趙哲衡

摘 要：偏微分方程作為高等數(shù)學(xué)中的一種方程式，自身的實(shí)用性較強(qiáng)，在現(xiàn)實(shí)生活中具有重要的地位，被廣泛應(yīng)用于各個(gè)學(xué)科當(dāng)中。偏微分方程的求解方法較多，運(yùn)用不同的方程求解方法能夠得到不同的方程解，方程解主要包括周期解、復(fù)線(xiàn)孤子解、橢圓函數(shù)解等。本文重點(diǎn)研究偏微方程求解方法，從（2+1）維耗散長(zhǎng)水波方程的孤波解方法、HBK方程的三種Darboux變換求解方法和BK方程的Backlund變換及對(duì)稱(chēng)三方面內(nèi)容進(jìn)行分析。

關(guān)鍵詞：偏微分方程；求解方法；變換

中圖分類(lèi)號(hào)：O175.29 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1671-2064（2017）19-0208-02

偏微分方程作為非線(xiàn)性科學(xué)領(lǐng)域中的一項(xiàng)重要研究?jī)?nèi)容，方程自身具有較強(qiáng)的復(fù)雜性，大多數(shù)偏微分方程的精確性不高，方程的精確求解尚不完全，確保偏微方程求解方法的精確性，成為專(zhuān)家學(xué)者重點(diǎn)研究?jī)?nèi)容。但是從過(guò)去的研究情況上來(lái)看，無(wú)法精確的求出偏微分方程解，相關(guān)的研究人員通過(guò)多年來(lái)的研究及實(shí)驗(yàn)，現(xiàn)總結(jié)出了以下三種研究方法，具體分析了偏微分方程的求解方法，確保了求解方法的合理性，有助于提升方程求解效果，提升了偏微分方程的精確性。

1 （2+1）維耗散長(zhǎng)水波方程的孤波解方法

1.1 雙曲正切法

雙曲正切法函數(shù)是由Malfliet等人提出的一種非線(xiàn)性求解方法。在90年代中期對(duì)該方法進(jìn)行了改進(jìn)，將計(jì)算機(jī)代數(shù)與雙曲正切法有機(jī)的結(jié)合在一起，對(duì)非線(xiàn)性偏微分方程進(jìn)行求解，提高了偏微分方程的精確性。偏微分方程求解方法通過(guò)采用各種方法，將偏微分方程約化為常微分方程，在通過(guò)不同的方程求解方法來(lái)完成對(duì)偏微方程的孤立波解。方程求解需要按照如下步驟執(zhí)行：將偏微方程轉(zhuǎn)換為常微分方程；在利用雙曲正切法求解時(shí)，運(yùn)用雙曲正切函數(shù)將方程解進(jìn)行組合和疊加；對(duì)常微分方程中的非線(xiàn)性代數(shù)方程組進(jìn)行求解；利用吳消元法求解；將所獲得的方程解帶入到原方程式中進(jìn)行驗(yàn)證[1]。

例如，方程有解，需要按照公式進(jìn)行求解：將利用齊次平衡法進(jìn)行求解，得，n=1，。

其中，當(dāng)b<0時(shí)，所求出的方程解為

，。

當(dāng)b=0時(shí)，所求出的方程解為

，

當(dāng)b>0時(shí)，所求出的方程解為

，。

1.2 投影Riccati法

投影Riccati法主要是利用計(jì)算機(jī)來(lái)直接進(jìn)行求解的過(guò)程，通過(guò)在Riccati方程中尋找NEEs的形式來(lái)求出新的孤波解，將這個(gè)解構(gòu)成初等的函數(shù)多項(xiàng)式。在利用投影Riccati法對(duì)偏微分方程進(jìn)行求解時(shí)，需要按照以下步驟進(jìn)行：針對(duì)已經(jīng)給定的非現(xiàn)象發(fā)展方程，將方程中的自變量設(shè)置為X，t，做航波變換，會(huì)得出一個(gè)微分方程；對(duì)偏微分方程中的微分方程組進(jìn)行求解，運(yùn)用平衡最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)和非線(xiàn)性項(xiàng)進(jìn)行求解[2]。

設(shè)有解，需要按照如下公式對(duì)方程進(jìn)行求解：

1.3 齊次平衡法

齊次平衡法作為非線(xiàn)性偏微分方程中的一種重要求精確解方法，提升了非線(xiàn)性發(fā)展方程中的精確解，是一種偏微分方程求精確解的重要方法，該種方法給非線(xiàn)性發(fā)展方程的求解工作提供了較大的便利。齊次平衡法在求解過(guò)程中，主要包括以下四個(gè)步驟：需要利用非線(xiàn)性項(xiàng)及最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，來(lái)求出平衡階數(shù)m，n；了解所要求解的式中是否存在單變?cè)瘮?shù)f=f（）；明確式中是否存在，是否能夠構(gòu)成線(xiàn)性組合系數(shù)，明確與線(xiàn)性組合系數(shù)之間的關(guān)系，求出組合洗漱中的（1，1）擬解；如果前三步都能夠確保準(zhǔn)確無(wú)誤，在計(jì)算第四步時(shí)，通過(guò)計(jì)算，來(lái)獲取（1，1）的準(zhǔn)確解。

1.4 Jacobi橢圓函數(shù)法

Jacobi橢圓函數(shù)法是建立在Jacobi橢圓余弦函數(shù)及正弦函數(shù)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的嚴(yán)重函數(shù)，該種方法在實(shí)際的應(yīng)用過(guò)程中，建立在方程復(fù)數(shù)解及實(shí)數(shù)解的基礎(chǔ)上。為了加大對(duì)非現(xiàn)象問(wèn)題的研究力度，需要通過(guò)非線(xiàn)性偏微分方程來(lái)對(duì)該項(xiàng)問(wèn)題進(jìn)行研究及分析，尋找到非現(xiàn)象偏微分方程的精確解，提升了非現(xiàn)象波動(dòng)方程的意義[3]。例如，在運(yùn)用Jacobi橢圓函數(shù)法來(lái)解方程時(shí)，投影Ricdati方程通常用如下式表示：或表示，式中的p，q，r為人以常數(shù)，一般的Jacobi橢圓函數(shù)方程為

2 HBK方程的三種Darboux變換求解方法

Darboux變換主要是根據(jù)HBK方程的Lax來(lái)對(duì)譜參數(shù)及其位勢(shì)間的變換關(guān)系進(jìn)行研究和分析，結(jié)合實(shí)際的研究結(jié)果，利用HBK方程對(duì)已經(jīng)得到的“種子解”進(jìn)行計(jì)算，以此來(lái)獲取新的精確解。Darboux變換在進(jìn)行求解的過(guò)程中，需要是結(jié)合孤子方程中的精確解來(lái)對(duì)方程進(jìn)行求值，Darboux變換能夠確保方程解題的精確性。但是由于在實(shí)際的解題過(guò)程中，經(jīng)常出現(xiàn)一些孤子方程Lax很難獲得情況，因此，不是所有的孤子方程在解題過(guò)程中都可以利用Darboux變換法進(jìn)行求解。下面結(jié)合目前已經(jīng)的HBK方程的Lax，對(duì)三種Darboux變換方程解題方法進(jìn)行研究和分析[4]。

2.1 HBK方程的第一種Darboux變換

在對(duì)HBK方程進(jìn)行設(shè)置時(shí)，對(duì)第一種Darboux變換方式進(jìn)行分析時(shí)，設(shè)公式為：T=A0，通過(guò)上式能夠看出，A0、A1、B1、C1、D1是關(guān)于x，t的函數(shù)。需要將帶入到方程式中，得到如下式：

+

+

=

結(jié)合上式所得結(jié)果，需要對(duì)，i=0，1，2的系數(shù)進(jìn)行比較分析，通過(guò)分析可知，公式在i=2時(shí)，公式是成立的。

2.2 HBK方程的第二種Darboux變換

在利用第二種方程進(jìn)行求解時(shí)，HBK方程在實(shí)際的設(shè)置及變換過(guò)程中，需要嚴(yán)格按照Darboux變換方式，方程用公式表示為T(mén)=D0，從以上式中能夠看出，D0，A2，B2，C2，D2都是關(guān)于x，t的函數(shù)。通過(guò)對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行分析，可知，，i=0，1，2的系數(shù)進(jìn)行比較分析，通過(guò)分析可知，公式在i=2時(shí)，公式是成立的。其中，當(dāng)-B2/2=B2/2-；C2/2=-1-C1/2，進(jìn)而得出D0X/D0-1/2D2+u/2=-D2/2+/2，當(dāng)i=0時(shí)，能夠得出：endprint

D0X/D0A2+A2x-1/2A2u+B2=-1/2A2-C2

D0X/D0B2+B2x-A2v+B2/2u=-B2/2-D2

D0X/D0C2+C2x-C2/2u+D2=A2+C2/2

D0X/D0D2+D2x-C2v+D2/2u=B2+D2/2

2.3 HBK方程的第三種Darboux變換

HBK方程的第三種Darboux變換，用公式表示為：

T=D

設(shè)α，δ，A，B，C，D是關(guān)于x，t的函數(shù)。需要將ax（）+aAx和，axB+aBx和x（+D）+Dx求解，當(dāng)i=0，1，2的系數(shù)進(jìn)行比較分析，通過(guò)分析可知，公式在i=2時(shí)，公式是成立的。當(dāng)i=1時(shí)，可知方程式為ax+1/2aA=1/2au=1/2aA-1/2A和方程式-av-1/2aB=1/2aB-；當(dāng)i=0時(shí)可得，axA+aAx-1/2aAu+aB=-1/2aA-；axB+aBx-aAv+1/2aBu=1/2aB-；axC+aCx-1/2+D=aA+1/2aC。

3 BK方程的Backlund變換及對(duì)稱(chēng)

3.1 BK方程的Backlund變換

BK方程主要是運(yùn)用方程式Broer-Kaup方程來(lái)表示，所表示的方程式為：

和公式來(lái)表示，該方程式在實(shí)際的使用過(guò)程中，主要是運(yùn)用表面色散波的可積模型進(jìn)行表示，該項(xiàng)方程式在實(shí)際的使用貴哦成中，展現(xiàn)出了豐富的可積性質(zhì)，主要是運(yùn)用u（x， t）來(lái)表示水平速度場(chǎng)，運(yùn)用v（x，t）來(lái)表示偏離頁(yè)面平衡位置的高度。BK方程的Backlund變換主要實(shí)際的應(yīng)用過(guò)程中主要是運(yùn)用齊次平衡法思想，要求運(yùn)用Backlund變換來(lái)求出方程解，方程用公式表示為：。該項(xiàng)方程式在實(shí)際的誰(shuí)用過(guò)程中，需要確保（uv）x與uxxx保持平衡關(guān)系，通過(guò)以上方程式的求解能夠得出m1=1.m2=2，將方程假設(shè)為：

3.2 BK方程的Backlund對(duì)稱(chēng)

BK方程的Backlund對(duì)稱(chēng)，需要考慮，Broer-Kaup方程中，在方程式及方程式中，要求要滿(mǎn)足以下方程式和方程式t+σx+ux+vσx+ux+σvx+σxxx=0。要求對(duì)方程式進(jìn)行求解，例如，在對(duì)方程式σ=a（x，t）ut+b（x，t）ux+d（x，t）u+e（x，t）和方程式=a（x，t）vt+b（x，t）vx+f（x，t）v+g（x，t）中，在對(duì)方程進(jìn)行求解時(shí)，將方程式中的a，b，d，e，f，g作為方程式中關(guān)于x，t的待定函數(shù)，能夠通過(guò)這些待定函數(shù)來(lái)求出函數(shù)的偏微分方程[5]。通過(guò)以上的敘述，能夠得出以下解：

σ=（2k1t+2k2）ut+（k1x+k3t+k4）ux+k1u-k3

=（2k1t+2k2）vt+（k1x+k3t+k4）vx+2k1v+2k1

4 結(jié)語(yǔ)

偏微分方程的精確求解一直以來(lái)都是高數(shù)方程求解中的一類(lèi)重要內(nèi)容，受方程式自身的復(fù)雜性影響較大，導(dǎo)致在對(duì)方程進(jìn)行求解時(shí)呈現(xiàn)出不精確性，不能確保方程求解的全面性及合理性。因此，為了確保方程求解的精確性，本文從一、（2+1）維耗散長(zhǎng)水波方程的孤波解方法、HBK方程的三種Darboux變換求解方法和BK方程的Backlund變換及對(duì)稱(chēng)三方面的內(nèi)容進(jìn)行分析，幫助方程能夠快速的進(jìn)行求解，提升方程解的精確性。

參考文獻(xiàn)

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