冪平均的凸組合界

孟祥菊，田淑環(huán)，許會峰

(保定學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機(jī)系，河北 保定 071000)

冪平均的凸組合界

孟祥菊，田淑環(huán)，許會峰

(保定學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機(jī)系，河北 保定 071000)

得到了關(guān)于幾何平均G(a,b)、反調(diào)和平均C(a,b)、冪平均Mr(a,b)和算術(shù)平均A(a,b)的不等式，對所有的a、b>0成立的γ的最佳值．

冪平均；幾何平均；反調(diào)和平均；算術(shù)平均

1995年，Seiffert[1]證明了不等式M1(a,b)0且a≠b成立，其中Mp(a,b)=((ap+bp)/2)1/p為a和b的p-次冪平均.

StoLarsky[2]證明了不等式I(a,b)=L0(a,b)≥M2/3(a,b)，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立.

褚玉明等[3]證明了不等式αT(a,b)+(1-α)G(a,b)0且a≠b成立的充分必要條件是α<3/5且β>π/4．

經(jīng)典平均在物理學(xué)、天文學(xué)、氣象學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，它們之間的估計式是近年來研究的熱門課題.國內(nèi)外學(xué)者們[4-9]建立了一系列精確的不等式，這些結(jié)果是經(jīng)典結(jié)論的推廣和發(fā)展.

(1)

(2)

定理2不等式A(a+b)+C(a+b)≥2M2(a,b)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立.

證明若a=b，則A(a,b)+C(a,b)=2M2(a,b)=2a.

故A(a,b)+C(a,b)≥2M2(a,b)

下面證明2M2(a,b)是冪平均關(guān)于算術(shù)平均和反調(diào)和平均的最佳凸組合下界.

對于?ε>0,0

(3)

(4)

[1] SEIFFERT H J．Aufgabe 16[J]．Die Wurzel，1995,29(87)：221-222．

[2] STOLARSKY K B.The power and generalized logarithmic means[J]．The American Mathematical Monthly，1980,87(7):545-548．

[3] CHU Y M，ZONG C，WANG G D．Optimal convex combination bounds of Seiffert and geometric means for the arithmetic mean[J]．J Math Inequal，2011,5(3)：429-434．

[4] RICHARDS K C．Sharp power mean bounds for the Gaussian hypergeometric function[J]．Journal of Mathematical Analysis and Applications，2005,3089(1)：303-313．

[5] CHU Y M,WANG M K,WANG G D．The optimal generalized logarithmic Mean boundcs for seiffert’s mean[J]．Acta Mathematica Scientia，2012,32B(4):1619-1626．

[6] 孟祥菊，潘學(xué)功，高夢涵.對數(shù)平均的最優(yōu)凸組合界[J].河北大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2014，34(5)：471-474.DOI:10.3969/j.issn.1000-1565.2014.05.005

MENG X J,PAN X G,GAO M H.Optimal convex combination bounds for logarithmic mean[J].Journal of Hebei University(Natural Science Edition),2014，34(5)：471-474.DOI:10.3969/j.issn.1000-1565.2014.05.005

[7] 趙鐵洪，褚玉明．對數(shù)平均和雙參數(shù)廣義Muirhead平均之間的比較[J]．中國科學(xué)：數(shù)學(xué)，2015,45(3)：233-244．

ZHAO T H,CHU Y M.Comparison between the logarithmic and two-parameter generalized Muirhead means[J]．Science China(mathematics)，2015,45(3)：233-244．

[8] 史明宇，褚玉明，蔣月評．關(guān)于冪平均、調(diào)和平均和指數(shù)平均的最佳不等式[J]．?dāng)?shù)學(xué)物理學(xué)報，2011,31A(5)：1377-1384．

SHI M Y,CHU Y M,JIANG Y P.Optimal inequalities related to the power,harmonic and identric means[J]．Acta Mathematica Scientia，2011,31A(5)：1377-1384.

[9] 孫惠，褚玉明．Toader平均的二次與調(diào)和平均界[J]．?dāng)?shù)學(xué)物理學(xué)報，2015,35A(1)：36-42．

SUN H,CHU Y M.Bounds for toader mean by quadratic and harmonic means[J]．Acta Mathematica Scientia，2015,35A(1)：36-42．

(責(zé)任編輯：王蘭英)

Optimalconvexcombinationboundsforthepowermean

MENGXiangju，TIANShuhuan，XUHuifeng

(Department of Mathematics and Computer Science,Baoding College,Baoding 071000,China)

The optimal value of parameters are obtained to make the following double inequality holds for alla,b>0,2Mr(a,b)≥G(a,b)+C(a,b)andA(a,b)+C(a,b)≥2Mr(a,b)whereMr(a,b),G(a,b),C(a,b),A(a,b)denote the power mean,the geometric mean,the contraharmonic mean,the arithmetic mean of two different positive numbers a and b respectively.

the power mean；the geometric mean；the contraharmonic mean；the arithmetic mean

O178

A

1000-1565(2017)05-0454-03

10.3969/j.issn.1000-1565.2017.05.002

2016-11-25

河北省軟科學(xué)基金資助項(xiàng)目(154576249)；河北省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(A2015201149)

孟祥菊(1971—),女，河北盧龍人，保定學(xué)院副教授，主要從事幾何函數(shù)論的研究.E-mail：mengxiangju328@163.com