化。當(dāng)[A0]增加到某一值后，[RTP]會(huì)隨著[A0]的增加減少比較快，這可能是與標(biāo)記物濃度和檢測(cè)線上的物質(zhì)濃度有關(guān)。另外，質(zhì)控線上的生成物[RCP]隨著[A0]的增加而減少，[RCPA]隨著[A0]的增加而增加。

4.5TnA模式中，標(biāo)記物[P0]對(duì)檢測(cè)線和質(zhì)控線復(fù)合物的影響與分析

改變標(biāo)記物P0的濃度對(duì)檢測(cè)線和質(zhì)控線上生成的復(fù)合物濃度的影響如圖7所示，當(dāng)[P0]較小時(shí)，檢測(cè)線上RTP濃度幾乎為0，而質(zhì)控線上的反應(yīng)有RCPA的生成， 這也說(shuō)明在混合液進(jìn)入質(zhì)控線以前有PA產(chǎn)生。當(dāng)[P0] = 1～10 mol/L時(shí)，檢測(cè)線上開(kāi)始生成[RTP]；當(dāng)[P0]>10 mol/L時(shí)，檢測(cè)線上[RTP]的生成量增加，質(zhì)控線上生成物RCPA減少。[RCPA]下降可能是由于質(zhì)控線上[RC]的量有限導(dǎo)致，質(zhì)控線上所產(chǎn)生復(fù)合物[RCPA]和[RCP]的總和保持不變。

TP]生成，說(shuō)明試條中預(yù)先滴入的標(biāo)記物都與待測(cè)物結(jié)合而以復(fù)合物的形式呈現(xiàn)（從[RCPA]的改變情況可以看出），而檢測(cè)線的RT無(wú)法結(jié)合復(fù)合物狀態(tài)的P，故而在檢測(cè)線上沒(méi)有RTP出現(xiàn)。在[P0]>8 mol/L時(shí)，由于待測(cè)物所含的A結(jié)合P的能力有限，因此有多余P以單體的形式存在，在流經(jīng)檢測(cè)線時(shí)與RT結(jié)合而生成RTP。在[P0]>12 mol/L時(shí)，檢測(cè)線上生成的[RTP]的量不隨[P0]濃度的變化而變化，這可能是由于檢測(cè)線上RT的結(jié)合能力有限， 無(wú)法結(jié)合更多的P生成RTP，或者是由于受混合液流速的影響， RT與單體標(biāo)記物P的結(jié)合時(shí)間有限，來(lái)不及結(jié)合生成更多的RTP。

4.6TnA模式中， [A0]和[P0]對(duì)檢測(cè)線和質(zhì)控線復(fù)合物的影響與分析

通過(guò)同時(shí)改變A0和P0的濃度分析其對(duì)檢測(cè)結(jié)果的影響，結(jié)果如圖9所示，[A0]與[P0]的相對(duì)濃度不僅會(huì)影響到定量檢測(cè)結(jié)果，而且還將影響免疫層析試條的定性以及半定量檢測(cè)結(jié)果。

4.7硝酸纖維素膜上的孔隙率對(duì)試條反應(yīng)的影響

進(jìn)一步考慮到試條硝酸纖維素膜上的孔隙率對(duì)競(jìng)爭(zhēng)法免疫層析試條的影響，其中，孔隙率對(duì)流過(guò)試條中混合液的流速的影響如圖10所示。 假設(shè)質(zhì)控線上含顯色標(biāo)記物的信號(hào)強(qiáng)度為SC，其表達(dá)式為SC=[RCP]+[RCPA]。 圖11是孔隙率對(duì)質(zhì)控線信號(hào)強(qiáng)度的影響。 從圖10和圖11可見(jiàn)，孔隙率對(duì)流速有影響；而對(duì)質(zhì)控線上含顯色標(biāo)記物的信號(hào)強(qiáng)度有影響但影響不大。

5結(jié) 論

本研究建立了競(jìng)爭(zhēng)法免疫層析試條動(dòng)態(tài)反應(yīng)過(guò)程的數(shù)學(xué)模型，并利用COMSOL軟件對(duì)建立的模型進(jìn)行仿真?；跈z測(cè)原理將競(jìng)爭(zhēng)法免疫層析分為T(mén)wA和TnA兩種模式。在TwA模式中：（1） 待測(cè)物濃度的增加只會(huì)影響檢測(cè)線的免疫反應(yīng)，而且檢測(cè)線生成的標(biāo)記復(fù)合物濃度與待測(cè)物濃度呈負(fù)相關(guān)；但在整個(gè)反應(yīng)生成過(guò)程中包含待測(cè)物的復(fù)合物濃度與待測(cè)物濃度呈正相關(guān)。（2） 結(jié)合釋放墊上的標(biāo)記物濃度較小時(shí)，檢測(cè)線上幾乎沒(méi)有標(biāo)記復(fù)合物生成，當(dāng)其達(dá)到一定值后，標(biāo)記復(fù)合物濃度與標(biāo)記物濃度呈正相關(guān)。（3） 檢測(cè)線位置的選取是免疫層析試條準(zhǔn)確反映定量檢測(cè)結(jié)果的一個(gè)很關(guān)鍵因素。在TnA模式中： （1） 待測(cè)物濃度的增加會(huì)同時(shí)影響檢測(cè)線和質(zhì)控線的免疫反應(yīng)，且檢測(cè)線生成的標(biāo)記復(fù)合物濃度與待測(cè)物濃度呈負(fù)相關(guān)。（2） 標(biāo)記物P的濃度應(yīng)該大于一定值后，檢測(cè)線上生成的標(biāo)記復(fù)合物濃度才能準(zhǔn)確反應(yīng)待測(cè)物的濃度；且標(biāo)記物P的濃度大于一定濃度后對(duì)檢測(cè)的效果影響不大。

另外，相比于TnA模式競(jìng)爭(zhēng)法，TwA模式對(duì)待測(cè)物濃度的變化更靈敏且檢測(cè)效果好。孔隙率對(duì)流速有影響，而對(duì)質(zhì)控線上含顯色標(biāo)記物的信號(hào)強(qiáng)度的影響并不大。

References

1Yager P， Edwards T， Fu E， Helton K， Nelson K， Tam M R. Nature， 2006， 442（7101）： 412-418

2Wong R C， Tse H Y. Lateral Flow Immunoassays. New York： Humana Press， 2008： 1-19

3ZENG NianYin， LI YuRong， DU Min. Biomedical Engineering Research， 2015， 34（4）： 259-264

曾念寅， 李玉榕， 杜 民. 生物醫(yī)學(xué)工程研究， 2015， 34（4） ： 259-264

4Chen J， Huang Y， Kannan P， Zhang L， Lin Z， Zhang J， Guo L. Anal. Chem.， 2016， 88（4）： 2149-2155

5ZHOU YaoFeng， XIONG SiCheng， JIANG Hu， DUAN Hong， XIONG YongHua， Andrew Wang.Chinese J. Anal. Chem.， 2015， 43（12）： 1837-1843

周耀鋒， 熊斯誠(chéng)， 江 湖， 段 宏， 熊勇華， Andrew Wang. 分析化學(xué)， 2015， 43（12）： 1837-1843

6XIE YanJun， YANG Ying， KONG WeiJun， YANG ShiHai， YANG MeiHua. Chinese J. Anal. Chem.， 2015， 43（4）： 618-628

謝艷君， 楊 英， 孔維軍， 楊世海， 楊美華. 分析化學(xué)， 2015， 43（4）： 618-628

7Zeng N， Wang Z， Zineddin B， Li Y， Du M. IEEE Transact. Med. Imag.， 2014， 33（5）： 1129-1136

8Zeng N， Wang Z， Li Y， Du M.IEEE Transact. Biomed. Engineer.， 2011， 58（7）： 1959-1966

9Zeng N， Wang Z， Li Y， Du M， Liu X. IEEE/ACM Transact. Comput. Biol. Bioinform.， 2012， 9（2）： 321-329

10Zeng N， Wang Z， Li Y， Du M， Liu X.IEEE Transact. Nanotechnol.， 2012， 11（2）： 321-327

11Qian S， Bau H H. Anal. Biochem.， 2003， 322（1）： 89-98

12Qian S， Bau H H.Anal. Biochem.， 2004， 326（2）： 211-224

13Zeng N， Wang Z， Li Y， Du M， Cao J， Liu X. IEEE Transact. Biomed. Engineer.， 2013， 60（12）： 3418-3424

14Zeng N， Hung Y S， Li Y， Du M. Expert Syst. Appl.， 2014， 41（4）： 1708-1715

15Zeng N， Wang Z， Zhang H， Alsaadi F E. Cognit. Comput.， 2016， 8（2）： 143-152endprint

16ZENG NianYin， ZHU PanPan， LI YuRong， JIANG HaiYan， CHU LuTao， DU Min.Chinese J. Anal. Chem.， 2017， 45（1）：69-74

曾念寅， 朱盼盼， 李玉榕， 姜海燕， 褚蘆濤， 杜 民. 分析化學(xué)， 2017， 45（1）： 69-74

Study on Mathematical Model and Simulation of

Competitiontype Lateral Flow Immunoassay

ZENG NianYin*1， ZHU PanPan1， LI YuRong2， JIANG HaiYan2， DU Min2

1（Department of Instrumental and Electrical Engineering， Xiamen University， Xiamen 361005， China）

2（Fujian Key Laboratory of Medical Instrumentation and Pharmaceutical Technology，

Fuzhou University， Fuzhou 350116， China）

AbstractA mathematical model of competitiontype lateral flow immunoassay （LFIA） was developed to describe the dynamic process of LFIA. The competitiontype LFIA was divided into two categories： TwAcompetitiontype LFIA and TnAcompetitiontype LFIA. On the basis of the developed model， the COMSOL software was exploited to simulate the dynamic process of LFIA. The simulation result demonstrated the relationships between the concentrations of substances on the test and control lines and the influence factors. In particular， the influence factors in the TwAcompetitiontype LFIA included the concentrations of target analyte A （0-20 mol/L） and reporter particle P （0.01-100 mol/L）， and the position of the test line （5-20 mm）. On the other hand， the influence factors in the TnAcompetitiontype LFIA included the concentrations of target analyte A （0-20 mol/L） and reporter particle P （0.01-100 mol/L）， and the porosity. Experiment result showed that the developed model could be used to explore the influence of the parameters on the test results， and optimize the performance of LFIA.

KeywordsLateral flow immunoassay； Competitiontype； Convectiondiffusion equation； Mathematical model； Biochemical reaction process.

（Received 4 May 2017； accepted 21 July 2017）

This work was supported by the UKChina Industry Academia Partnership Programme （No.UKCIAPP/276）， the National Natural Science Foundation of China （No. 61403319）， the Natural Science Foundation of Fujian Province， China （No. 2015J05131） and the Fujian Provincial Key Laboratory of EcoIndustrial Green Technology.endprint