☉江蘇省錫東高級中學(xué) 葉 琳
吹盡黃沙始見金
——跨過恒成立與存在性問題的“層巒疊嶂”
☉江蘇省錫東高級中學(xué) 葉 琳
從2008年江蘇實施新高考方案以來,恒成立與存在性問題多次考查,經(jīng)常以中檔偏難題呈現(xiàn),其呈現(xiàn)的背景、方式也多種多樣,題目富有變化和新意,像2008年第14題“任意x∈[-1,1]都有f(x)≥0成立”,2014年第10題“任意x∈[m,m+1]都有f(x)<0成立”、第19題“…在(0,+∞) 上恒成立”、“存在x0∈[1,+∞) …”、2016年第19題“任意x∈R,不等式...恒成立”等是以函數(shù)、導(dǎo)數(shù)為背景出現(xiàn)的,2008~2011年解析幾何中均出現(xiàn)了“存在…”、“任意…”、“證明…過定點”等字樣;2011、2013、2014、2015年數(shù)列題中也都呈現(xiàn)了“任意整數(shù)”、“是否存在”等字樣,其中2013年的數(shù)列題隱含考查了恒成立問題.恒成立與存在性問題,較好地考查學(xué)生的能力與素養(yǎng).但它的出現(xiàn)使得數(shù)學(xué)問題意深難懂,神秘莫測,學(xué)生難以下手.解決這類問題的關(guān)鍵是揭開量詞隱含的神秘面紗,還數(shù)學(xué)問題的本來面目,下面筆者結(jié)合“恒成立問題和存在性問題”的課堂教學(xué),談?wù)勛约旱目捶?,以請教于同?
【教學(xué)片段一】
師:從近幾年江蘇高考試題統(tǒng)計分析可以看出恒成立和存在性問題是高考的熱點也是難點,誰能告訴老師這類問題解決的方法是什么?
生1:有的可以用分離參數(shù)來處理,有的可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域來處理.
生2:還可以用數(shù)形結(jié)合的思想來解決.
師:看來大家對這類問題已經(jīng)非常熟悉了,那么用剛才同學(xué)們所說的方法能不能處理所有的這類問題呢?今天這節(jié)課我們一起來探究這類問題的解法.
問題1(2014年江蘇卷19題)已知函數(shù)f(x)=ex+e-x,其中e是自然對數(shù)的底數(shù).若關(guān)于x的不等式mf(x)≤e-x+m-1在(0,+∞)上恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
師:我們先請一個同學(xué)起來讀題,然后圈出重要條件進行分析.
生3:通過讀題可知,題目條件中明確給出了“恒成立”的字眼,采用分離參數(shù),利用結(jié)論“f(x)≥m?(fx)min≥m”即可.由m(fx)≤e-x+m-1,得m[(fx)-1]≤e-x-1.因為x>0時ex>1,因此(fx)=ex+e-x>2,即(fx)-1>0,所以,解得m≤-
師:分析的很到位,處理過程中我們還運用了換元法和基本不等式等知識來解決問題.如果是“存在x∈D,f(x)≥m成立”該怎么處理呢?
生齊答:f(x)max≥m.
師:非常好,看來同學(xué)們對恒成立和存在性問題已經(jīng)有了較深的理解.
評析:教學(xué)過程中筆者發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生解題時有審題不清的缺點,匆匆讀題后就急于下手,結(jié)果不是條件漏看了就是看錯了.在教學(xué)過程中,筆者要求學(xué)生進行讀題訓(xùn)練,養(yǎng)成把題目條件圈出來的習(xí)慣,減少審題馬虎導(dǎo)致的錯誤,慢慢養(yǎng)成細心的習(xí)慣.
【教學(xué)片段二】
問題2函數(shù)f(x)=x-ln(x+1),若對任意的x∈[0,+∞],有f(x)≤kx2成立,求實數(shù)k的最小值.
筆者巡視教室發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生是用變量分離法來處理的:
師:為什么變量分離失效了呢?(教室里安靜片刻,有學(xué)生在下面竊竊私語)
生4:我化簡到(*)式就沒有再做下去,直覺告訴我太繁了,化簡到(**)式是需要一定的運算技巧的,即使令h′(x)=0得到的也不是我們熟悉的方程,我放棄了.
師:有更好的辦法嗎?
生4:構(gòu)造函數(shù)來處理,由f(x)≤kx2得x-ln(x+1)≤kx2,令g(x)=x-ln(x+1)-kx2,則只要滿足g(x)≤0即可,應(yīng)該能做出來.
師:同學(xué)們覺得她的方法可行嗎?
生5:應(yīng)該可以的,就是要分類討論,也有點繁.(其他同學(xué)沉思片刻,紛紛點頭)
師:大膽嘗試,說不定驚喜就在不遠處等著我們:
令g(x)=x-ln(x+1)-kx2,則g(′x)=
(1)當(dāng)k≤0時,有f(1)=1-ln2>0,此時f(1)<k不成立,故k≤0不合題意,舍去.
師:請同學(xué)們比較兩種思路,你有什么收獲?
生6:兩種思路的本質(zhì)是都是歸結(jié)為函數(shù)的最值問題,分離參數(shù)只是一個解題手段而已,它不是萬能的,我們不能思維定勢,看到恒成立問題就去參數(shù)分離,有的時候會走進死胡同.
師:我們要用辯證的眼光看待參數(shù)分離,參數(shù)分離可以避免分類討論,簡化計算過程,但是不能思維定勢,在讀題后要先思考去判斷參數(shù)分離的可行性,有些問題只能通過構(gòu)造函數(shù)通過分類討論來解決問題.
評析:課堂中給學(xué)生充分的思考時間,針對學(xué)生不同的解法進行剖析,去判斷各種解法的優(yōu)劣性,有助于尋求解決數(shù)學(xué)問題普遍規(guī)律的途徑.在問題2的處理上,思路1中出現(xiàn)的h′(x)=(**)在文2中提倡補充洛必達法則等高等數(shù)學(xué)知識來解決問題,筆者認(rèn)為學(xué)生沒有系統(tǒng)全面地學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué),而是斷章取義地學(xué)習(xí)洛必達法則帶有功利性色彩,學(xué)生不可能熟練掌握,靈活運用,無疑增加學(xué)生的負擔(dān).教學(xué)中應(yīng)該注重通性通法,淡化技巧,用本真的數(shù)學(xué)來解題,這有利于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)去功利性的良性發(fā)展.
【教學(xué)片段三】
師:為了加深對上述問題的理解,我們對其進行變式.
變式1:已知函數(shù)f(x)=x-ln(x+1),g(x)=kx2,若對任意的x∈[0,+∞),都有f(x)≤g(x)恒成立,求實數(shù)k的最小值.
生7:分離參數(shù)求解.
師:很好,同學(xué)們可以自己對該題變式嗎?
生8:若對任意的x∈[0,+∞),f(x)的圖像恒在g(x)的下方,求實數(shù)k的最小值.
師:應(yīng)該如何求解呢?
生8:f(x)(g(x)恒成立啊,跟變式1一樣.
師:很好,“f(x)的圖像恒在g(x)的下方”,問題表述變化了,但是問題本質(zhì)沒有變.
師:趁熱打鐵,還有其他的變式嗎?(學(xué)生思考片刻沒有回應(yīng))
師:我們經(jīng)常研究的都是一個函數(shù),能否把視野放寬一點,研究兩個或者兩個以上函數(shù)的恒成立問題?
變式2:若對任意的x1∈[1,2],x2∈[1,2],都有f(x1)≤g(x2)恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.
師:變式2和變式1有什么不同?
生齊答:變式1是同一個x,變式2是兩個不同的x.
師追問:兩個變式之間有聯(lián)系嗎?
生9:變式1中雖然有兩個函數(shù),但只有一個變量x,可轉(zhuǎn)化為一個函數(shù)來處理,令h(x)=f(x)-g(x),則h(x)≤0恒成立,只要滿足h(x)max≤0即可.變式2是兩個不同的x,分別看成兩個函數(shù),求出f(x)和g(x)的最值,滿足f(x)max≤g(x)min.
師:剛才的變式是與恒成立有關(guān)的,我們還可以把它變成存在性問題,能試試嗎?
生10:(變式3) 若對任意的x1∈[1,2],存在x2∈[1,2],使得f(x1)≤g(x2)成立,求實數(shù)k的取值范圍.
師:非常漂亮的變式,條件中同時出現(xiàn)了“任意的”和“存在”等量詞,我們該怎么處理呢?
(教室里鴉雀無聲,學(xué)生陷入了沉思.剛才總結(jié)的結(jié)論套不上啊)
師:變式3是關(guān)于(fx)和g(x)的兩個函數(shù),很多同學(xué)在“任意的x1∈[1,2],存在x2∈[1,2],使得(fx1)≤g(x2)成立”的理解上出現(xiàn)錯誤,我們把它抽絲剝繭,把任意的和存在兩個量詞分為兩個層次來理解就簡單多了,首先“任意的x1∈[1,2],(fx1)≤g(x2)成立”即(fx)max≤g(x2),因為1-ln2≤f(x)≤2-ln3,故“存在x2∈[1,2]使得2-ln3≤g(x)2”“,存在”是指至少有一個x2滿足2-ln3≤g(x2),因為k≤g(x)≤4k,所以2-ln3≤4k,即k≥.變式中滲透了“存在性”和“恒成立”問題,大家對此也有了新的認(rèn)識,下面大家再動手自我編題試試.
學(xué)生在編題解題的過程中,互相討論,筆者教師巡視,不時地參與其中,適當(dāng)點撥.
師:大家編題的熱情高漲,哪個同學(xué)來總結(jié)一下?
生11:我們總結(jié)了一下,大致有以下幾種情況:
假設(shè)函數(shù)f(x)、g(x)在給定范圍內(nèi)都存在最大與最小值,值域分別為A,B.
(1)?x1,x2∈D,使f(x1)≤g(x2)?f(x)max≤g(x)min;
(2)?x1∈D1,?x2∈D2,使f(x1)≤g(x2)?f(x)max≤g(x)max;
(3)?x1∈D1,?x2∈D2,使f(x1)≤g(x2)?f(x)min≤g(x)min.
話音剛落,生12站起來了,老師還可以這樣:“?x1∈D1,?x2∈D2,使f(x1)=g(x2)?A?B(f(x)的值域是g(x)的子集)”.
師:很好,這些變式,雖然條件變化多樣,但是我們只要抓住數(shù)學(xué)問題的本質(zhì),就能輕松解決.
評析:讓學(xué)生對題目進行變式,從不同條件下“恒成立和存在性”問題的認(rèn)識過渡到一般問題的探究,尋找知識之間的聯(lián)系,把握知識的本質(zhì)屬性,發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的內(nèi)在美和統(tǒng)一美,讓學(xué)生親身經(jīng)歷以不變應(yīng)萬變的成功體驗,更好地體會等價轉(zhuǎn)化和化歸等重要數(shù)學(xué)思想.
課堂教學(xué)不能局限于數(shù)學(xué)知識的表面,而應(yīng)該在對知識結(jié)論和解題方法的基礎(chǔ)上挖掘、揭示隱含其中的數(shù)學(xué)思想和本質(zhì),幫組學(xué)生透過豐富多彩的問題背景,看清問題的本質(zhì),實現(xiàn)舉一反三,觸類旁通,建立系統(tǒng)的認(rèn)知結(jié)構(gòu),這也是課堂教學(xué)的成功.
【教學(xué)片段四】
生12:本題屬于恒成立問題,保證(k-1)f(x)max≤16g(x)min就可以了.
師:條件中“討厭的形式”f(x1)+f(x2)+…+f(xk-1)<16g(x4)阻礙了我們思考的步伐,細細分析發(fā)現(xiàn)就是運用剛才我們總結(jié)的結(jié)論(1)解題,有的同學(xué)一時遇阻,因為你“不識廬山真面目,只緣身在此山中”,這就需要同學(xué)們學(xué)會透過豐富多彩的背景看清問題的本質(zhì).
評析:引導(dǎo)學(xué)生拓展探究,利用“多題歸一”的方式,在豐富多彩的背景下,抽象出共性的“恒成立和存在性”問題的本質(zhì),內(nèi)引外聯(lián),實現(xiàn)了知識的遷移和整合.
課堂上教師起到“撥云見日”、“授業(yè)解惑”的作用,引導(dǎo)學(xué)生透過現(xiàn)象看本質(zhì),將復(fù)雜的問題分解為一系列簡單的問題,抽絲剝繭,層層深入,“黃沙吹盡始見金”,抓住問題的本質(zhì),理清知識的內(nèi)在聯(lián)系,促成學(xué)生知識內(nèi)化,完善認(rèn)知結(jié)構(gòu),有效提升思維能力和解題能力,我們的課堂就會別樣精彩.
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