胡萬寶, 吳晶伶, 李萌

(安慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,安徽 安慶 246133)

Z2Z4-加性負(fù)循環(huán)碼的對(duì)偶

胡萬寶, 吳晶伶, 李萌

(安慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,安徽 安慶 246133)

在Z2Z4-加性碼的基礎(chǔ)上研究其循環(huán)碼,進(jìn)一步地引入其負(fù)循環(huán)碼.通過建立Z2Z4下的正交關(guān)系,得出其對(duì)偶仍是一個(gè)Z2Z4負(fù)循環(huán)碼;通過在Z2Z4碼與Z4[x]-子模之間建立同構(gòu)映射來刻畫其負(fù)循環(huán)碼的結(jié)構(gòu)以及碼的參數(shù)類型,并用構(gòu)造性的方法推出了其對(duì)偶的最小生成集.這些結(jié)果,便于碼元等參數(shù)的計(jì)算及其應(yīng)用.

Z2Z4-加性碼;Z2Z4-加性負(fù)循環(huán)碼;對(duì)偶

1 引言

設(shè)Z2={0,1},Z4={0,1,2,3}分別為模2、模4剩余類環(huán),則分別為環(huán)Z2和環(huán)Z4上的n維向量空間.Z4碼即為的非空子集.二元線性碼已為大家熟知,后A.R.Hammons,N.J.A.Sloane等人在文獻(xiàn)[1]中研究了環(huán)Z4上的碼,發(fā)現(xiàn)該碼有很多優(yōu)良的性質(zhì),特別是其Gray映射下的像為二元碼.最近,T.Abualrub,I.Siap等人在二元、四元碼的基礎(chǔ)上在文獻(xiàn)[2]中拓展了Z2Z4-加性循環(huán)碼,得出了其在Gray映射下的像為四元碼的結(jié)論.在文獻(xiàn)[3-7]中,眾多學(xué)者對(duì)Z2Z4碼及其相關(guān)知識(shí)進(jìn)行了研究及拓展.

本篇文章中,引入Z2Z4-加性負(fù)循環(huán)碼的概念,也得到了與Z2Z4-加性循環(huán)碼類似的好的參數(shù).在第二節(jié)中,介紹Z2Z4-加性循環(huán)碼的概念,其次引入Z2Z4-加性負(fù)循環(huán)碼的概念,并類似于文獻(xiàn)[2]定理12的步驟得出Z2Z4-加性負(fù)循環(huán)碼的生成集.在第三節(jié)中,討論了Z2Z4下的正交關(guān)系,結(jié)合剩余類環(huán)的相關(guān)知識(shí),研究Z2Z4-加性負(fù)循環(huán)碼的對(duì)偶,最后構(gòu)造性的推出了Z2Z4-加性負(fù)循環(huán)碼的對(duì)偶的多項(xiàng)式描述.

注1.1本文中所提及的β均為奇數(shù).

2 Z2Z4-加性負(fù)循環(huán)碼

定義2.1的一個(gè)非空集合C叫做Z2Z4-加性碼,若C是的子群,即C同構(gòu)于,其中γ,δ∈Z+.

因?yàn)槿我鈀2Z4-加性碼C在加法下必封閉,所以在Z4下它也必定對(duì)于乘法封閉,即對(duì)于任意元素

其中,對(duì)任意 i=0,1,···,r?1,nai執(zhí)行 mod 2運(yùn)算,對(duì)任意 j=0,1,···,s?1執(zhí)行 mod 4運(yùn)算.

因而類似于文獻(xiàn)[2]定義3,我們得到加性負(fù)循環(huán)碼的定義如下.

定義2.2的子集C叫做Z2Z4-加性負(fù)循環(huán)碼,若

(1)C是一個(gè)加性碼,

(2)對(duì)任意碼字

它的循環(huán)移位

因?yàn)?C和Z4[x]/xβ+1是

的Z4[x]-子模,定義以下映射

其中,

其中 a(x)|g(x)|(xβ+1)(mod 4).注意到

定義集合I為:

顯然,I是一個(gè)理想,同時(shí)也是環(huán)Z2[x]/〈xα?1〉上的一個(gè)循環(huán)碼.因此,由二元循環(huán)碼的相關(guān)知識(shí)知 I=〈f(X)〉.對(duì)任意元素 (j(x),0)∈ ker(Ψ),有

因此

所以

這就說明了ker(Ψ)是由一個(gè)形為(f(x),0)的元素生成的C的子模,其中

由第一同構(gòu)定理知

令 (l(x),g(x)+2a(x))∈C,使得

以上討論內(nèi)容就證明了任意Z2Z4-負(fù)循環(huán)碼可由兩個(gè)形為(f(x),0),(l(x),g(x)+2a(x))的元素生成,且它為Rα,β的 Z4-子模,即碼C 中任意元素為

其中,d1(x),d2(x)為環(huán)Z4[x]上的多項(xiàng)式.事實(shí)上,d1(x)可被限制為環(huán)Z2[x]上的元素.記

其中,f(x),l(x)為二元多項(xiàng)式,且a(x)|g(x)|(xβ+1)(mod 4).

定理2.1 令

是Rα,β中一個(gè)負(fù)循環(huán)碼.其中

l(x)是一個(gè)二元多項(xiàng)式且滿足

從而,C中共有2deg(hf)4deg(hg)2deg(b)個(gè)碼字.

詳細(xì)證明可類似于文獻(xiàn)[2]定理13所得,這里就不再贅述.

3 Z2Z4-加性負(fù)循環(huán)碼的對(duì)偶及其結(jié)構(gòu)

定義3.1對(duì)任意碼字

定義它們的內(nèi)積為

定義3.2若C是一個(gè)Z2Z4-加性負(fù)循環(huán)碼,則C的對(duì)偶為:

定理3.1若C是一個(gè)Z2Z4-加性負(fù)循環(huán)碼,則C⊥仍然是一Z2Z4-加性負(fù)循環(huán)碼.

證明令C是一個(gè)Z2Z4-加性負(fù)循環(huán)碼.假設(shè)

即要證T(v)∈C⊥.因?yàn)関∈C⊥,則對(duì)任意

要證T(v)∈C⊥,即證 u·T(v)=0.令

因?yàn)镃是一個(gè)Z2Z4-負(fù)循環(huán)碼,w∈C,所以

接下來討論Z2Z4-加性負(fù)循環(huán)碼的對(duì)偶的結(jié)構(gòu).在陳述和證明以下這些定理之前,首先強(qiáng)調(diào)中元素的正交關(guān)系.令

為環(huán) Z2[x]/〈xn?1〉中的任一元素.注意,對(duì)任意 i=0,1,···,n?1,ai可能為零.從現(xiàn)在起,記

即若 an?1/=0,則 f?(x)為 f(x)的互反多項(xiàng)式.由定義可知,f??(x)=f(x).令

這個(gè)碼字的循環(huán)移位

顯然,集合 {u,T(u),T2(u),···,Tm?1(u)}包含了 u的所有循環(huán)移位,其中 m=lcm(α,2β).如上定義,回顧

例3.1令

則

現(xiàn)在,令

構(gòu)造多項(xiàng)式

其中,m=lcm(α,2β).一般情況下,令

則

這就證明了以下定理.

定理3.2令

則u與v及其所有循環(huán)移位正交當(dāng)且僅當(dāng)G(x)等于

定理 3.3若 C是(α,β;k,k,k)型ZZ-加性碼,則C 的標(biāo)準(zhǔn)矩陣為:

其中A,A1,B1,B2,D,S,T均為Z2上的矩陣.

定理3.4若 C是(α,β;k0,k1,k2)型Z2Z4-加性碼,則對(duì)偶碼C⊥的生成矩陣為:

其中A,A1,B1,B2,D,S,T均為Z2上的矩陣.由C⊥的生成矩陣H,我們注意到C⊥是一個(gè) (α,β;α?k0,β ?k1?k2,k2)型加性碼.

引理3.1令

是Rα,β中一個(gè)負(fù)循環(huán)碼.

令

則d|d1,d2|b.

證明因?yàn)?所以因?yàn)?/p>

則顯然

令

注意到

因?yàn)?f=d1d2,則 d1d2β1=d1v1b,即 d2β1=v1b.因?yàn)?/p>

因此 d2s1+v1s2=1,兩邊同乘b,則

令

既得

因此 xβ+1=d2aθ.因此,θ是 xβ+1的一個(gè)因子.又有 d=α1l+α2f,

令

則

因此,σ是(xβ+1)的一個(gè)因子.

引理3.2令 C=〈(f,0),(l,g+2a)〉是 Rα,β中一個(gè)負(fù)循環(huán)碼.其中

令

則碼C正交于碼

證明令C=〈(f,0),(l,g+2a)〉是一個(gè)Z2Z4-加性負(fù)循環(huán)碼.其中

令

則

注意到

又

因此,

即證,碼C正交于碼D.

引理3.3令

是Rα,β中一個(gè)負(fù)循環(huán)碼.令

其中

則

注意到

證明(1)顯然的一個(gè)因子.因?yàn)?/p>

或

和σ是 (xβ+1)的因子.注意到

且

因此,

(2)等式

因此,

因此,

由此定理及定理2.1得以下定理.

引理3.4令

是Rα,β中一個(gè)負(fù)循環(huán)碼.令

則 D 共有 2degd4(β?degθ)2(degθ?degσ) 個(gè)碼字.

引理3.5令

是Rα,β中一個(gè)負(fù)循環(huán)碼.令

則|C||D|=2n.

證明我們知道

注意到

因此,

又

因此,|C||D|=2p.其中

因此,

本文得到的主要定理如下:

定理3.5令

是一個(gè)Z2Z4-加性負(fù)循環(huán)碼.則

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Z2Z4-additive negacyclic codes

Hu Wanbao,Wu Jingling,Li Meng
(School of Mathematics and Computational Sciences,Anqing Normal University,Anhui246133,China)

Recently,on the basis of Z2Z44-additive codes,some scholars have studied its cyclic codes.As for a further comment,this paper introduced its negacyclic codes.By establishing the orthogonal relationship on Z2Z4,its dual is still a negacyclic codes can be proved.Through the establishment of isomorphic mapping between Z2Z4-code and Z4[x]-submodel,we can depict the structure of its negacyclic codes and the types of parameters.In addition,we give the generaters ofdual codes by constructive methods which can bring convenience to the calculation and application of the elements of codes.

Z2Z4-additive codes,Z2Z4-negacyclic codes,dual

O157.4

A

1008-5513(2017)05-0441-13

10.3969/j.issn.1008-5513.2017.05.001

2017-10-08.

國家自然科學(xué)基金(11626032,11601009).

胡萬寶(1963-),博士,教授,研究方向：代數(shù)編碼理論.

2010 MSC:11M06