待定系數(shù)法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

封靈芳

待定系數(shù)法是一種基本的數(shù)學(xué)方法，也是解決數(shù)學(xué)問題最常用的數(shù)學(xué)方法之一。那么什么是待定系數(shù)法？高中階段的數(shù)學(xué)主要是以函數(shù)為主線來進(jìn)行學(xué)習(xí)的，因此其定義是從函數(shù)的角度給出的：一般地，在求一個函數(shù)時，如果知道這個函數(shù)的一般形式，可以先把所求函數(shù)寫為一般形式，其中系數(shù)待定，然后再根據(jù)題設(shè)條件求出這些待定系數(shù)。這種通過求待定系數(shù)來確定變量之間關(guān)系式的方法叫做待定系數(shù)法。

待定系數(shù)法的理論依據(jù)是多項式恒等原理，也就是依據(jù)了多項式 的充要條件是：對于一個任意的 值，都有 ?；蛘邇蓚€標(biāo)準(zhǔn)多項式中各同類項的系數(shù)對應(yīng)相等。

待定系數(shù)法解題的關(guān)鍵是依據(jù)已知條件，正確列出含有未定系數(shù)的等式。運(yùn)用待定系數(shù)法，就是把具有某種確定形式的數(shù)學(xué)問題，通過引入一些待定的系數(shù)，轉(zhuǎn)化為方程組來解決，要判斷一個問題是否用待定系數(shù)法求解，只要是看所求解的數(shù)學(xué)問題是否具有某種確定的數(shù)學(xué)表達(dá)式，如果具有，就可以用待定系數(shù)法求解。例如分解因式、拆分分式、數(shù)列求和、求函數(shù)式、求復(fù)數(shù)、解析幾何中求曲線方程等，這些問題都具有確定的數(shù)學(xué)表達(dá)式，所以都可以用待定系數(shù)法求解。

下面我們通過一些具體的例子來體會下待定系數(shù)法的應(yīng)用。

一、利用待定系數(shù)法進(jìn)行因式分解

例1 分解因式： 。

分析：這是一個關(guān)于 的四次多項式，由于次數(shù)相對過高，不能使用十字相乘。分組分解法又有困難。經(jīng)過驗證由沒有有理根。但是次數(shù)是確定的，我們能夠根據(jù)次數(shù)大概猜測其因式分解以后的形式，這個時候我們可以引進(jìn)待定系數(shù)法進(jìn)行因式分解。

解：設(shè)

=

= ，

比較等式兩邊的多項式對應(yīng)項的系數(shù)，列出方程組，得

，

解該方程，得到

，

所以

。

評析：與這個類型題相似解題的還有解方程、解不等式。如把題目改成解方程 ，或者解不等式 。這兩種類型的題型的做法跟本題因式分解方法相同。

二、利用待定系數(shù)法拆分分式

例2將 化為部分分式之和。

分析：這類型的問題思路基本上跟因式分解類似，首先用未知數(shù)表示化為部分分式和以后的形式，展開后，根據(jù)分子、分母的多項式分別相等可列出含有未知數(shù)的方程組，解方程組，代入所設(shè)的部分和即可得結(jié)果。

解：由于 ，則可設(shè)

，則

，

由相等的多項式各項系數(shù)相等可列出方程組

，

解以上方程組得

，故

= 。

三、利用待定系數(shù)法求解曲線方程

例3已知橢圓 的離心率為 ，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點 ， 為頂點的三角形的周長為 。一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設(shè) 為該雙曲線上已于頂點的任一點，直線 和 與橢圓的交點分別為 ， 和 ， 。求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（2010年山東高考）。

分析：要用待定系數(shù)法求解解析式，首先要知道函數(shù)解析式的形式，然后用字母表示出解析式。然后根據(jù)題目中給出的已知條件解出未知數(shù)，最后寫出解析式。

解：設(shè)橢圓的半焦距為c，由題意可得：

橢圓的離心率為

，

根據(jù)幾何關(guān)系，可得到關(guān)系式

，

聯(lián)立上兩式解方程組，得

， ，

又根據(jù)關(guān)系式 ，可得 。

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

。

由題意可設(shè)等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ，又由于等軸雙曲線的頂點是橢圓的焦點，所以有 。

評析：用待定系數(shù)法求解曲線方程：橢圓、雙曲線，拋物線等簡單能估計其解析式形式的題型。

四、利用待定系數(shù)法求解函數(shù)式

例4是否分別存在滿足下列條件的函數(shù) ：

（1） 是三次函數(shù)，且 ， ， ， ；

（2） 是一次函數(shù)，且 。

如存在，求出 的表達(dá)式；若不存在，說明理由。

分析：首先假設(shè)函數(shù)存在，用字母設(shè)出函數(shù)的解析式，利用已知的條件建立方程或方程組，解方程組，求出未知數(shù)，寫出函數(shù)解析式。

解：（1）設(shè) ，則 。

由題意可建立方程式，得

，

解以上方程組，得

，

故存在滿足條件的的函數(shù) 存在，表達(dá)式為 。

（2）假設(shè) 存在，由 是一次函數(shù)可知 是二次函數(shù)，故可設(shè) ，則 。

將 和 代入已知條件，得

，

整理得

，

由等式兩邊各項系數(shù)相等，可建立方程組

，

解以上方程組可得

，

所以滿足條件的 存在，表達(dá)式為 。

評析：利用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式，可以使問題簡化。

五、利用待定系數(shù)法求數(shù)列通項公式

例5已知數(shù)列 中， ， ，設(shè) ， ，求數(shù)列 的通項公式（2010高考全國卷一）。

分析：利用待定系數(shù)法求數(shù)列的解析式，首先把某些已知條件轉(zhuǎn)化成我們熟知的簡單的數(shù)列的形式，比如等差數(shù)列、等比數(shù)列等，用字母表示，然后根據(jù)數(shù)列的性質(zhì)，解出未知數(shù)，即可得結(jié)果。

解： ，則 ，

即 （1）。

則可設(shè) ，即 。通過與（1）式比較，可解得 。

則 。

又有 ，故 。

故 是首項為 ，公比為4的等比數(shù)列，即 。

則 。

評析：對 ，當(dāng) 時，若 為等差數(shù)列，則 ，則只需要要用疊加法即可求解。

對 ，當(dāng) 且 時，若 為等差數(shù)列，則可設(shè) ，那么可設(shè) ，即

，

通過所設(shè)的式子與原式的對比可設(shè)方程組

，

解方程組得

，

故數(shù)列 為等差數(shù)列。

最后可以根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)及題目給出的條件求出數(shù)列的通項式。

教學(xué)本身是一門藝術(shù)，教師要喚起學(xué)生的興趣，點燃學(xué)生智慧的火花，使學(xué)生的探究能力和創(chuàng)新能力得到發(fā)展。