田江龍 屈衛(wèi)東

(上海交通大學電子信息與電氣工程學院)

基于小波去噪的閾值函數(shù)改進方法分析①

田江龍 屈衛(wèi)東

(上海交通大學電子信息與電氣工程學院)

首先介紹了兩種國內(nèi)外比較有代表性的小波閾值改進方法，并在傳統(tǒng)軟、硬閾值函數(shù)的基礎(chǔ)上提出了一種新的改進閾值函數(shù)，通過對小波系數(shù)的閾值處理，使得去噪后的信號在過分平滑與邊緣振蕩現(xiàn)象之間達到合理的平衡。對一段壓氣機臺架實驗數(shù)據(jù)的仿真分析表明：該方法在去噪的同時減少了有用信息的損失，在信噪比增益和最小均方差誤差方面的性能指標要優(yōu)于傳統(tǒng)軟、硬閾值法，同時在3種改進閾值函數(shù)方法中具有最佳的去噪性能。

小波去噪 軟閾值函數(shù) 硬閾值函數(shù)

信號去噪問題一直是一個重要而且熱門的課題。近些年來，隨著小波分析理論的日臻完善和小波研究的不斷深入，小波分析的應(yīng)用日趨廣泛。其中，利用小波分析進行信號去噪是信號處理領(lǐng)域的重要應(yīng)用之一，并且已經(jīng)顯示出比傳統(tǒng)的傅里葉分析更多的優(yōu)勢。目前，小波去噪方法大致分為3類：基于小波變換模極大值原理的小波去噪、基于相鄰尺度小波系數(shù)相關(guān)性的小波去噪和小波閾值函數(shù)去噪。閾值函數(shù)法是Donoho D L在1995年提出的一種簡單有效的小波去噪方法[1]，由于該方法在Besov空間上可得到最佳的估計值，是其他線性估計方法所達不到的，因此引起了國內(nèi)外學者的廣泛關(guān)注與研究。但是，該方法采用的軟閾值與硬閾值函數(shù)仍存在一些有待改進的地方，如硬閾值函數(shù)由于不連續(xù)會使得信號在突變處出現(xiàn)振蕩現(xiàn)象；軟閾值函數(shù)會損失有用的高頻信息，去噪后信號過于平滑等。針對這些問題，國內(nèi)外的很多學者提出了一些解決方案和改進方法[2,3]，如最大似然估計法、軟硬閾值折衷法、多項式插值法及修正軟閾值法等，并進行了大量的實驗驗證，從而進一步提高了小波閾值去噪法的去噪性能，擴展了其應(yīng)用領(lǐng)域。

筆者首先介紹小波閾值去噪的原理和傳統(tǒng)的軟、硬閾值函數(shù)，然后在傳統(tǒng)閾值函數(shù)的基礎(chǔ)上提出了一種新的小波閾值函數(shù)，并進行了理論分析與仿真驗證。然后選取3種國內(nèi)外有代表性的改進方法和筆者的改進方法對截取的一段壓氣機臺架實驗數(shù)據(jù)進行去噪分析，并對比了它們的去噪性能。

1 小波閾值函數(shù)去噪法

1.1 小波閾值函數(shù)去噪原理

假設(shè)一維含噪聲信號的數(shù)學模型為[4]：

f(k)=s(k)+n(k)

(1)

其中，f(k)為含噪聲信號，s(k)為原始信號，n(k)為均方差為σ2的高斯白噪聲，服從N(0,σ2)的標準正態(tài)分布。則通過小波閾值去噪法從f(k)含噪信號中得到s(k)的過程可分為以下3個步驟：

a. 利用小波對含噪信號進行分解。選擇小波分解層數(shù)N和合適的小波包，對含噪聲信號f(k)進行N層小波分解，獲取各尺度小波系數(shù)ψjk。

1.2 傳統(tǒng)閾值函數(shù)

小波閾值去噪方法的焦點在于對高頻小波系數(shù)的估計，傳統(tǒng)的閾值函數(shù)有軟閾值和硬閾值函數(shù)兩種。

傳統(tǒng)硬閾值函數(shù)的數(shù)學表達式為：

(2)

傳統(tǒng)軟閾值函數(shù)的數(shù)學表達式為：

(3)

硬閾值函數(shù)是將絕對值小于閾值的小波系數(shù)設(shè)為零，而將絕對值較大的系數(shù)全部保留，由于該函數(shù)是不連續(xù)的，小波重構(gòu)后所得到的信號會出現(xiàn)振蕩。軟閾值函數(shù)則是將絕對值較大的系數(shù)減去固定值T，這樣會直接影響重構(gòu)后的小波信號與原始信號的逼近程度，造成較多的高頻信息損失，導致信號的邊緣模糊。在實際工程應(yīng)用中，通過軟閾值函數(shù)法去噪后的信號較光滑，有著較大的信號失真，而利用硬閾值函數(shù)去噪后的效果并不理想，且對時變信號的去噪效果不佳。

2 對小波閾值函數(shù)的改進方法

由上述分析結(jié)果可見，傳統(tǒng)的軟、硬閾值函數(shù)還存在一些不足之處。國內(nèi)外在這方面已做了大量研究，并提出了一些改進函數(shù)。筆者選取兩種比較有代表性的改進方法進行介紹并做理論分析，然后在傳統(tǒng)軟、硬閾值函數(shù)的基礎(chǔ)上提出一種新的閾值函數(shù)方法。為了敘述方便，筆者將提到的3種改進方法分別稱為：改進方法一、改進方法二和改進方法三。

2.1 改進方法一

改進方法一是一種改進硬閾值法[5]，其表達式為：

(4)

其中，n為任意正常數(shù)，即n∈Z,當n→+∞時閾值函數(shù)等效于軟閾值函數(shù)，當n→0時閾值函數(shù)等效于硬閾值函數(shù)。通過調(diào)整n的值，使得該函數(shù)在軟、硬閾值函數(shù)之間變動，從而獲得不同的去噪性能。改進方法一(在n=0.5,T=3時的函數(shù)如圖1所示)是對硬閾值函數(shù)的一種改進方法，使得閾值處理時在閾值T處的小波系數(shù)能平滑過渡，從而使得去噪后的信號具有更好的連續(xù)性。

圖1 改進方法一函數(shù)示意圖

2.2 改進方法二

改進方法二是一種雙變量小波閾值函數(shù)[6]，其表達式為：

(5)

圖2 改進方法二函數(shù)示意圖

2.3 改進方法三

改進方法三是筆者在對傳統(tǒng)的軟、硬閾值函數(shù)和國內(nèi)外相關(guān)閾值函數(shù)研究基礎(chǔ)上提出的一種新的閾值函數(shù)，其表達式為：

(6)

其中，a>0.5,k>0，且a、k滿足如下條件：

(7)

其中a是可變參數(shù)。改進方法三在有用信號和噪聲信號之間形成一段連續(xù)的平滑過渡帶。a參數(shù)的值用于指定過渡帶的曲線階次，a越大，過渡帶曲線越陡，a越小，過渡帶曲線越緩。因此，可以通過設(shè)置a來調(diào)節(jié)去噪信號的平滑度。式(7)用于保證閾值T的位置處在閾值函數(shù)二階導數(shù)為零處，從而使得在過渡帶斜率保持持續(xù)增加，使得閾值函數(shù)的曲線更快地逼近漸近線y(x)=x，從而盡量保持高頻信息不損失。當參數(shù)a、T被指定，可通過式(7)計算出k。通過分析可以發(fā)現(xiàn)，在x=T點處的左右導數(shù)值存在如下關(guān)系：

(8)

保持a=-0.5時該閾值函數(shù)的曲線與軟閾值函數(shù)的一樣。當a→+∞時該閾值函數(shù)的曲線與硬閾值函數(shù)的一樣。改進方法三在合理地選取參數(shù)后既有改進軟閾值函數(shù)法的優(yōu)點，又有改進硬閾值函數(shù)法的優(yōu)點，通過文獻[6]可以知道在信噪比特性方面，改進硬閾值方法的性能較一般的改進軟閾值函數(shù)法要好。改進方法三在a=3,T=3時的閾值函數(shù)如圖3所示。

圖3 改進方法三函數(shù)示意圖

為了更為直觀地顯示參數(shù)a對閾值函數(shù)的影響，分別取a=-0.5,a=0.5,a=3,a=200繪制函數(shù)曲線(圖4)，由圖可見閾值函數(shù)變換趨勢與理論分析相符。

a. a=-0.5 b. a=0.5

c. a=3 d. a=200

3 去噪性能對比分析

為了能夠獲得筆者所介紹的3種改進閾值函數(shù)在小波閾值去噪中的性能特性，分別采用軟、硬閾值函數(shù)和文中所提到的3種改進閾值函數(shù)對一段壓氣機臺架實驗的靜壓數(shù)據(jù)進行去噪分析，并利用信噪比SNR和均方差誤差RMSE這兩個性能指標對降噪效果進行量化，以便進行比較。

選擇db8小波對所選實驗數(shù)據(jù)進行5層小波分解，并對小波系數(shù)分層(即d1～d5共5層)后的數(shù)據(jù)設(shè)置閾值T。通過前面章節(jié)的分析可知，小波閾值T在去噪過程中起著至關(guān)重要的作用。若閾值T設(shè)置太大，將會丟失較多有用的高頻信息，從而造成小波重構(gòu)后的信號存在較大的失真；而如果閾值T設(shè)置太小，那么閾值函數(shù)處理后的小波估計系數(shù)中依舊含有很多噪聲分量，與去噪的初衷不合。文中閾值T通過統(tǒng)一全局閾值法[7]求取，它在實際的工程應(yīng)用中具有較好的效果，其數(shù)學表達式如下：

(9)

其中，Nj為j尺度上的小波系數(shù)的數(shù)據(jù)長度；σj=MAD(|ψjk|)/q,MAD(·)表示對數(shù)據(jù)取中值，q是常數(shù)，根據(jù)經(jīng)驗取0.4～1.0之間的值，筆者選擇q=0.7。筆者對壓氣機實驗室數(shù)據(jù)進行仿真計算得到各層小波系數(shù)的閾值設(shè)置見表1。

表1 各層閾值設(shè)置

由上述分析可知，所選的3種改進閾值函數(shù)均有可變參數(shù)，且其去噪效果與參數(shù)值有關(guān)。因此，通過參考各文獻的參數(shù)設(shè)置和Matlab仿真結(jié)果，各改進函數(shù)參數(shù)取值分別為n=0.2,m=0.9,a=3和a=3時得到的均方差最小，信噪比最大。5種閾值函數(shù)的去噪性能對比見表2。

表2 5種閾值函數(shù)的去噪性能對比

從表2的對比結(jié)果可見，硬閾值函數(shù)法要比軟閾值函數(shù)法的去噪性能好，原因在于軟閾值函數(shù)去噪后信號盡管比硬閾值函數(shù)法平滑，但損失了更多的高頻成分。改進方法一是一種改進的硬閾值函數(shù)，實驗結(jié)果表明此方法去噪性能要比傳統(tǒng)硬閾值函數(shù)法優(yōu)越。改進方法二是一種改進的軟閾值函數(shù)，實驗結(jié)果表明其去噪性能要比傳統(tǒng)軟閾值函數(shù)優(yōu)越，但是其平滑作用也損失了較多有用高頻信號，使得其性能并不優(yōu)于改進方法一。筆者提出的改進方法三在5種函數(shù)方法中去噪性能最佳，去噪后信號的信噪比提升最多，均方差誤差系數(shù)最小。當然，表2的對比結(jié)果與各層小波系數(shù)閾值的選取也有一定關(guān)系，通過改變閾值的取值發(fā)現(xiàn)，隨著閾值增大，這5種方法的信噪比趨于同一個值，隨著閾值減小，信噪比均有不同程度的增大，但大量實驗結(jié)果表明，筆者所提的方法均有最佳的表現(xiàn)。選取信噪比最大的兩種方法的去噪后信號與原始信號的對比如圖5所示。

圖5 改進方法一、三去噪結(jié)果對比

通過以上分析，分析結(jié)果與各方法的理論分析結(jié)果相符，筆者所提出的去噪方法較其他幾種方法具有明顯的優(yōu)越性。

4 結(jié)束語

首先通過介紹小波閾值去噪的原理，然后針對傳統(tǒng)小波軟、硬閾值函數(shù)存在的不足介紹了3種改進的閾值函數(shù)，并通過Matlab仿真實驗對比分析了3種改進閾值函數(shù)的去噪性能。分析結(jié)果表明改進閾值函數(shù)在SNR和RMSE性能方面要優(yōu)于傳統(tǒng)的軟、硬閾值函數(shù)。

筆者提出的新的閾值函數(shù)在3種改進閾值函數(shù)方法中去噪性能更好，且在除閾值T處外具有一階連續(xù)導數(shù)和二階連續(xù)導數(shù)，使它具有更好的數(shù)學特性和靈活性，更加符合自然信號的特性。因此，它既具備比傳統(tǒng)的閾值函數(shù)更好的去噪性能，又具有閾值自適應(yīng)的特性，這為信號的小波閾值去噪提供了新的可選閾值函數(shù)。

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AnalysisofModifiedMethodforThresholdFunctionsBasedonWaveletDe-noising

TIAN Jiang-long, QU Wei-dong

(SchoolofElectronicInformationandElectricalEngineering,ShanghaiJiaotongUniversity)

Two typical methods for modifying wavelet threshold functions were introduced, and basing on traditional soft and hard threshold functions, a new modified threshold function was proposed. Through the threshold processing of wavelet coefficients, the signals de-noised reached the balance between excessive smoothness and edge oscillations. Simulating experiment data from a compressor bench shows that this method can reduce the loss of useful information while de-noising the signals, and the performance index is superior to traditional soft and hard in SNR gain and in the minimum mean square error, and it has the best de-noising performance of three modified threshold methods.

wavelet de-noising, threshold function, hard threshold de-noising

田江龍(1990-),碩士研究生，主要從事高負荷軸流壓氣機不穩(wěn)定信號的研究。

TN911.4

A

1000-3932(2017)03-0243-05

聯(lián)系人屈衛(wèi)東(1961-)，副教授，主要從事航空發(fā)動機控制系統(tǒng)與故障診斷的研究，wdqu@sjtu.edu.cn。

2016-10-17，

2017-01-22)