巧用法向量求多面體中的距離

謝忠

向量是高中數學中的重要概念之一，利用法向量求多面體中的距離，既是高考考查的重點又是學生的難點，就此，嘗試運用向量法解題很有必要。

下面，談談利用法向量求多面體中的距離。解題方法指導：（1）設n是平面α的法向量，AB是α的一條斜線，A∈α，則點B到平面α的距離為d=|AB·n||n| ；（2）設n是兩條異面直線L1、L2的公垂線的法向量，又C、D分別是L1、L2的任一點，則L1、L2的距離d=|CD·n||n| 。

一、 利用平面的法向量求空間的異面直線間的距離（線線距）

例1：M、N是棱長為1的正方體ABCD—A1B1C1D1的棱A1B1、BB1的中點，求異

面直線AM與CN間的距離。

解析：建立空間直角坐標系如圖1，設AM與CN的公垂線上的法向量為n=（x，y，z），由A（1，0，0）、M（1，12 ，1）、N（1，1，12 ）、C（0，1，0）

AM=（0，12 ，1）、CN=（1，0，12 ），則AM·n=0且CN·n=0

得12 y+z=0，且x+12 z=0，令z=2，則x=-1，y=-4

所以n=（-1，-4，2），AC=（-1，1，0）

故異面直線AM與CN距離d=|AC·n||n| =|-1×（-1）+（-4）×1+2×0|√（-1）2+（-4）2+22 =√217

二、利用法量求點到平面的距離（點面距）

例2：已知正方形ABCD的邊長為1，PD⊥平面ABCD，且PD=1，E、F分別為AB、BD的中點，求點D到平面PEF的距離。

解析：建立空間直角坐標系如圖2，由P（0，0，1），E（1，12 ，0），F（12 ，1，0），PE=（1，12 ，-1），PF=（12 ，1，-1），設n=（x， y， z）是平面PEF的一個法向量，則PE·n=0且PF·n=0，得x+12 y-z=0且12 x+y-z=0

令x=y=2，則z=3，所以n=（2，2，3）

又PD=（0，0，-1）故d=|PD·n||n| =3√1717

三、利用法向量求平行直線到平面的距離（線面距）

例3：正三棱柱ABC—A1B1C1的九條棱均相等，D是BC上一點，AD⊥C1D，若AB=2，求直線A1B與截面ADC1的距離。

解析：易證AD⊥BC，連結A1C交AC1于E，由A1B∥DE

可得A1B∥面ADC1，建立空間直角坐標系如圖3：由B（1，0，0），

A（0，-√5，0），C1（-1，0，2），AD=（0，√5，0），C1D=（1，0，-2），

高n=（x，y，z）是面ADC1的一個法向量，則AD·n=0且C1D·n=0，

得√5y=0且x-2z=0，令z=1，則x=2，所以n=（2，0，1），BD=（-1，0，0），故d=|BD·n||n| =2√5 =2√55

四、利用法向量求平行平面間的距離（面面距）

例4：棱長為1的正方體ABCD- A1B1C1D1中，M、N、E、F分別是棱A1B1、A1D1、B1C1 、C1D1的中點，求平面AMN與平面EFDB的距離。

解析：建立空間直角坐標系如圖4

由A（1，0，0），M（1，12 ，1），N（12 ，0，1），B（1，1，0），

AM（0，12 ，1），AN=（-12 ，0，1）

設兩平面的法向量為n=（x，y，z），則有AM·n=0且AN·n=0，即12 y+z=0且-12 x+z=0令x=2，則y=-2，z=1，得n=（2，-2，1），又AB=（0，1，0）故d=|AB·n||n| =2√4+4+1 =23

注：例3、例4可轉化為點到平面的距離來求。

在多面體中求有關距離的問題比較多，如果能把這些問題轉化為向量運算，解答起來更省時省力，又減少了作輔助線的煩惱，體現了“數”與“形”的結合，從而減少計算量，優(yōu)化解題過程，這也是得用向量解題的獨到之處。