黃 蕭 于 鑫

(北京應(yīng)用物理與計(jì)算數(shù)學(xué)研究所，北京100094)

不同狀態(tài)方程對(duì)固體介質(zhì)中斜激波反射的影響1)

黃 蕭 于 鑫2)

(北京應(yīng)用物理與計(jì)算數(shù)學(xué)研究所，北京100094)

相比氣體，固體介質(zhì)在高壓下的狀態(tài)方程更為復(fù)雜，形式也多種多樣．現(xiàn)有關(guān)于固體介質(zhì)中激波反射的理論研究，一般直接采用某種狀態(tài)方程，缺乏對(duì)采用不同狀態(tài)方程得到的結(jié)果的對(duì)比．本項(xiàng)工作采用激波極曲線的理論分析方法，選擇4種不同組合形式的狀態(tài)方程(一次沖擊激波采用線性的沖擊波速度與粒子速度關(guān)系式，二次沖擊激波采用Gr¨uneisen狀態(tài)方程；一次沖擊和二次沖擊激波均采用沖擊波速度與粒子速度關(guān)系式；一次沖擊激波采用線性沖擊波速度與粒子速度關(guān)系式,二次沖擊激波采用剛性氣體狀態(tài)方程；以及一次沖擊激波和二次沖擊激波均采用剛性氣體狀態(tài)方程)，研究固體介質(zhì)中的斜激波反射，比較了采用不同組合形式的狀態(tài)方程對(duì)反射激波波后壓力的影響．利用量綱分析方法討論了簡(jiǎn)化狀態(tài)方程達(dá)到較高精度的條件．此外，用ANSYS/LS-DYNA軟件，對(duì)激波極曲線理論給出的結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證．本項(xiàng)工作可為固體介質(zhì)中激波反射問題狀態(tài)方程的選取提供一定的指導(dǎo)．

斜激波反射，激波極曲線，狀態(tài)方程，固體介質(zhì)

引言

工程研究中經(jīng)常涉及固體介質(zhì)里的激波反射問題，如高能炸藥的爆轟波與固體結(jié)構(gòu)的相互作用、彈丸侵徹固體靶片、兩物體高速碰撞產(chǎn)生射流等[16]．爆轟波在固體介質(zhì)中誘導(dǎo)產(chǎn)生的斜激波，或者物體高速斜碰撞產(chǎn)生的斜激波，在遇到固壁、交界面時(shí)會(huì)發(fā)生反射,產(chǎn)生較高的壓力．急劇升高的壓力可能在固體介質(zhì)中引發(fā)特殊的力學(xué)現(xiàn)象[78]，因此開展相關(guān)研究對(duì)國(guó)防應(yīng)用及民用經(jīng)濟(jì)都具有重要的意義．

氣體里的激波反射現(xiàn)象很早就受到關(guān)注[9].馬赫最早在實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)并記錄了激波反射現(xiàn)象，他記錄了兩種不同的激波反射結(jié)構(gòu)，一種是正規(guī)反射，另一種是馬赫反射．之后馮·諾依曼針對(duì)正規(guī)反射和馬赫反射分別提出了“兩激波理論”和“三激波理論”，求解得到反射點(diǎn)附近各區(qū)域的流動(dòng)參數(shù)．由于激波反射求解中邊界條件的約束是轉(zhuǎn)角和壓強(qiáng)，在實(shí)際應(yīng)用中更為有效的是壓力–轉(zhuǎn)角極曲線[1014]．例如反射激波極曲線與縱軸的交點(diǎn)是正規(guī)反射的解，而馬赫桿極曲線與反射激波極曲線的交點(diǎn)即為馬赫反射的解．通常根據(jù)激波的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)又可以分為定常的反射結(jié)構(gòu)和非定常的反射結(jié)構(gòu)．氣體中超音速來流繞楔角的流動(dòng)會(huì)產(chǎn)生駐定的激波反射結(jié)構(gòu)，而運(yùn)動(dòng)激波沿楔面的運(yùn)動(dòng)會(huì)產(chǎn)生準(zhǔn)定常的反射結(jié)構(gòu)，準(zhǔn)定常的反射形式比定常的更為豐富，例如有可能產(chǎn)生雙馬赫反射[15]．

相比氣體，固體介質(zhì)中斜激波反射的系統(tǒng)研究工作在公開發(fā)表的文獻(xiàn)中鮮有出現(xiàn)．原因之一是固體介質(zhì)在高壓下的狀態(tài)方程較為復(fù)雜，可采用的狀態(tài)方程形式也多種多樣,例如沖擊波速度與波后粒子速度關(guān)系、Gr¨uneisen狀態(tài)方程、剛性氣體狀態(tài)方程等[1619]．近年關(guān)于固體介質(zhì)中激波反射的研究，一般直接采用某種狀態(tài)方程，例如陳大偉等[20]采用剛性氣體狀態(tài)方程研究了凝聚介質(zhì)里的斜激波反射問題，Brown和Ravichandran[21]采用Gr¨uneisen狀態(tài)方程研究了固體介質(zhì)界面間的激波折射．可以看到這類研究缺乏對(duì)不同形式狀態(tài)方程得到的結(jié)果的對(duì)比，若能給出采用不同狀態(tài)方程得到結(jié)果之間的差異，對(duì)以后的理論或數(shù)值模擬具有重要的意義，例如能對(duì)采用某種狀態(tài)方程得到結(jié)果的精度有定量的認(rèn)識(shí)．因此本工作基于激波極曲線的理論分析方法，比較在不同狀態(tài)方程下固體介質(zhì)中的斜激波反射，探討采用不同狀態(tài)方程對(duì)反射激波波后壓力精度的影響．

1 理論模型

1.1 狀態(tài)方程

圖1描述了一個(gè)典型的馬赫反射結(jié)構(gòu).入射激波(OI)和馬赫桿(OT)是一次沖擊激波，而反射激波(OR)是二次沖擊激波.采用不同的狀態(tài)方程,得到的一次沖擊激波關(guān)系式和二次沖擊激波關(guān)系式會(huì)不同．對(duì)于一次沖擊，大量的實(shí)驗(yàn)研究表明，許多固體材料的沖擊波速度與粒子速度呈現(xiàn)線性關(guān)系[2223]

圖1 馬赫反射結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic diagram of a Mach re fl ection

其中,常壓下的聲速c0和λ均為材料參數(shù)．對(duì)于二次沖擊，并沒有直接的實(shí)驗(yàn)性的經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式．本文研究4種不同組合形式狀態(tài)方程下的斜激波反射問題.一次沖擊激波采用線性的沖擊波速度與粒子速度關(guān)系式,二次沖擊激波采用Gr¨uneisen狀態(tài)方程，用1Du2Gr¨uneisen表示;一次沖擊激波采用線性沖擊波速度與粒子速度關(guān)系式,二次沖擊激波采用二次的沖擊波速度與粒子速度關(guān)系式，用1Du2Du表示;一次沖擊激波采用線性沖擊波速度與粒子速度關(guān)系式、二次沖擊激波采用剛性氣體狀態(tài)方程，用1Du2Gama表示;一次沖擊激波和二次沖擊激波均采用剛性氣體狀態(tài)方程,用 1Gama2Gama表示．由于固體介質(zhì)參數(shù)的測(cè)定利用Gr¨uneisen狀態(tài)方程，一次沖擊利用沖擊波速度與粒子速度關(guān)系式．因此本文假設(shè)理論上1Du2Gr¨uneisen狀態(tài)方程得到的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果是一致的，在后續(xù)的理論分析中，以1Du2Gr¨uneisen得到的結(jié)果作為參考值，比較另外3種狀態(tài)方程與其差異．

1.2 激波極曲線關(guān)系式

1.2.1 采用1Du2Gr¨uneisen狀態(tài)方程

對(duì)于一次沖擊采用線性的沖擊波速度與粒子速度關(guān)系式，激波極曲線關(guān)系式為

其中 p0和 p1分別表示入射激波波前和波后的壓力，對(duì)于固體介質(zhì)，通常令p0=0．ρ0和q0分別表示入射激波波前的密度和來流速度(參考系固定在激波上)，D1和u1分別表示入射激波速度和波后的粒子速度，θ1為入射激波波前、波后速度的轉(zhuǎn)角．對(duì)于二次沖擊激波，Brown和Ravichandran[21]給出采用Gr¨uneisen狀態(tài)方程時(shí)的壓力與比容(p-v)關(guān)系如下

其中v0為初始狀態(tài)下的比容，v2和p2分別表示反射激波波后的比容和壓力，Γ為材料參數(shù)，為簡(jiǎn)便起見，取 Γ/v= Γ0/v0及 Γ0=2λ?2/3[24]．反射激波波前、波后速度的轉(zhuǎn)角θ2有如下關(guān)系式

其中v1和q1分別表示反射激波波前的比容和來流速度(參考系固結(jié)在激波上)．式(3)和式(4)構(gòu)成反射激波采用Gr¨uneisen狀態(tài)方程時(shí)的激波極曲線關(guān)系式．

1.2.2 采用1Du2Du狀態(tài)方程

一次沖擊的激波極曲線關(guān)系同式(2)，二次沖擊的沖擊波速度和粒子速度的關(guān)系可設(shè)為

其中 a1,b1和 c1為待定參數(shù)，D2nr和 u2nr分別表示相對(duì)于u1n的反射激波速度和波后粒子速度，即D2nr=D2n?u1n和u2nr=u2n?u1n，其中u1n為入射激波波后粒子速度u1在垂直于反射激波方向上的分量．相對(duì)一次沖擊時(shí)的沖擊波速度與粒子速度關(guān)系式(1)，式(5)的參數(shù)較難通過實(shí)驗(yàn)進(jìn)行標(biāo)定，Neal[25]和經(jīng)福謙[26]給出了一種把壓力--比容關(guān)系轉(zhuǎn)換為沖擊波速度--粒子速度關(guān)系的方法，基于此，待定參數(shù)a1,b1和c1可表示為

若采用Gr¨uneisen狀態(tài)方程來表示二次沖擊時(shí)的p-v關(guān)系，結(jié)合式(3)和(6)可以得到a1,b1和c1的具體表達(dá)式，從而得到反射激波采用沖擊波速度與粒子速度關(guān)系式時(shí)的激波極曲線關(guān)系式

實(shí)際上，此時(shí)反射激波采用沖擊波速度與粒子速度關(guān)系式等效于采用Gr¨uneisen狀態(tài)方程的二階近似．

1.2.3 采用1Du2Gama狀態(tài)方程

一次沖擊的激波極曲線關(guān)系同式(2)，二次沖擊采用剛性狀態(tài)方程時(shí)的激波極曲線關(guān)系可表示為

其中 γ為絕熱指數(shù)．為方便不同狀態(tài)方程間的比較，絕熱指數(shù)γ取為等熵的常數(shù)近似γ=2λ?1+

1.2.4 采用1Gama2Gama狀態(tài)方程

此時(shí)所有激波關(guān)系式均采用剛性氣體狀態(tài)方程，對(duì)于一次沖擊的入射激波和馬赫桿，有如下激波極曲線關(guān)系

對(duì)于二次沖擊的反射激波，激波極曲線關(guān)系同式(8)．

2 理論分析結(jié)果和討論

2.1 不同形式狀態(tài)方程對(duì)激波極曲線的影響

以金屬鈹(Be)為例，給定材料參數(shù)：常壓下的聲速 c0=0.799cm/μs、初始密度 ρ0=1.85g/cm3以及系數(shù)λ=1.13，加載條件給定入射激波強(qiáng)度，即入射激波波后壓力p1=100GPa．圖2給出了不同入射激波傾角α0下的激波極曲線圖，當(dāng)α0=35°時(shí)，從圖2(a)可以看出，此時(shí)發(fā)生正規(guī)反射，采用1Du2Du狀態(tài)方程的解和1Du2Gr¨uneisen最為接近，而1Du2Gama偏離1Du2Gr¨uneisen較多．

當(dāng)入射激波傾角α0=45°時(shí)，激波極曲線圖2(b)顯示了4種不同狀態(tài)方程下馬赫桿極曲線和反射激波極曲線的交點(diǎn)，可以看出此時(shí)發(fā)生的是非正規(guī)反射，而且采用不同狀態(tài)方程得到的結(jié)果差異明顯.這種差異不僅反映在反射激波波后壓力上，也表現(xiàn)在反射模式上．當(dāng)采用1Du2Gama和1Gama2Gama狀態(tài)方程時(shí)，交點(diǎn)在反射激波極曲線頂點(diǎn)的左側(cè)，發(fā)生的是馬赫反射(MR)，而采用1Du2Gr¨uneisen和1Du2Du狀態(tài)方程時(shí)，交點(diǎn)在反射激波極曲線頂點(diǎn)的右側(cè)，此時(shí)發(fā)生的是馮·諾依曼反射(vNR)[11,2931]．

圖2 不同入射激波傾角下的激波極曲線Fig.2 Shock polar under di ff erent incident angles

2.2 不同形式狀態(tài)方程對(duì)反射激波波后壓力的影響

改變?nèi)肷浼げ▋A角 α0，可以得到在給定激波強(qiáng)度條件下，反射波波后壓力 p2隨 α0的變化．圖3描繪了不同狀態(tài)方程對(duì)反射激波波后壓力的影響．從圖中可以看出，采用1Du2Du狀態(tài)方程的解和1Du2Gr¨uneisen最為接近，而1Du2Gama的解和1Du2Gr¨uneisen偏離最遠(yuǎn)．而且，總體上正規(guī)反射階段4種狀態(tài)方程得出的結(jié)果差異較小，非正規(guī)反射階段得出的結(jié)果差異較為明顯．

圖3 不同狀態(tài)方程對(duì)反射激波波后壓力的影響Fig.3 E ff ect of di ff erent equations of state on the pressure behind the re fl ected shock

此外，圖3表明隨著α0增大到某一角度時(shí)，p2的值會(huì)發(fā)生突變，此時(shí)對(duì)應(yīng)的角度即為正規(guī)反射過渡到非正規(guī)反射的臨界角．當(dāng)入射激波強(qiáng)度較大(如p1=100GPa)時(shí)，采用不同狀態(tài)方程得出的臨界角在37°到42°之間，而強(qiáng)度較小(如 p1=15GPa)的入射激波給出的臨界角在47°到57°之間，此時(shí)采用不同狀態(tài)方程得到的結(jié)果之間差距更大．

2.3 不同形式狀態(tài)方程對(duì)反射類型的影響

根據(jù)反射激波脫體的判據(jù)，由激波極曲線理論可以得到不同入射激波強(qiáng)度下從正規(guī)反射過渡到非正規(guī)反射的臨界角，由此可將激波反射類型劃分為兩個(gè)區(qū)域：正規(guī)反射區(qū)和非正規(guī)反射區(qū)，如圖4所示．橫軸為代表入射激波強(qiáng)度的入射激波波后壓力，縱軸為入射激波與來流的角度．從圖中可以看出，入射激波強(qiáng)度越小，從正規(guī)反射過渡到非正規(guī)反射的臨界角越大．此外，圖中表明采用 4種不同狀態(tài)方程得到的區(qū)域分界線差異較為明顯，由1Du2Du和1Du2Gr¨uneisen得到的結(jié)果基本一致，由1Gama2Gama得到的結(jié)果與1Du2Gr¨uneisen有所差異，1Du2Gama得到的結(jié)果與1Du2Gr¨uneisen差異最大．由此可見，采用不同狀態(tài)方程對(duì)反射激波波后壓力以及反射類型的判定都有較大的影響，在實(shí)際應(yīng)用中需要加以注意．

圖4 激波反射區(qū)域類型的劃分Fig.4 Domains of di ff erent types of shock wave re fl ection

2.4 量綱分析

前面的小節(jié)給出了特定材料參數(shù)下的結(jié)果，接下來通過量綱分析研究更一般的結(jié)果，并基于此給出簡(jiǎn)化形式的剛性氣體狀態(tài)方程的適用條件．對(duì)于本文研究的問題，反射激波波后壓力是以下獨(dú)立參數(shù)的函數(shù)

即p2只與初始密度ρ0、聲速c0、一次沖擊D?u關(guān)系式的系數(shù)λ、代表入射激波強(qiáng)度的p1以及入射激波的傾角α0有關(guān)．這5個(gè)參數(shù)只存在兩個(gè)具有獨(dú)立量綱的參數(shù)，不失一般性，選為ρ0和c0，其他參數(shù)的量綱可以由這兩個(gè)基本參數(shù)的量綱導(dǎo)出，利用量綱分析中的π定理，式(10)可以重新寫為如下的無量綱函數(shù)形式

即無量綱化的反射激波波后壓力只與無量綱化的入射激波波后壓力、λ以及α0相關(guān)，無量綱化后可將原本需要討論的5個(gè)參數(shù)降為3個(gè)，很大程度上簡(jiǎn)化了問題．

圖5 正規(guī)反射階段不同狀態(tài)方程解的誤差Fig.5 Solution error of regular re fl ection under di ff erent equations of state

當(dāng)入射激波的傾角 α0較小時(shí)，系統(tǒng)產(chǎn)生正規(guī)反射，在正規(guī)反射階段反射激波波后壓力隨傾角增大變化不大.給定 α0=20°，討論不同的 λ值下，隨的變化，并比較4種不同形式狀態(tài)方程的影響，此時(shí)結(jié)果可近似表示正規(guī)反射階段不同狀態(tài)方程對(duì)無量綱化的反射激波波后壓力的影響．以1Du2Gr¨uneisen得到的值為標(biāo)準(zhǔn)，比較另外3種狀態(tài)方程得到的值相對(duì)其的誤差η，η隨的變化趨勢(shì)如圖5所示．從圖中可以看出，對(duì)于1Du2Du，大多數(shù)情況下得到的結(jié)果都很精確，因?yàn)槠涫?Du2Gr¨uneisen解的二階近似.對(duì)于1Du2Gama，在λ為1.5～1.8時(shí)得到的結(jié)果與1Du2Gr¨uneisen符合得較好，λ為其他值時(shí)精度較差.而對(duì)于1Gama2Gama，在λ為1.2～1.3時(shí)得到的結(jié)果與1Du2Gr¨uneisen符合得較好;λ為其他值時(shí)只有

圖5 正規(guī)反射階段不同狀態(tài)方程解的誤差(續(xù))Fig.5 Solution error of regular re fl ection under di ff erent equations of state(continued)

圖6 非正規(guī)反射階段不同狀態(tài)方程解的誤差Fig.6 Solution error of irregular re fl ection under di ff erent equations of state

當(dāng)入射激波傾角較大時(shí)，系統(tǒng)有可能出現(xiàn)非正規(guī)反射，在正規(guī)反射和非正規(guī)反射過渡的階段，不同狀態(tài)方程對(duì)結(jié)果的影響較為劇烈．圖6(a)和圖6(b)分別描繪了在入射激波傾角α0=35°及α0=40°條件下的誤差隨的變化趨勢(shì)，此時(shí)給定λ=1.2．從圖中可以看出，隨著無量綱化入射激波強(qiáng)度增大，不同狀態(tài)方程得到解的誤差都會(huì)出現(xiàn)突然增大，而在一定區(qū)間后又會(huì)突然減小的現(xiàn)象．此區(qū)間對(duì)應(yīng)著系統(tǒng)的解從正規(guī)反射到非正規(guī)反射的過渡區(qū)，該過渡區(qū)也可以從圖4加以解釋，即為以α0等于定值的直線交于不同狀態(tài)方程得到的區(qū)域分界線的區(qū)間段，從圖中可以看出1Du2Gama的過渡區(qū)最大．在過渡區(qū)內(nèi)另外3種狀態(tài)方程的相對(duì)誤差都較大(η接近50%)．而當(dāng)?shù)闹敌∮诖藚^(qū)間時(shí)，系統(tǒng)的解為正規(guī)反射，從圖中可以看出1Du2Du得到的結(jié)果很精確，而1Du2Gama的結(jié)果誤差最大，約為10%．當(dāng)?shù)闹荡笥诖藚^(qū)間時(shí)，系統(tǒng)的解為非正規(guī)反射，從圖中可以看出1Du2Du得到的結(jié)果很精確，而1Gama2Gama的結(jié)果誤差最大，約為10%．

綜上所述，對(duì)于大多數(shù)固體(λ=1.2左右)，無論是求解正規(guī)反射還是非正規(guī)反射問題，采用簡(jiǎn)化形式的剛性狀態(tài)方程(1Gama2Gama或1Du2Gama)均會(huì)帶來一定的誤差．采用1Gama2Gama得到的解誤差在正規(guī)反射問題時(shí)比1Du2Gama小，誤差在5%以內(nèi)；而采用1Du2Gama得到的解誤差在非正規(guī)反射問題時(shí)比1Gama2Gama小，誤差在5%以內(nèi)．在正規(guī)反射到非正規(guī)反射的轉(zhuǎn)變階段，1Du2Gama得到的解誤差在過渡區(qū)最大，建議相關(guān)理論研究工作慎重采用．

3 數(shù)值模擬

為驗(yàn)證激波極曲線理論得出的結(jié)果，利用有限元程序ANSYS/LS-DYNA對(duì)不同入射激波傾角下的激波反射進(jìn)行模擬．由于固體介質(zhì)中的斜激波反射一般非定常，因此建立運(yùn)動(dòng)激波過楔面發(fā)生反射的數(shù)值模型．計(jì)算模型如圖7所示，左側(cè)給定入射激波波后壓力的邊界條件，上邊、下邊和斜邊施加滑移固壁邊界條件，模型采用固定的歐拉網(wǎng)格．固體介質(zhì)采用Gr¨uneisen狀態(tài)方程，材料參數(shù)同3.1節(jié)．圖7中α為入射激波和楔面的夾角，由于非正規(guī)反射中來流方向平行于三波點(diǎn)軌跡線，而非平行于固壁，因此當(dāng)運(yùn)動(dòng)激波發(fā)生非正規(guī)反射時(shí)，激波極曲線理論需要相應(yīng)地考慮三波點(diǎn)軌跡角的影響，此時(shí)有α=α0+δ．

圖7 激波反射數(shù)值模擬的有限元模型Fig.7 Finite element model for numerical simulations of shock wave re fl ection

隨著入射激波和楔面夾角 α的增大，數(shù)值模擬得到的斜激波反射波后狀態(tài)及反射模式將發(fā)生改變，圖 8(a)～ 圖 8(c)描繪了 α =35°,α =45°和α=66°時(shí)數(shù)值模擬給出的斜激波反射模式以及相應(yīng)的激波極曲線理論解．

圖8 不同入射激波傾角下的密度等值線圖及相應(yīng)的激波極曲線Fig.8 Density contours and the corresponding shock polar under di ff erent incident angles

當(dāng)α=35°時(shí)，理論分析中反射激波極曲線和縱軸有交點(diǎn)，說明此時(shí)發(fā)生正規(guī)反射，數(shù)值模擬的圖8(a)給出了由入射激波和反射激波組成的二波結(jié)構(gòu)，即正規(guī)反射結(jié)構(gòu)．當(dāng)α=45°時(shí)，理論分析中馬赫桿極曲線和反射激波極曲線的交點(diǎn)位于反射激波極曲線頂點(diǎn)的左側(cè)，說明此時(shí)發(fā)生馬赫反射.從圖8(b)可以清晰地看到由入射激波、弧形的反射激波和馬赫桿組成的三波結(jié)構(gòu)，因此結(jié)果為馬赫反射．繼續(xù)增大α到66°，激波極曲線理論表明狀態(tài)方程采用1Du2Gr¨uneisen和1Du2Du得到的交點(diǎn)位于反射激波極曲線頂點(diǎn)的右側(cè)，即 vNR 反射，而采用1Du2Gama和1Gama2Gama狀態(tài)方程得到的交點(diǎn)位于反射激波極曲線頂點(diǎn)的左側(cè)，因此仍然為馬赫反射．從圖8(c)數(shù)值模擬的結(jié)果可以看出，此時(shí)發(fā)生的是vNR反射，相比馬赫反射，vNR反射結(jié)構(gòu)中馬赫桿和入射激波之間光滑連接，而且三波點(diǎn)附近的反射波是連續(xù)的壓縮波．?dāng)?shù)值模擬的結(jié)果表明與采用1Du2Gr¨uneisen和1Du2Du狀態(tài)方程得到的結(jié)果更為一致．

圖8 不同入射激波傾角下的密度等值線圖及相應(yīng)的激波極曲線(續(xù))Fig.8 Density contours and the corresponding shock polar under di ff erent incident angles(continued)

4 結(jié)論

本文利用激波極曲線的理論分析方法，研究不同形式狀態(tài)方程對(duì)固體介質(zhì)中斜激波反射的影響．結(jié)果表明：

(1)不同的狀態(tài)方程對(duì)反射激波波后壓力以及對(duì)反射類型的判別都有較大的影響，在實(shí)際應(yīng)用中需要加以注意．

(2)采用沖擊波速度和波后粒子速度關(guān)系或Gr¨uneisen狀態(tài)方程得到的結(jié)果比采用剛性氣體狀態(tài)方程更為精確．

(3)通過量綱分析討論了采用剛性氣體狀態(tài)方程能達(dá)到較高精度的條件：對(duì)于大多數(shù)固體(λ=1.2左右)，在求解正規(guī)反射問題時(shí)，一次和二次激波均采用剛性氣體狀態(tài)方程得到的解誤差比一次采用線性沖擊波速度與粒子速度關(guān)系式、二次采用剛性氣體狀態(tài)方程小，誤差在5%以內(nèi)；而在求解非正規(guī)反射問題時(shí)，一次激波采用線性沖擊波速度與粒子速度關(guān)系式、二次激波采用剛性氣體狀態(tài)方程得到的解誤差比一次和二次激波均采用剛性氣體狀態(tài)方程小，誤差在5%以內(nèi)．

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EFFECTS OF DIFFERENT EQUATIONS OF STATE ON THE OBLIQUE SHOCK WAVE REFLECTION IN SOLIDS1)

Huang Xiao Yu Xin2)
(Institute of Applied Physics and Computational Mathematics，Beijing 100094，China)

The equations of state of solids under high pressure are more complicated than that of gases in a variety of forms.While the existing investigations on the oblique shock wave re fl ection usually take one of the equations of state,lacking of the comparisons among them.Therefore,this paper aims at the oblique shock wave re fl ection in solids through shock polar methodology under four di ff erent forms of equations of state(principal shock taking with linear shock–particle velocity relationship and second shock taking with Gr¨uneisen equation of state,principal and second shock both taking with shock–particle velocity relationship,principal shock taking with linear shock–particle velocity relationship and second shock taking with sti ff ened gas equation of state,and principal and second shock both taking with sti ff ened gas equation of state).The e ff ects of di ff erent equations of state on the pressure behind the re fl ected shock wave are discussed.By conducting the dimensional analysis,we provide an applicable condition for employing a simpli fi ed equation of state to achieve high accuracy.Moreover,numerical simulations performed by ANSYS/LS-DYNA software are conducted to validate the results through shock polar methodology.The results of this paper could be helpful for the decision of the equation of state on the oblique shock wave re fl ection in solids.

oblique shock wave re fl ection,shock polar,equation of state,solid

O357.4+2

A

10.6052/0459-1879-17-015

2017–01–09收稿，2017–08–23 錄用,2017–08–23 網(wǎng)絡(luò)版發(fā)表.

1)國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11602027).

2)于鑫，研究員，主要研究方向：爆炸與沖擊動(dòng)力學(xué).E-mail:yummuy@iapcm.ac.cn

黃蕭,于鑫.不同狀態(tài)方程對(duì)固體介質(zhì)中斜激波反射的影響.力學(xué)學(xué)報(bào),2017,49(5):1145-1153

Huang Xiao,Yu Xin.E ff ects of di ff erent equations of state on the oblique shock wave re fl ection in solids.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2017,49(5):1145-1153