基于T-S模糊的縱向飛行模型簇LQG控制器設計

吳佳駒，張超

航空工業(yè)第一飛機設計研究院，陜西 西安 710089

1985年，Sugeno和Takagi提出了Takagi-Sugeno模糊推理方法，稱作T-S模糊系統(tǒng)模型[1]。其控制方法與分段模型簇存在一定的相似性，可有效地逼近廣泛的一類非線性系統(tǒng)，從而為存在不確定性的系統(tǒng)提供了有效的解決方法，并在離散倒立擺系統(tǒng)和機械手操作中得到成功應用[2]。LQR即線性二次型經(jīng)典最優(yōu)控制算法，通過給出所需的最優(yōu)性能指標，確定系統(tǒng)狀態(tài)變量和控制變量的加權(quán)矩陣，為設計者提供設計空間，其控制理論已經(jīng)成功應用于結(jié)構(gòu)振動控制[3]。本文提出將T-S模糊模型和LQR控制算法相結(jié)合，應用于縱向飛行模型簇控制器設計，解決了狀態(tài)、輸入擾動下系統(tǒng)自動調(diào)穩(wěn)功能。

基于上述反饋線性化思想和多變量模糊控制理論，本文首先通過反饋線性化將飛行器姿態(tài)運動方程進行線性化，同時實現(xiàn)各通道的解耦，然后對各控制通道設計基于T-S模糊模型的LQG控制器。以F/A-18模型參數(shù)為基礎進行仿真，結(jié)果顯示在狀態(tài)、輸入擾動下系統(tǒng)能自動調(diào)節(jié)到穩(wěn)定狀態(tài)。

1 F/A-18模型分析

給定水平無側(cè)滑飛行條件φ=β=0和p=r=0，將F/A-18飛機運動方程解耦為不依賴于橫側(cè)向狀態(tài)量（β，φ，ψ，p，r）的縱向運動，即縱向運動方程組簡化為：

式中：h 為高度；m 為質(zhì)量；v 為速度；Tm為發(fā)動機最大推S 為機翼面積為其平均空氣動力弦；Iy為其轉(zhuǎn)動慣量；CD、CL、Cm分別為飛機阻力矩系數(shù)、升力矩系數(shù)和俯仰力矩系數(shù)。

F/A-18飛機是一個多輸入多輸出的非線性系統(tǒng)，采用兩臺F414發(fā)動機，每個發(fā)動機的最大推力Tm=18000N。低空飛行時，一般取v＜1000ft/s、h＜2000ft，此處取v＜500ft/s、h＜1000ft（1ft≈ 0.3m，下同）。α=θ，β=0，γ=α-θ=0。

輸入為油門桿dt、舵偏角de。在給定初始平衡條件下將飛機的飛行方程簡化為：

圖1 F/A-18平衡點狀態(tài)變量曲線Fig1 State of variable curve of F/A-18 balanced point

由圖1可知，F(xiàn)/A-18不具有自平衡能力，如果不加控制，各狀態(tài)變量將發(fā)散，飛機將失去平衡。因此，需要對F/A-18設計有效的控制器。

2 基于T-S模型的縱向飛行模型LQG控制器

2.1 LQG控制器模型建立

已知受控系統(tǒng)的狀態(tài)方程[4]為：

式中：X(t)=[vαqθh]為狀態(tài)變量；U(t)=[dedt]為輸入矩陣；Y(t)=[vh]為輸出矩陣；A、B、C為常數(shù)矩陣。

引入線性二次最優(yōu)控制指標[5]：

式中：R為正定矩陣；Q為半正定矩陣。

對于該最優(yōu)問題，引入Lagrange乘子對上述問題求解得到：

式中：G為增益矩陣。

給定特定的飛行模型初始條件，將得到唯一的平衡點，在該平衡點處對F/A-18飛行模型進行線性化處理。

當v=500ft/s，h=1000ft時，F(xiàn)/A-18飛行模型線性化后的狀態(tài)矩陣、輸入矩陣為：

由于F/A-18模型輸出參數(shù)為h、v，而h、v同時為狀態(tài)變量，故F/A-18輸出矩陣、前饋矩陣為：

為了方便求解，此處取正定矩陣為：

取F/A-18低空飛行速度為300≤v≤500。針對v=300ft/s、v=400ft/s、v=500ft/s分別進行LQG控制，得到三個平衡點處的反饋矩陣G分別為：

2.2 T-S模糊隸屬度函數(shù)建立

T-S模糊模型是用一組模糊規(guī)則描述飛線性系統(tǒng)，整體系統(tǒng)則為一系列系統(tǒng)的線性組合[6]，基于K條規(guī)則的一階模糊模型，選取v作為T-S模糊模型的前件變量，Ri作為T-S模糊模型的第i條規(guī)則，則F/A-18模糊狀態(tài)變量方程模型表示為：

式中：c為規(guī)則個數(shù)是第i條規(guī)則是輸入變量的模糊子集；yi是第i條規(guī)則的輸出。

若模糊化采用單點模糊集合[7]，系統(tǒng)狀態(tài)方程為：

當給定速度擾動一個任意值，基于v=300ft/s、v=400ft/s、v=500ft/s三種情形，即V={300，400，500}，利用 T-S 模糊判斷，選取Matlab隸屬度gbellmf，生成一般的鐘型隸屬度函數(shù)，表達式為：

隸屬度函數(shù)曲線如圖2所示。試驗后確定三個速度對應的隸屬度函數(shù)參數(shù)為：

綜合三種情形分別修正輸入變量de、dt，基于T-S模糊控制，得修正后系統(tǒng)雙輸入?yún)?shù)表達式為：

圖2 高斯型隸屬度函數(shù)Fig2 Gauss membership of function

2.3 控制器控制效果

初始各狀態(tài)變量為v=451ft/s，α=0.1396rad，θ=0.1396rad，q=0，h=1000。指定速度v=340ft/s，經(jīng)基于T-S模糊的LQG控制器調(diào)節(jié)后，速度、迎角、俯仰角等狀態(tài)變化曲線如圖3所示。由圖3（a）可知，1s后速度接近穩(wěn)態(tài)，目標速度為v=340ft/s，實際到達穩(wěn)態(tài)時F/A-18的速度為v=333.2ft/s，Δv=6.8ft/s。即飛機低空飛行時速度將近似保持穩(wěn)定狀態(tài)。由圖3（b）可知，4s后迎角接近穩(wěn)態(tài)，初始時刻α=0.1396rad，F(xiàn)/A-18 飛機穩(wěn)態(tài)時α=0.1365rad，Δα=0.0031rad。由圖3（c）可知，4s后俯仰角接近穩(wěn)態(tài)，初始時刻θ=0.1396rad，F(xiàn)/A-18飛機穩(wěn)態(tài)時θ=0.1357rad，Δθ=0.0039rad。由圖3（d）可知，初始時刻q=0（°）/s，4s后俯仰角速度接近穩(wěn)態(tài)，q=0.015（°）/s，F(xiàn)/A-18飛行穩(wěn)態(tài)時Δq=0.0015（°）/s。由圖3（e）可知，4s后高度接近穩(wěn)態(tài)，初始時刻高度h=1000ft，實際到達穩(wěn)態(tài)時F/A-18的飛行高度為h=1004.5ft，高度變化Δh=4.5ft。由圖3（f）可知，F(xiàn)/A-18升降舵開始為負偏角變化，5s后逐漸趨于穩(wěn)定。由圖3（g）可知，F(xiàn)/A-18油門桿初始為負偏角變化，3s后逐漸趨于穩(wěn)定。綜合圖3可知，5s后狀態(tài)變量均能到達穩(wěn)態(tài)，即飛機低空飛行時將保持穩(wěn)定狀態(tài)，穩(wěn)定效果較好。即基于T-S模糊的LQG控制器能夠?qū)崿F(xiàn)F/A-18低空飛行控制。

圖3 基于T-S模糊的LQG控制器曲線圖Fig3 LQG control curve based on T-S fuzzy

3 結(jié)束語

通過分析，可以得出以下結(jié)論：

（1）F/A-18是自不穩(wěn)定系統(tǒng)，如果不加控制器，其狀態(tài)變量 ［vαqθh］將發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

（2）LQG控制器是一種有效的變增益控制器，其可以控制飛機在某一個狀態(tài)時的穩(wěn)定性，但無法控制一系列狀態(tài)時飛機的穩(wěn)定性。

（3）基于T-S模糊模型的LQG控制器能夠?qū)崿F(xiàn)F/A-18低空飛行模型簇控制，狀態(tài)變量穩(wěn)定，控制性能較優(yōu)。