非奇異M矩陣的判定

許 潔

(吉林化工學(xué)院理學(xué)院，吉林省吉林市 132022)

非奇異M矩陣的判定

許 潔

(吉林化工學(xué)院理學(xué)院，吉林省吉林市 132022)

本文通過研究非奇異M矩陣的定義及其與廣義嚴格對角占優(yōu)矩陣間的關(guān)系，獲得了一組非奇異M矩陣的實用判別條件，該判別方法避免了同類判別法中關(guān)于參數(shù)取值的討論問題，直接利用矩陣元素間的關(guān)系對給定矩陣進行判定，進一步豐富了非奇異M矩陣的理論。

非奇異M矩陣；比較矩陣；對角占優(yōu)矩陣；α對角占優(yōu)矩陣

非奇異M矩陣最早是由美國數(shù)學(xué)家Ostrowski在1937年提出的，這個重要的矩陣類起源于矩陣計算中的迭代程序值收斂性質(zhì)的研究[1].在計算數(shù)學(xué)和矩陣理論的研究中，有關(guān)非奇異M矩陣的判定準則及其應(yīng)用是矩陣理論研究的熱點[2-6]，同時由于矩陣間運算的復(fù)雜性，關(guān)于非奇異M矩陣的判定方法也成為人們研究的難點.本文利用非奇異M矩陣和廣義對角占優(yōu)矩陣之間的關(guān)系[5]，利用矩陣自身元素推導(dǎo)出關(guān)于非奇異M矩陣的判定條件，豐富了該領(lǐng)域的內(nèi)容，并為矩陣論、控制論等相關(guān)領(lǐng)域的研究奠定了理論基礎(chǔ).

首先給出關(guān)于本文一些主要符號的說明.

關(guān)于非奇異M矩陣的等價表征是M矩陣理論的重要研究領(lǐng)域，Berman和Plemmons[2]匯集了眾多關(guān)于M

矩陣的判定的研究方法.由于M矩陣的判定方法不同，關(guān)于M矩陣的定義方法也有很多種，首先介紹常用的M矩陣的定義.

定義1[1]設(shè)A=(aij)∈Rn×n，滿足aii>0,aij≤0,j≠i.若A的所有順序主子式均大于零，則稱矩陣A是非奇異M矩陣.

在關(guān)于M矩陣的判定中，有一些判定準則是借助非奇異M矩陣與廣義對角占優(yōu)矩陣的關(guān)系給出的，下面給出廣義對角占優(yōu)矩陣的定義.

引理2[8]設(shè)A=(aij)∈Zn×n，且aii>0，若矩陣A的特征值實部均為正值，則矩陣A為非奇異M矩陣.

引理3 設(shè)A=(aij)∈Cn×n，B=M(A)+M(AT),其中M(A)為矩陣A的比較陣，若B是非奇異M矩陣，則M(A)為非奇異M矩陣，矩陣A為廣義嚴格對角占優(yōu)矩陣.

構(gòu)造矩陣B=(bij)n×n=M(A)+M(AT)，由B是對稱矩陣，設(shè)B具有如下分塊形式：

進而若有Ni∩N0=?，即Ni?N+時，注意到Bii=B(Ni)，即知必有Bii∈D，由文獻[7]中定理1，當矩陣A∈Zn×n，自然有Bii∈D*.又因為Bii∈Zn×n且bii>0，故而B∈M，從而由引理3得A∈D*.再由aii>0且A∈Zn×n，則矩陣A為非奇異M矩陣.

而若Ni∩N0≠?，則由假設(shè)知Ni∩N+≠?.由題設(shè)條件知，對任意i∈N0∩Nσi，存在t∈N+∩Nσi,使得aii1ai1i2…aist≠0，則對i∈N0∩Nσi，同樣存在t∈N+∩Nσi,使得bii1bi1i2…bist≠0，即Bii(1≤i≤k)已為非零元素鏈對角占優(yōu)矩陣，即Bii∈D*.由Bii∈Zn×n且bii>0，故而B∈M，進而類似可得A∈D*，再由aii>0且A∈Zn×n，則知矩陣A為非奇異M矩陣.

[1]逄明賢.矩陣譜論[M].長春:吉林大學(xué)出版社,1990.

[2]Berman A,Plemmons R J.Nonnegative matrices in the mathematical sciences[M].Society for Industrial and Applied Mathematics,1994.

[3]郭希娟,王常武,王永茂,等.非奇異M矩陣的判定及并行算法[J].高等學(xué)校計算數(shù)學(xué)學(xué)報,2001(4):357-362.

[4]劉建州,徐映紅.非奇異M矩陣的判定及并行算法的注記[J].高等學(xué)校計算數(shù)學(xué)學(xué)報,2003(4):317-320.

[5]孫玉祥,呂洪斌.廣義嚴格對角占優(yōu)矩陣與非奇異M-矩陣的判定[J].廈門大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2001(5):1011-1016.

[6]趙建興.非奇異M-矩陣最小特征值的下界估計[J].吉林大學(xué)學(xué)報:理學(xué)版,2017(3):553-558.

[7]許潔,劉明姬,呂顯瑞.廣義嚴格對角占優(yōu)矩陣的實用新判定[J].吉林大學(xué)學(xué)報:理學(xué)版,2014(4):740-742.

[8]游兆永.非奇異M矩陣[M].武漢:華中工學(xué)院出版社,1981.

TheCriteriaforNonsingularMMatrix

XU Jie

(College of Sciences, Jilin Institute of Chemical Technology, Jilin Jilin 132022,China)

In this paper, we deduce a set of criteria for nonsingularMmatrix by studying the definition of nonsingularMmatrix and its relation with the generalized strictly diagonally dominant matrices. This method avoids the discussion of the parameter in the same discriminant method, and the proposed methods directly judges the given matrix by the relation between the elements of the matrix, which enriching the theory of nonsingularMmatrix.

nonsingularMmatrix; comparison matrix; diagonally dominant matrix;α diagonally dominant matrix

O151.21

A

2095-7602(2017)10-0001-03

2017-06-23

許 潔(1980- )，女，副教授，博士研究生，從事矩陣代數(shù)研究。