由曲線外一點引曲線切線的斜率問題探究

☉江蘇省揚州市仙城中學(xué) 楊 翠

由曲線外一點引曲線切線的斜率問題探究

☉江蘇省揚州市仙城中學(xué) 楊 翠

近幾年的高考試題或各地?？荚囶}中，解析幾何部分是命題的重點題型，圓錐曲線更是高考的重點、難點和熱點.其中有一類過曲線外一點引曲線切線的問題出現(xiàn)的頻率增高，而且也是學(xué)生的弱點，因此，筆者將此類問題由淺入深，逐步剖析，以便學(xué)生能及時掌握.

一、引例

題目 已知點P是圓C：x2+y2=1外一點，設(shè)k1、k2分別是過點P的圓C兩條切線的斜率.若點P坐標為（2，2），求k·1k2的值.

解：設(shè)過點P的切線斜率為k，方程為y-2=k（x-2），即kx-y-2k+2=0.因為直線與圓相切，則d==1，化簡得3k2-8k+3=0，所以k·1k2=1.

師：k·1k2=1，從方程角度看，你有什么新的發(fā)現(xiàn)？

教師引導(dǎo)學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)k1，k2的聯(lián)系，且從兩切線斜率生成來源去總結(jié)歸納出：k1，k2為聯(lián)立出關(guān)于k方程的兩個根.化歸本質(zhì)問題即為圓外一點向圓作切線可以作兩條，根據(jù)題意設(shè)出直線方程，由圓心到直線的距離等于半徑列出關(guān)于斜率的方程，由韋達定理表示k1，k2之積問題迎刃而解，方程解法自然生成！

二、多角度探究

我們知道，學(xué)生要掌握相應(yīng)的知識與技能，全方位地體驗感知知識的形成發(fā)展，就必須要讓學(xué)生從過程與方法上、從認知上提升能力，還要進行知識的再創(chuàng)造.因此，筆者對本題充分挖掘，實施多方面多角度的探究，讓知識能力提升新的高度.

角度1已知點P是圓C：x2+y2=r2外一點，設(shè)過點P的圓C兩條切線的斜率分別是k1、k2，則k·1k2是否為定值？

若P（x0，y0）坐標滿足=λ（-r2）+r2，則k·1k2=λ定值.

角度2已知點P是圓C：x2+y2=r2外一點，設(shè)k1，k2分別是過點P的圓C兩條切線的斜率，若k1·k2=λ（λ≠1，0），求點P的軌跡M的方程，并指出曲線M所在圓錐曲線的類型.

解：仿照以上解法容易得到k·k==λ，即所求12的曲線M的方程λ=（λ-1）r2，其中x≠±r.

若λ∈（1，+∞）時，圓錐曲線M是焦點在x軸上的雙曲線；

若λ∈（0，1）時，圓錐曲線M是焦點在y軸上的雙曲線；

若λ∈（-1，0），圓錐曲線M是焦點在x軸上的橢圓；

若λ=-1時，曲線M是圓；

若λ∈（-∞，-1）時，圓錐曲線M是焦點在y軸上的橢圓.

我們知道橢圓與圓有淵源關(guān)系，那么橢圓是否也具有該性質(zhì)？3已知橢圓E：=1.過圓O：x+y=r（a

角度222上任意一點P作橢圓E的兩條切線，若兩切線的斜率都存在，則兩切線的斜率之積是否為定值？

解：仿照以上解法容易得到k1·k2==λ，即所求的曲線M的方程λ=λa2-b2，x≠±a.

若λ∈（-1，0）時，圓錐曲線M是焦點在x軸上的橢圓；

若λ=-1時，曲線M是圓；

若λ∈（-∞，-1）時，圓錐曲線M是焦點在y軸上的橢圓.

三、教學(xué)感悟

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（實驗稿）》中強調(diào)知識與技能、過程與方法和情感態(tài)度價值觀.對于高三的學(xué)生來講知識已經(jīng)全部覆蓋，不存在知識的盲點，但是解題技能和解題方法有待于進一步的提高，解題過程中的思維有待于進一步的提煉.高三的數(shù)學(xué)課不是“昨日重現(xiàn)”，因此高三的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課是一堂堂精彩的研究課.

1.關(guān)注學(xué)情考情進行教學(xué)設(shè)計

俗話說“知己知彼，百戰(zhàn)不殆”.高三的復(fù)習(xí)課強調(diào)的是針對性和有效性，而要做到這兩點必須了解學(xué)生的實際情況，他們的能力水平和認知水平究竟在哪個層面，過高或者過低都不能做到有效教學(xué).本節(jié)課筆者從學(xué)生的實際出發(fā)，充分挖掘?qū)W生出問題的根源，從知識層面、認知層面和能力層面進行全方位的反思，有針對性的教學(xué).根據(jù)學(xué)生的困惑，筆者給出了知識回顧，引導(dǎo)了解題方向，架設(shè)了學(xué)生熟悉的橋梁，掃除了“攔路虎”.表面上看讓學(xué)生從起點出發(fā)但是在層層遞進的過程中讓學(xué)生對所學(xué)的知識有了一個系統(tǒng)的認識，提高了綜合運用知識的能力.

2.改變教學(xué)方式提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣

目前由于多種原因很多學(xué)生不喜歡學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，對于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)沒有興趣，網(wǎng)上甚至有“數(shù)學(xué)滾出高考”的呼聲.這與數(shù)學(xué)本身抽象、邏輯性強、難學(xué)有很大的關(guān)系，但與教師刻板的“概念+例題+練習(xí)”的教學(xué)模式也不無關(guān)系.高三的數(shù)學(xué)課不是“炒冷飯”，不是教師的“一言堂”.教育家蘇霍姆林斯基曾經(jīng)告誡我們：“希望你們要警惕，在課堂上不要總是教師在講，‘一言堂’的這種做法不好，師生互動才能產(chǎn)生好的教學(xué)效果，讓學(xué)生通過自己的努力去理解的東西，才能成為自己的東西，才是他真正掌握的東西.”學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的激發(fā)貴在學(xué)生的參與，學(xué)生只有從親身實踐中獲得成功才會享受成功的喜悅.本節(jié)課筆者并沒有把試卷上錯誤的題目進行簡單的講解，而是通過一系列的設(shè)問讓學(xué)生充分地參與，通過層層鋪墊不斷地給學(xué)生搭階梯讓他們自己走向“舞臺”盡情的表演，在變換解決問題中發(fā)揮數(shù)學(xué)思維的力量.本節(jié)課中沒有強調(diào)，但學(xué)生發(fā)現(xiàn)、記住、理解、深化、應(yīng)用了知識；沒有高考，但學(xué)生足以應(yīng)對高考，體現(xiàn)了“教師主導(dǎo)，學(xué)生主體”的教學(xué)理念.

古人云“會當(dāng)凌絕頂，一覽眾山小”，只有當(dāng)自己站得更高才能看解得更遠.高三復(fù)習(xí)的“根”在教材，我們在平時的教學(xué)中要立足學(xué)生的實際，以課本為本，以“課標”為綱，以《考試說明》為指導(dǎo)方向，開展有效教學(xué)，讓高三的復(fù)習(xí)課成為學(xué)生的助推器，助推他們爬上成功的階梯.