黨嬰龍， 徐合力， 高 嵐

(武漢理工大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院， 武漢 430063)

船舶運(yùn)動(dòng)模擬器運(yùn)動(dòng)學(xué)正解數(shù)值解法對(duì)比分析

黨嬰龍， 徐合力， 高 嵐

(武漢理工大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院， 武漢 430063)

為研究船舶運(yùn)動(dòng)模擬器運(yùn)動(dòng)學(xué)正解的數(shù)值解法，建立其運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的數(shù)學(xué)模型，將運(yùn)動(dòng)學(xué)正解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為非線性方程組的無(wú)約束最優(yōu)化問(wèn)題。分別采用數(shù)值迭代算法中的牛頓法、逆Broyden秩1法、Broyden-Fletcher-Shanno(BFS)秩2法及Broyden-Fletcher -Goldfarb-Shanno(BFGS)法進(jìn)行求解，運(yùn)用MATLAB編程并采用同一數(shù)值模型對(duì)這4種算法進(jìn)行對(duì)比分析。分析結(jié)果表明：4種算法在工作空間內(nèi)都收斂且數(shù)值穩(wěn)定，BFS秩2法的迭代效率最高，BFGS法可用于奇異場(chǎng)合。通過(guò)仿真試驗(yàn)對(duì)各算法進(jìn)行適當(dāng)?shù)男薷模瑑?yōu)化各算法的迭代效率并增加其對(duì)初值的魯棒性，為位姿正解應(yīng)用于實(shí)時(shí)控制場(chǎng)合提供理論指導(dǎo)。

運(yùn)動(dòng)學(xué)正解； 牛頓法； 逆Broyden秩1法； BFS秩2法； BFGS； 優(yōu)化

Abstract: In order to investigate the numerical methods for solving direct kinematics problems of the ship motion simulator, a mathematical model of the motion platform is established and the kinematics problems are transformed to the unconstrained optimization problem of the nonlinear equations. The Newton method, single rank inverse Broyden, rank-two BFS and BFGS method are used to solve the problem respectively and the MATLAB program is used to verify and compare the algorithms with the same numerical model. The analysis results show that all the algorithms are convergent and stable in the workspace, while rank-two BFS shows the highest efficiency. The BFGS method can be used in singular cases. Through experiments, all the algorithms are modified and optimized for better iterative efficiency and the robustness to initial valuses.

Keywords: direct kinematics; Newton method; single rank inverse Broyden； rank-two BFS； BFGS； optimization

船舶運(yùn)動(dòng)模擬器主要用于艦船設(shè)備測(cè)試和海員教學(xué)培訓(xùn)，可減少實(shí)船試驗(yàn)次數(shù)、縮短設(shè)備開發(fā)周期、提高海上搜救人員的適應(yīng)能力和業(yè)務(wù)素質(zhì)。運(yùn)動(dòng)學(xué)正解問(wèn)題是研究運(yùn)動(dòng)模擬器動(dòng)力學(xué)、軌跡規(guī)劃和位姿控制等內(nèi)容的重要基礎(chǔ)，因此進(jìn)行船舶運(yùn)動(dòng)模擬器的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解研究具有重要意義。

受模擬器運(yùn)動(dòng)平臺(tái)結(jié)構(gòu)特性的影響，其運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解問(wèn)題容易求解，而正解問(wèn)題較難求解，因此可利用逆解公式進(jìn)行桿長(zhǎng)逼近，反向求出滿足一定精度要求的正解，這實(shí)質(zhì)上是牛頓法的應(yīng)用。[1]利用牛頓法求解時(shí)每次迭代都需求一次逆矩陣，運(yùn)算量較大；擬Newton法包括逆Broyden秩1法、Broyden-Fletcher-Shanno (BFS)秩2法和Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno (BFGS)法等，相比牛頓法，其運(yùn)算量大大減少，迭代速度也明顯提高。[2]為觀察各算法的迭代效率，采用統(tǒng)一的誤差對(duì)這些算法進(jìn)行對(duì)比分析。由于模擬器運(yùn)動(dòng)方程具有高維和耦合性，3種擬Newton法標(biāo)準(zhǔn)算法的初始方向選取規(guī)則不能保證收斂，因此通過(guò)仿真試驗(yàn)修改3種擬Newton法的初始迭代方向選取規(guī)則，這不僅能優(yōu)化迭代效率，而且可擴(kuò)大初值的取值范圍。此外，在BFGS法的迭代過(guò)程中采用非單調(diào)搜索并加入擾動(dòng)項(xiàng)和重復(fù)生成策略,以保證收斂。

1 運(yùn)動(dòng)學(xué)正解模型

船舶運(yùn)動(dòng)模擬器用來(lái)模擬船舶在海浪中的搖晃運(yùn)動(dòng)，其核心設(shè)備是一個(gè)Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)。該機(jī)構(gòu)主要由2個(gè)平臺(tái)和6個(gè)支桿構(gòu)成，驅(qū)動(dòng)單元通過(guò)驅(qū)動(dòng)6個(gè)支桿的伸縮使上平臺(tái)完成空間6個(gè)自由度的運(yùn)動(dòng)模擬。依據(jù)典型的6-6型Stewart平臺(tái)建立模型，圖1為該平臺(tái)機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖，其中上平臺(tái)和下平臺(tái)的各絞點(diǎn)連接起來(lái)構(gòu)成2個(gè)六邊形,設(shè)r1和r2分別為2個(gè)六邊形所對(duì)應(yīng)的外接圓半徑,θ1和θ2分別為2個(gè)六邊形短邊所對(duì)應(yīng)的圓心角，上平臺(tái)和下平臺(tái)六邊形隔點(diǎn)相連構(gòu)成2個(gè)正三角形。分別在上平臺(tái)和下平臺(tái)上建立坐標(biāo)系O′-x′y′z′和O-xyz，O′和O分別為2個(gè)六邊形的外接圓圓心，設(shè)O′的絕對(duì)坐標(biāo)為(x0,y0,z0)，O的絕對(duì)坐標(biāo)為(0,0,0)。O′x′軸和Ox軸分別取線段B1B6及A1A6的中垂線方向且指向平臺(tái)外部,O′z′軸和Oz軸分別垂直于上平臺(tái)及下平臺(tái)且方向朝上,O′y′軸和Oy軸的方向根據(jù)右手規(guī)則確定，初始位置處上平臺(tái)與下平臺(tái)互相平行。Ai為上平臺(tái)的第i個(gè)鉸點(diǎn)在O-xyz中的坐標(biāo),Bi為下平臺(tái)的第i個(gè)鉸點(diǎn)在O-xyz中的坐標(biāo)。上平臺(tái)位姿設(shè)為X(x,y,z,α,β,γ)。R為由坐標(biāo)系O′-x′y′z′到坐標(biāo)系O-xyz的齊次變換矩陣。則

(1)

式(1)中: c為cos；s為sin。

圖1 Stewart平臺(tái)機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖

2 算法簡(jiǎn)介及優(yōu)化

2.1牛頓法

對(duì)于非線性方程組F(x)=0，滿足

(2)

式(2)中：n≥2。其牛頓迭代式為

xk+1-xk=-(F′(x))-1F(x)

(3)

牛頓法迭代程序：

2) 計(jì)算xk+1=xk+dk，dk=-F′(xk)F(xk)，F(xiàn)(xk+1)，F(xiàn)′(xk+1)。

2.2逆Broyden秩1法

逆Broyden秩1法迭代程序:

一般情況下，初始方向選取為H0=I或H0=(F′(x0))-1。[3]當(dāng)?shù)踔颠h(yuǎn)離最優(yōu)解時(shí)，該選取規(guī)則可能失效，造成結(jié)果不收斂。為增加算法對(duì)初值的魯棒性，規(guī)定初始方向選取新規(guī)則：

1)H0=(F′(x0))-1。

3) 根據(jù)模型需要，選取a=100。

新規(guī)則將遠(yuǎn)離最優(yōu)解的初值的方向矩陣替換為平臺(tái)初始點(diǎn)的方向矩陣，經(jīng)多組初值檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，新規(guī)則既可優(yōu)化迭代效率，又能增強(qiáng)算法對(duì)初值的魯棒性。

2.3BFS秩2法

BFS秩2法迭代程序:

初始方向選取新規(guī)則[4]：

1)H0=(F′(x0))-1，記號(hào)變量Δ=0。

3) 當(dāng)Δ=1且迭代次數(shù)k>m時(shí)，Hk+1=Hk，根據(jù)需要選取m=2。

新規(guī)則將遠(yuǎn)離最優(yōu)解的初值方向矩陣替換為平臺(tái)初始點(diǎn)的方向矩陣，并在迭代過(guò)程中保留和維持一個(gè)優(yōu)化的迭代方向，增強(qiáng)了算法對(duì)初值的魯棒性。

2.4BFGS法

BFGS法是求解無(wú)約束最優(yōu)化問(wèn)題最有效的方法之一，但對(duì)非凸函數(shù)的最優(yōu)化問(wèn)題不具有全局收斂性，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)在迭代過(guò)程中存在細(xì)長(zhǎng)、彎曲的峽谷時(shí),采用單調(diào)性搜索算法會(huì)大大降低計(jì)算效率。非單調(diào)線性搜索不要求函數(shù)值在每步迭代中都單調(diào)下降，這使得步長(zhǎng)因子的選取更具有彈性。因此，為優(yōu)化算法的迭代效率，需采用非單調(diào)搜索算法并加入擾動(dòng)項(xiàng)和重復(fù)生成策略。[5-6]

BFGS法迭代程序:

7) 輸出xk+1和f(xk+1)，結(jié)束。

由于方向矩陣的位置分量與姿態(tài)分量的變化范圍不同，對(duì)目標(biāo)函數(shù)的影響系數(shù)也不同，因此BFGS算法的初始方向不能按一般規(guī)則直接選擇單位矩陣I，這里規(guī)定初始方向H0選取的新規(guī)則為

n=round(lg(max(g0(4),g0(5),g0(6))))

(4)

(5)

采用重復(fù)生成策略為

(6)

(7)

式(5)～式(7)中：s=3；x=3。

經(jīng)過(guò)仿真試驗(yàn)，采用新規(guī)則可在迭代過(guò)程中跳出峽谷現(xiàn)象并收斂于最優(yōu)解，與標(biāo)準(zhǔn)BFGS法相比，可大大提高迭代速度和初值的魯棒性。

3 數(shù)值算例及分析

給定Stewart平臺(tái)數(shù)據(jù)為：r1=250 mm,r2=270 mm,θ1=π/4，θ2=π/5，Lmax= 370 mm,Lmin= 300 mm。給定各桿長(zhǎng)為:L1=331.777 1 mm,L2=324.103 0 mm,L3=358.139 2 mm,L4=338.397 0 mm,L5=329.075 2 mm,L6=356.475 7 mm。

為比較各算法的迭代效率，統(tǒng)一設(shè)定誤差為max(ΔLi′)。程序存在舍入誤差，經(jīng)數(shù)據(jù)驗(yàn)證后得知最大精度等級(jí)約為10-13。定義max(ΔLi′)的大小作為初值距離最優(yōu)解遠(yuǎn)近的標(biāo)準(zhǔn)。[7-8]

初值選取7個(gè)點(diǎn)：1個(gè)為平臺(tái)最初起點(diǎn)[0，0，322.6，0，0，0]；2個(gè)在最優(yōu)解[50， 50， 320，0，0，0]附近，分別為[49，49，319， 0，0，0]和 [49.9，49.9，319.9，0，0，0]；2個(gè)在工作空間內(nèi)隨機(jī)選取，其中一個(gè)離最優(yōu)解較近，另一個(gè)離最優(yōu)解較遠(yuǎn)，分別為[48，47，321，0.01， 0.03，0.05]和[4，5，320，0.1，0.05，-0.03]；2個(gè)在工作空間外選取，一個(gè)離最優(yōu)解較近，另一個(gè)離最優(yōu)解較遠(yuǎn)，分別為[53，44，326，0.1，0.05，-0.03]和[55，55， 325，1，1，1]。各算法使用同一臺(tái)計(jì)算機(jī)，CPU為Inter(R)G630，主頻為2.70 GHz，內(nèi)存為4 GB，操作系統(tǒng)為Windows XP。4種算法迭代效率比較見表1。

表1 4種算法迭代效率比較

由表1可知：

1) 在相同的初值和誤差要求下，BFS秩2法的迭代時(shí)間最短、效率最高；牛頓法的迭代次數(shù)最少；BFGS法的迭代次數(shù)最多且用時(shí)較長(zhǎng)。

2) 各算法的迭代效果均與初值有關(guān)，離最優(yōu)解較近則迭代效果較好，遠(yuǎn)離最優(yōu)解則可能不收斂或收斂于其他解，因此初值應(yīng)盡量在最優(yōu)解附近。

3) 各算法對(duì)初值的要求均不高，在工作空間內(nèi)即可。

為觀察各算法的具體迭代過(guò)程，選取初值為[49，49，319，0，0，0]，繪出其迭代對(duì)比圖及局部放大圖見圖2和圖3。

圖2 初值為[49，49，319，0，0，0]時(shí)的迭代對(duì)比圖

圖3 初值為[49，49，319，0，0，0]時(shí)的迭代對(duì)比局部放大圖

為說(shuō)明BFGS法的優(yōu)點(diǎn)，取奇異點(diǎn)[0，0， 0，0，0，π/2]作為迭代目標(biāo)位姿。選取最優(yōu)解附近點(diǎn)[0.1，0.1，0，0，0，1.57]作為迭代初值。[9-10]此時(shí)牛頓法、逆Broyden秩1和BFS秩2法全部失效，只有BFGS法依然有效。由奇異特性可知，初值點(diǎn)的位置分量中z軸分量在奇異曲線附近影響系數(shù)變大，因此在初始方向選取規(guī)則和重復(fù)生成策略中需對(duì)z軸分量和姿態(tài)分量作出相同變換,即令式(5)～式(7)中的s=2,x=4。其迭代過(guò)程見圖4。

圖4 初值為[0.1,0.1,0,0,0,1.57]的迭代圖

4 結(jié)束語(yǔ)

以上4種數(shù)值迭代算法在工作空間內(nèi)非奇異處均收斂，迭代結(jié)果均可達(dá)到較高的精度等級(jí),而在實(shí)際控制中，可直接選用上一時(shí)刻的位姿數(shù)據(jù)作為迭代初值，根據(jù)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性，其迭代結(jié)果就是所需的最優(yōu)解。

BFS秩2法用時(shí)最短，優(yōu)于其他算法，對(duì)實(shí)時(shí)控制具有重要意義，但初始時(shí)仍需求一次逆矩陣，當(dāng)初始方向矩陣奇異或病態(tài)時(shí)易迭代失敗。BFGS法用時(shí)雖較長(zhǎng)，但無(wú)需求逆矩陣，當(dāng)初值在奇異邊界附近時(shí)依然有效，這對(duì)模擬器機(jī)構(gòu)奇異分析和初期設(shè)計(jì)具有重要意義。

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ComparativeAnalysisofNumericalMethodsforDirectKinematicsinShipMotionSimulator

DANGYinglong,XUHeli,GAOLan

(Energy and Power Engineering College ,Wuhan University of Technology,Wuhan 430063,China)

TP242.2;U666.158

A

2016-12-11

黨嬰龍(1988—)，男，河南洛陽(yáng)人，碩士生，主要從事船舶自動(dòng)化研究。E-mail：399811043@qq.com 徐合力(1963—)，男，湖北武漢人，高級(jí)實(shí)驗(yàn)師，主要研究方向?yàn)檩啓C(jī)工程船舶輔助機(jī)械系統(tǒng)。E-mail：406176290@qq.com

1000-4653(2017)01-0106-04