關(guān)于歐拉不等式一個(gè)猜想的改進(jìn)

黃銀珠

福建省福州市閩侯縣上街實(shí)驗(yàn)學(xué)校 (350108)

關(guān)于歐拉不等式一個(gè)猜想的改進(jìn)

黃銀珠

福建省福州市閩侯縣上街實(shí)驗(yàn)學(xué)校 (350108)

設(shè)ΔABC的三邊為a,b,c，外接圓和內(nèi)接圓半徑分別為R,r，則有不等式R≥2r，此即為著名的歐拉不等式.文[1]提出歐拉不等式的如下加強(qiáng)猜想.

文[2]中給出該猜想的驗(yàn)證.事實(shí)上，早在1974年，就已有如下更強(qiáng)的結(jié)論[3]

因?yàn)?a+b+c)(a3+b3+c3)-(a2+b2+c2)2=∑ab(a-b)2≥0(Σ表示輪換對(duì)稱求和).

本文將式(1)作進(jìn)一步的改進(jìn)，建立了與式(2)不分強(qiáng)弱的結(jié)論

定理設(shè)ΔABC的三邊為a,b,c，外接圓和內(nèi)接圓半徑分別為R,r，則有

結(jié)合歐拉不等式可知式(3)成立.

由歐拉不等式還可得如下推論

推論設(shè)ΔABC的三邊為a,b,c，外接圓和內(nèi)接圓半徑分別為R,r，則有

[1]馬占山,何慧敏.一個(gè)與歐拉不等式相關(guān)的不等式問(wèn)題的證明[J],中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西),2016,2:19-20.

[2]何燈,田芳松.歐拉不等式的一個(gè)加強(qiáng)猜想的驗(yàn)證[J],福建中學(xué)數(shù)學(xué),2016,6:9.

[3]匡繼昌.常用不等式[M].(4版)濟(jì)南:山東科學(xué)技術(shù)出版社,2010,243.