軸向移動繩固有頻率計算和分析

仲 凱, 陳恩偉, 羅 全, 陸益民, 劉正士

(合肥工業(yè)大學(xué) 機械工程學(xué)院,安徽 合肥 230009)

軸向移動繩固有頻率計算和分析

仲 凱, 陳恩偉, 羅 全, 陸益民, 劉正士

(合肥工業(yè)大學(xué) 機械工程學(xué)院,安徽 合肥 230009)

文章以軸向移動繩為研究對象,分析了定長度和變長度2種移動繩系固有頻率和受迫振動特性。利用傳播波在繩中反射的振動周期和固有振型規(guī)律,研究了軸向移動繩振動特性;通過Matlab數(shù)值仿真,對比了定長度和變長度2種移動繩固有頻率的差異以及繩系的軸向移動速度和張緊力變化對其固有頻率的影響;并利用四階Runge-Kutta法,計算了軸向移動繩受迫振動的橫向位移響應(yīng)。

軸向移動繩;變長度;固有頻率;受迫振動;傳播波

0 引 言

傳送帶、帶鋸、磁帶、升降電梯以及繩系衛(wèi)星等工程設(shè)備物理模型可以簡化為軸向移動繩系。這些工程設(shè)備的振動問題嚴重地影響其在實際工程中的使用效果和安全性。如帶鋸的振動影響加工產(chǎn)品的質(zhì)量；磁帶的振動影響其音質(zhì)和使用壽命；升降電梯的振動影響電梯的穩(wěn)定性、舒適性和安全性,嚴重時甚至?xí)a(chǎn)生安全事故等。因此，對軸向移動繩系振動問題的研究十分必要。文獻[1]利用相位封閉原理研究了軸向移動繩的頻率變化和能量損失問題;文獻[2]通過實驗得出移動繩兩端無約束情況下的固有振型,并與理論計算之間進行了對比;文獻[3]利用拉格朗日方程和有限元法建立了軸向移動繩模型,研究了軸向移動繩的自由振動響應(yīng)和能量變化問題;文獻[4]通過Hamilton原理研究了變長度的橫向位移響應(yīng)和能量問題;文獻[5-6]研究了附加子系統(tǒng)的軸向移動繩系固有頻率以及引起系統(tǒng)共振的因素;文獻[7]研究了軸向移動繩在兩端自由移動情況下的振動特性,發(fā)現(xiàn)當(dāng)繩系兩端靠近時系統(tǒng)會發(fā)生高頻振動問題;文獻[8]研究了高速電梯運動,發(fā)現(xiàn)在電梯上行階段系統(tǒng)的振動幅值和頻率有增大的現(xiàn)象;文獻[9]研究了電梯懸掛系統(tǒng)在外界激勵下的橫向位移響應(yīng)和固有頻率變化問題,分析了頻率變化規(guī)律。

本文主要運用繩系中傳播波特性來計算繩系的固有頻率,分析繩系固有頻率的影響因素和外界激勵下的受迫振動響應(yīng)。

1 軸向移動繩模型

軸向移動繩模型如圖1所示,建?；谝韵录僭O(shè):軸向移動繩線密度、張緊力在運動過程中保持不變;忽略軸向移動繩縱向振動的影響,且軸向移動繩的橫向振動引起的彈性變形遠小于軸向移動繩長度。軸向移動繩中張緊力為常量P,繩的線密度為ρ,外界激勵力為f(x,t),橫向位移為w(x,t),則系統(tǒng)方程[1]為:

(1)

圖1 變長度軸向移動繩模型

2 軸向移動繩中的傳播波

利用駐波特性來分析軸向移動繩問題,即將繩中駐波分解為2個反方向的傳播波[10]來表示:

w(x,t)=Aei(ω t-kx)=A1ei(ω t-k1x)+A2ei(ω t-k2x)

(2)

其中,A1、k1為波K1的幅值和波數(shù);A2、k2為波K2的幅值和波數(shù)。波在繩中遇到不同邊界條件反射時,波長與繩長之間的關(guān)系滿足不同規(guī)律。當(dāng)邊界條件滿足w(0,t)=w(L,t)=0時,即橫向位移為0,則有:

(3)

假設(shè)波K1從繩子左端移動到右端的時間為t1,返回左端的時間為t2,由(3)式波長與繩長的關(guān)系可得軸向移動繩n階固有振型對應(yīng)的振動周期為:

(4)

3 固有頻率和受迫振動響應(yīng)

3.1 定長度繩

圖1中,當(dāng)v1=0,v2=0時,移動繩模型簡化為兩端固定且不可軸向移動,此時繩長為初始長度L0。波K1從繩子左端移動到右端的往返時間分別為t1=L0/u,t2=L0/u,則有：

其中，u為波速。固有頻率為:

(5)

當(dāng)v1≠0,v2=0時,移動繩模型簡化為兩端固定但能在支撐環(huán)中軸向移動且速度為v1,此時繩長為初始長度L0。波K1從繩子左端移動到右端的往返時間分別為t1=L0/(u+v1),t2=L0/(u-v1),則有：

固有頻率為:

(6)

當(dāng)(6)式中的軸向移動速度v1=0時,(6)式轉(zhuǎn)化為(5)式,即繩系無軸向移動。選取軸向移動繩參數(shù)如下:L0=18 m,ρ=0.010 kg/m,v2=0。通過(5)式和(6)式計算發(fā)現(xiàn),有軸向移動速度時,定長繩的固有頻率ωn隨軸向速度v1的增大而減小;固有頻率ωn隨張緊力P的增大而增大,變化規(guī)律如圖2所示。

圖2 軸向移動繩固有頻率的變化規(guī)律

施加外界激勵力F=sin(πt) N,分別作用在繩x=(1/4)L,x=(1/2)L,x=(3/4)L處。移動繩參數(shù)選取同上,此時張緊力P=20 N。利用四階Runge-Kutta法,計算軸向移動繩系中點處的橫向位移響應(yīng),結(jié)果如圖3所示。

圖3 外界激勵下軸向移動繩中點處橫向位移響應(yīng)

當(dāng)外界激勵力F=sin(ωt) N時,激勵頻率分別取ωa=7.0 rad/s和ωb=7.8 rad/s時,軸向繩系中點處橫向位移分別如圖4a和圖4b所示,產(chǎn)生了拍振和共振現(xiàn)象。當(dāng)外界激勵力頻率接近或者等于系統(tǒng)一階固有頻率ω1=7.8 rad/s(見圖2,P=20 N,v1=0)時,中點處振幅明顯增大,產(chǎn)生強烈的振動現(xiàn)象。

圖4 拍和共振現(xiàn)象

3.2 變長度繩

圖1中,當(dāng)v1=0,v2≠0時,軸向移動繩模型簡化為右端可軸向移動但繩系左端固定且不能在支撐環(huán)中移動,移動繩長度L(t)=L0±v2t,且繩系左右兩端各有波K1和波K2相向運動。假設(shè)波K1第1次到達繩子右端時間為t1和此時波K2經(jīng)過時間t1后位置為x1。當(dāng)K1運動到繩子右端點有(u+v2)t1=L0+v2t1,移動到右端時間為:

t1=L0/u

(7)

此時繩子長度為:

(8)

波K2的位置為:

(9)

波K1第1次到達繩子左端的時間t2(從波K1第1次到達繩子右端開始計時)為:

(10)

此時繩長為:

(11)

波K2第1次到達繩子左端點時間為:

(12)

顯然t1′小于t2,因此波K2先到達左端點,并且此時波K2的位置x2恰好在繩子右端點,即

(13)

則第1個運動周期為:

(14)

波K1第2次從繩子左端到達繩子右端再返回,與第1次運動過程相同,則運動周期為:

(15)

以此類推第m個運動周期為:

(16)

故

(17)

(18)

當(dāng)(18)式中右端移動速度v2=0時轉(zhuǎn)化為(5)式,此時變長度軸向移動繩為定長度繩。變長度移動繩參數(shù)選取如下:L0=18 m,ρ=0.010 kg/m,P=20 N,v1=0。由(18)式計算發(fā)現(xiàn)，變長度繩的固有頻率隨著繩子伸長(v2>0)而減小,隨著繩子縮短(v2<0)而增大;且軸向移動速度越大,頻率變化越快。繩系伸長和縮短時固有頻率的變化如圖5所示。

圖5 繩系伸長和縮短時固有頻率的變化規(guī)律

4 結(jié) 論

(1) 本文利用傳播波固有振型和振動周期之間的關(guān)系分析了軸向移動繩系(定長度和變長度)的固有頻率。變長度軸向移動繩的固有頻率隨著繩長伸長(v2>0)固有頻率減小，隨著繩長縮短(v2<0)固有頻率增大;且軸向移動速度v2越大,頻率變化越快。

(2) 分析了軸向移動速度v1對定長度軸向移動繩固有頻率的影響。定長度軸向移動繩固有頻率與軸向移動速度v1呈負相關(guān),且軸向移動速度v1的變化越大,固有頻率變化越快。

(3) 分析了張緊力P對軸向移動繩(定長度和變長度)固有頻率的影響。軸向移動繩固有頻率與軸向移動繩張緊力呈正相關(guān)，張緊力越大,固有頻率越大。

[1] LEE S Y,LEE M.A new wave technique for free vibration of a string with-varying length[J].Journal of Applied Mechanics,2002,69(1):83-87.

[2] KASHY E,JOHNSON D A,MCINTYRE J,et al.Transverse standing waves in a string with free ends[J].American Journal of Physics,1997,65(4):310-313.

[3] CHEN E W,FERGUSON N S.Analysis of energy dissipation in an elastic moving string with a viscous damper at one end [J].Journal of Sound and Vibration,2014,333(9):2556-2570.

[4] SANDILO S H,HORSSEN W T V.On variable length induced vibrations of a vertical string[J].Journal of Sound and Vibration,2014,333(11):2432-2449.

[5] FUNG R F,HUANG J S,CHU J J.Dynamic stability of an axially travelling string/slider coupling system with moving boundary [J].Journal of Sound and Vibration,1998,211(4):689-701.

[6] CHEN J S.Natural frequencies and stability of an axially-traveling string in contact with a stationary load system[J].Journal of Vibration and Acoustics,1997,119(2):152-157.

[7] RAM Y M,CALDWELL J C.Free vibration of a string with moving boundary conditions by the method of distorted images [J].Journal of Sound and Vibration,1996,194(1):35-47.

[8] 張鵬,朱昌明,張梁娟.變長度柔性提升系統(tǒng)縱向-橫向受迫耦合振動分析[J].工程力學(xué),2008，25(12):202-207.

[9] 王文,錢江.電梯懸掛系統(tǒng)在建筑搖晃引起位移激勵下橫向振動分析[J].振動與沖擊,2013,32(7):70-73.

[10] SINGIRESU S R.Mechanical vibrations[M].4th ed.Singapore:Pearson Prentice Hall,2004.

Calculationandanalysisofnaturalfrequencyforanaxiallymovingstring

ZHONG Kai, CHEN Enwei, LUO Quan, LU Yimin, LIU Zhengshi

(School of Mechanical Engineering, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China)

Aiming at an axially moving string with constant and variable length, the problems of natural frequency and forced vibration are investigated. Dynamic characteristics of axially moving string are studied by vibration period and natural mode of transverse wave on the string. The difference in natural frequency between axially moving string with constant length and that with variable length is obtained by numerical simulations using Matlab. The relationship between the natural frequency and the axial speed and tension is obtained. Transverse displacement response of forced vibration is obtained by numerical simulations using fourth-order Runge-Kutta method.

axially moving string; variable length; natural frequency; forced vibration; transverse wave

2016-01-04；

2016-03-10

國家自然科學(xué)基金資助項目(51305115；51675150)

仲 凱 (1990-),男,江蘇泗陽人,合肥工業(yè)大學(xué)碩士生;

陳恩偉 (1979-),男,廣西合浦人,博士,合肥工業(yè)大學(xué)副教授,碩士生導(dǎo)師,通訊作者,E-mail:cew723@163.com.

10.3969/j.issn.1003-5060.2017.09.003

TB123

A

1003-5060(2017)09-1164-04

(責(zé)任編輯 胡亞敏)