概念核心·模型建構(gòu)·學(xué)習(xí)過(guò)程

劉佳

【摘 要】揭示學(xué)科本質(zhì)內(nèi)涵與學(xué)情是教學(xué)課例研究的關(guān)鍵。具體而言可以從內(nèi)容解讀、學(xué)情研究、學(xué)習(xí)過(guò)程、思想提煉四個(gè)方面著手，系統(tǒng)詮釋小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)課例研究的過(guò)程與方法，以期揭示出普遍規(guī)律?！胺匠痰囊饬x”教學(xué)研究表明：方程概念的本質(zhì)內(nèi)涵在于建模，其關(guān)鍵在于等價(jià)；學(xué)生學(xué)習(xí)“方程的意義”，其焦點(diǎn)與難點(diǎn)在于幫助學(xué)生親身經(jīng)歷方程模型的建構(gòu)過(guò)程（即經(jīng)歷兩次抽象過(guò)程），幫助學(xué)生積淀直接的抽象經(jīng)驗(yàn)，對(duì)方程概念獲得理解性掌握的同時(shí)，初步感知方程思想，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】方程 抽象 等價(jià) 經(jīng)驗(yàn) 建模

【內(nèi)容解讀】

“方程的意義”教學(xué)方法精彩紛呈，對(duì)于方程的基本概念和本質(zhì)意義的定位，現(xiàn)有文獻(xiàn)已經(jīng)分析得比較清晰。比如，方程的本質(zhì)特征是等價(jià)關(guān)系，即等號(hào)左右兩邊的量在數(shù)學(xué)上是等價(jià)的，而“含有未知數(shù)的等式”的定義方式只是方程的外部特征。

方程是從現(xiàn)實(shí)生活到數(shù)學(xué)的一個(gè)提煉過(guò)程，一個(gè)用數(shù)學(xué)符號(hào)提煉現(xiàn)實(shí)生活中的等價(jià)關(guān)系的過(guò)程。方程思想的核心在于建模、化歸，“等價(jià)”是構(gòu)建方程的基礎(chǔ)。學(xué)生學(xué)習(xí)方程的意義，關(guān)鍵在于通過(guò)現(xiàn)實(shí)情境理解等價(jià)，構(gòu)建方程模型。

【學(xué)情研究】

對(duì)方程意義的理解難在對(duì)等價(jià)的理解。學(xué)生已經(jīng)有了用字母表示數(shù)和用含有字母的式子表示數(shù)的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，對(duì)相等關(guān)系有初步感知，熟悉天平的原理。這些是學(xué)生能夠列出方程、理解未知數(shù)參與運(yùn)算的有力助手和必要基礎(chǔ)。

對(duì)于方程模型的建立，學(xué)生到底是怎么想的，需要做充分的學(xué)情調(diào)研。在沒(méi)有學(xué)習(xí)方程的意義之前，學(xué)生怎樣求解算式中的未知數(shù)？學(xué)生對(duì)于天平呈現(xiàn)的重量間的相等關(guān)系的理解和表達(dá)程度如何？脫離天平原型，學(xué)生還能較好地理解并表達(dá)等量關(guān)系嗎？

針對(duì)這三個(gè)方面的問(wèn)題，筆者對(duì)任教班級(jí)36名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)研，結(jié)果如下。

1.學(xué)生在學(xué)習(xí)等式的性質(zhì)之前，可以利用“逆運(yùn)算法則”解簡(jiǎn)易方程。

第一方面的問(wèn)題是如“5+（ ）=13，我找到（ ）等于幾的辦法是： ”這樣的題目。從學(xué)生在一年級(jí)起就熟悉的題目入手，這里的括號(hào)即相當(dāng)于未知數(shù)，只是與方程所呈現(xiàn)的形式不一樣。

結(jié)果顯示：36份問(wèn)卷正確率達(dá)100%，其中，35份是運(yùn)用“逆運(yùn)算法則”來(lái)求得未知數(shù)的值（如圖1）。

2.天平是引入方程學(xué)習(xí)、構(gòu)建方程模型非常好的現(xiàn)實(shí)原型，借助天平平衡狀態(tài)，學(xué)生可以很好地理解和表達(dá)重量之間的等量關(guān)系。

第二方面的問(wèn)題是呈現(xiàn)四組天平稱(chēng)重且呈平衡狀態(tài)的情境，通過(guò)“描述圖片的意思—用喜歡的方式寫(xiě)出看懂的意思—用簡(jiǎn)潔的方式表達(dá)圖意—寫(xiě)出你發(fā)現(xiàn)的相等關(guān)系”這樣四組層次遞進(jìn)的問(wèn)題，調(diào)查學(xué)生對(duì)“等重”的理解。

結(jié)果顯示：

由此可以發(fā)現(xiàn)，36份問(wèn)卷中，92%（即33份問(wèn)卷）能夠借助天平稱(chēng)重的平衡狀態(tài)，較好地理解并表達(dá)重量間的相等關(guān)系。

其中，11份問(wèn)卷（即31%的學(xué)生）能夠借助文字來(lái)表達(dá)相等關(guān)系，處于方程概念抽象的第一個(gè)層次：直觀表達(dá)。

2份問(wèn)卷（即5%的學(xué)生）試圖借助符號(hào)簡(jiǎn)化文字去表達(dá)相等關(guān)系，處于方程概念抽象的第二個(gè)層次：半符號(hào)化表達(dá)。

20份問(wèn)卷（即56%的學(xué)生）運(yùn)用方程的形式來(lái)表達(dá)相等關(guān)系，處于方程概念抽象的第三個(gè)層次：符號(hào)化表達(dá)。

3.當(dāng)簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題脫離天平原型，在近50%的學(xué)生腦中，也已學(xué)習(xí)了四年多的數(shù)的運(yùn)算，仍占據(jù)主要地位，學(xué)生求解的意識(shí)強(qiáng)烈，將未知數(shù)當(dāng)成已知量參與運(yùn)算顯得十分困難。（這實(shí)際上反映了從算術(shù)思維到代數(shù)思維的轉(zhuǎn)變是多么困難，也反映了從算術(shù)發(fā)展為代數(shù)學(xué)的重要性）

第三方面的問(wèn)題來(lái)源于人教版教材《方程的意義》的隨堂練習(xí)題。采用年齡大小、一星期跑步路程、分糖果三個(gè)情境，均為簡(jiǎn)單的加減關(guān)系、乘除關(guān)系的問(wèn)題，每題中有一個(gè)量用字母表示，問(wèn)題是“你發(fā)現(xiàn)相等關(guān)系了嗎？列算式表示”。

[術(shù)]

統(tǒng)計(jì)結(jié)果發(fā)現(xiàn)：36份問(wèn)卷中，13份問(wèn)卷在遇到非天平情境時(shí)，又回到了算術(shù)運(yùn)算，直接列算式求解未知數(shù)；有20份問(wèn)卷能夠用含有字母的等式表達(dá)發(fā)現(xiàn)的相等關(guān)系，但其中8份列出如40-28=x（歲）的等式，將未知數(shù)單獨(dú)放置在等式的一邊，不過(guò)并沒(méi)有進(jìn)行運(yùn)算；其中5份雖然列出如a=25×3=75（顆）的式子，但其目的仍然是試圖求解未知數(shù)；另有3份問(wèn)卷表達(dá)不清。

學(xué)生建立方程模型的難點(diǎn)在于從算術(shù)思維到代數(shù)思維的跨越，即從數(shù)的運(yùn)算過(guò)渡到式的運(yùn)算，從關(guān)注一個(gè)式子的值到關(guān)注一個(gè)等式的成立，要讓學(xué)生明白“=”兩邊講了兩個(gè)故事，這兩個(gè)故事在數(shù)學(xué)上是等價(jià)的。

【學(xué)習(xí)過(guò)程】

在教學(xué)中，可以從方程的本質(zhì)特征“等價(jià)關(guān)系”出發(fā)設(shè)計(jì)教學(xué)。通過(guò)問(wèn)題情境，分析其中有哪些量，量與量的關(guān)系是什么。然后依次遞進(jìn)地用自然語(yǔ)言表達(dá)、用符號(hào)表達(dá)、用含有字母（未知數(shù)）的式子表達(dá)這種等量關(guān)系，從而構(gòu)建方程模型，幫助學(xué)生將自然語(yǔ)言逐步抽象為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，深入理解方程的含義是表達(dá)等號(hào)左邊與等號(hào)右邊等價(jià)，突出方程是一個(gè)建模過(guò)程。

基于以上思考，設(shè)計(jì)并進(jìn)行教學(xué)實(shí)踐。這是一道以活動(dòng)小組為背景的簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題。分析問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，找出其中的等價(jià)關(guān)系，嘗試構(gòu)建方程。

例：501班某社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)小組共有8人，其中，男生比女生多4人，女生有幾人？

1.仔細(xì)閱讀題目，題目中有哪幾個(gè)量？

小組共有8人，男生比女生多4人，還有未知的女生人數(shù)。

2.你能用自己的話表達(dá)量與量之間的關(guān)系嗎？（邊說(shuō)邊板書(shū)）

女生人數(shù)與4的和就是男生人數(shù)。

女生人數(shù)+4=男生人數(shù)。

男生人數(shù)+女生人數(shù)=小組總?cè)藬?shù) ，即男生人數(shù)+女生人數(shù)=8。

女生人數(shù)+4+女生人數(shù)=小組總?cè)藬?shù)，即女生人數(shù)×2+4=8。

3.你能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示這些關(guān)系嗎？

如果女生人數(shù)用♀表示，男生人數(shù)用♂表示，那么

♀+4=♂

♀+♂=8

♀+♀+4=8

4.如果把女生人數(shù)♀換成大家普遍使用的字母符號(hào)x來(lái)表示，那么，你能用相應(yīng)的式子表示上面的關(guān)系嗎？

x+x+4=8，即2x+4=8

“找出相等關(guān)系”的過(guò)程，就是一個(gè)將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題逐步抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題的建模過(guò)程。學(xué)生圍繞例題主要分析四個(gè)問(wèn)題。

1.發(fā)現(xiàn)實(shí)際問(wèn)題中的量，以及量與量之間的等量關(guān)系。

這個(gè)實(shí)際問(wèn)題涉及多個(gè)量，既包括小組共有8人，男生比女生多4人，也包括未知的女生人數(shù)。

這些量與量之間最重要的等量關(guān)系是：

?男生人數(shù)比女生人數(shù)多4人。

?男生人數(shù)和女生人數(shù)一共8人。

?女生人數(shù)加4人，再加女生人數(shù)也是8人。

2.用自然語(yǔ)言表達(dá)等量關(guān)系。

?女生人數(shù)與4的和就是男生人數(shù)。

?女生人數(shù)+4=男生人數(shù)。

?男生人數(shù)+女生人數(shù)=8。

?女生人數(shù)+4+女生人數(shù)=8 即女生人數(shù)×2+4=8。

3.用半符號(hào)（或符號(hào)）語(yǔ)言表達(dá)相等關(guān)系。

如果女生人數(shù)用♀表示，男生人數(shù)用♂表示，那么

♀+4=♂

♀+♂=8

♀+♀+4=8

4.用含有未知數(shù)的等式表達(dá)相等關(guān)系，列出方程。

用x表示女生人數(shù)，由題意可知，男生人數(shù)為x+4。

于是，x+x+4=8，即2x+4=8。

【思想提煉】

方程2x+4=8的建模過(guò)程，一共經(jīng)歷了兩次抽象。

第一次抽象是從現(xiàn)實(shí)情境到用自然語(yǔ)言去等價(jià)表達(dá)的過(guò)程，其中的核心在于尋找等量關(guān)系。這是方程建模的關(guān)鍵。

第二次抽象是用數(shù)學(xué)符號(hào)等價(jià)表達(dá)出用自然語(yǔ)言呈現(xiàn)出來(lái)的關(guān)系。

這樣，比較全面地展示了建模思想，即用等號(hào)將相互等價(jià)的兩件事情聯(lián)立，等號(hào)的左右兩邊相互等價(jià)，至于其中的關(guān)系是用自然語(yǔ)言表示，還是用數(shù)學(xué)符號(hào)表示，都是次要的，其關(guān)鍵在于，等號(hào)左右兩邊的兩件事情在數(shù)學(xué)上是等價(jià)的。這是數(shù)學(xué)建模的本質(zhì)表現(xiàn)之一。

方程建模過(guò)程可以用右圖概括表示。

在上述過(guò)程中，核心環(huán)節(jié)在于尋找等量關(guān)系，并用恰當(dāng)?shù)牧勘磉_(dá)出來(lái)。其中的難點(diǎn)在于，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言提煉、表達(dá)現(xiàn)實(shí)生活中的等價(jià)關(guān)系，將其抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，進(jìn)而建立數(shù)學(xué)模型，這就是現(xiàn)實(shí)問(wèn)題數(shù)學(xué)化的過(guò)程。

[發(fā)現(xiàn)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中的量以及量與量之間的等量關(guān)系][用自然語(yǔ)言表達(dá)等量關(guān)系][用半符號(hào)語(yǔ)言或直接用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)等量關(guān)系][用含有未知數(shù)的等式表達(dá)等量關(guān)系][抽象

][再抽象

]

認(rèn)識(shí)方程，理解掌握方程、解、解方程等概念和方法，把握解方程的運(yùn)算技能是重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容。但是，親身經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)問(wèn)題到方程的抽象過(guò)程，積淀數(shù)學(xué)抽象的經(jīng)驗(yàn)、體會(huì)抽象思想的滲透也是十分重要的目標(biāo)。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅要掌握知識(shí)技能，更要在學(xué)習(xí)過(guò)程中增長(zhǎng)智慧。數(shù)學(xué)教育的目的不僅是掌握多少知識(shí)、會(huì)解多少題目，而是讓學(xué)生變成會(huì)思考的聰明人。

（浙江省嘉興市南湖區(qū)新豐鎮(zhèn)中心小學(xué) 314000）