碰撞問題的速度矩陣表達(dá)和能量損失及傳遞率分析*

賀西平 王成會(huì) 邊小兵 盧紅兵

(陜西師范大學(xué)物理學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院 陜西 西安 710119)

碰撞問題的速度矩陣表達(dá)和能量損失及傳遞率分析*

賀西平 王成會(huì) 邊小兵 盧紅兵

(陜西師范大學(xué)物理學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院 陜西 西安 710119)

以兩體碰撞為例，對碰撞前后的速度關(guān)系利用矩陣作了簡明表達(dá)．全面分析了碰撞前后的能量組成及關(guān)系，闡述了資用能的物理意義，求出了能量損失、能量傳遞率等表達(dá)式．本文的分析方法也可推廣到多體碰撞問題中去．

能量損失 能量傳遞率 速度矩陣 多體碰撞

文獻(xiàn)[1]在不引入慣性力的前提下，討論了兩體問題中的功能原理、機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用范圍．文獻(xiàn)[2～4]導(dǎo)出了兩體對心碰撞的能量損失公式，指出了恢復(fù)系數(shù)實(shí)質(zhì)為恢復(fù)階段系統(tǒng)的動(dòng)能增加值與壓縮階段中系統(tǒng)的動(dòng)能減小值之比的平方根．利用柯尼希定理將兩體碰撞前后的能量表達(dá)為質(zhì)心動(dòng)能與折合質(zhì)量相對速度的動(dòng)能(即資用能)之和，有助于理解資用能的物理意義[5]，也能夠簡化處理諸如子彈穿越木塊、物塊在凹槽里碰撞以及外部物體與兩連接彈簧碰撞等問題[6]．碰撞的總能量，來源于碰撞前兩體具有的動(dòng)能，該動(dòng)能除了碰撞后轉(zhuǎn)化為其他形式而損失的能量外，還有碰后兩體具有的動(dòng)能．其中包含有一體傳遞給另一體的能量，由此可求出能量的傳遞率，有實(shí)用價(jià)值[7,8]．除了兩體碰撞問題外，還會(huì)遇到諸如汽車連環(huán)追尾等多體碰撞的問題．

本文以兩體碰撞為例，對碰撞前后的速度關(guān)系利用矩陣作了簡明表達(dá)，全面分析了碰撞前后的能量組成、關(guān)系，并求出了能量損失、能量傳遞率表達(dá)式，由此可以更簡便、更深刻地理解碰撞問題．本文的分析方法可推廣到多體碰撞問題中去．

1 碰撞前后的速度矩陣表示

圖1 兩體碰撞前后的速度

由動(dòng)量守恒定律，有

(1)

即u′=-eu

(2)

由以上兩式，得到

碰撞前后速度之間的關(guān)系可用矩陣表達(dá)為

(3)

或者也可得到兩體之間的碰前和碰后的關(guān)系

矩陣表達(dá)為

2 能量分析

碰撞前后該兩體系統(tǒng)的動(dòng)能E1和E2分別為

(4)

由此，兩體系統(tǒng)能量損失ΔEk即為碰撞前后的資用能之差

(5)

(6)

其中，E1f為質(zhì)量m1碰撞后的動(dòng)能，E2g為質(zhì)量m2碰后得到的能量，Ed為碰撞過程中轉(zhuǎn)換成其他形式的能量．

由式(3)可得

(7)

(8)

結(jié)合式(6)～(8)，碰撞過程中轉(zhuǎn)換成其他形式的能量Ed為

Ed=E-E1f-E2g=

質(zhì)量m1傳遞給m2的動(dòng)能E2g與質(zhì)量m1的動(dòng)能之比，即能量的傳遞率η為

(9)

式中e為恢復(fù)系數(shù)，其值介于0與1之間．能量的傳遞率η與質(zhì)量比t及恢復(fù)系數(shù)有關(guān)．為使得η達(dá)到最大，對上式進(jìn)行如下討論：

(1)若兩球質(zhì)量比t為恒定值，則e=1時(shí)，即完全彈性碰撞時(shí)，能量傳遞率達(dá)到最大，完全非彈性碰撞e=0時(shí)能量傳遞率最小；

需要注意的是，碰撞過程中傳遞能量，或說是被碰撞質(zhì)量獲得的動(dòng)能E2g與轉(zhuǎn)換成其他形式的能量Ed是兩個(gè)概念．

圖2 三體碰撞前后的速度

根據(jù)式(3)，質(zhì)量m2的碰前和碰后與質(zhì)量m1的碰前和碰后速度之間的關(guān)系為

(10)

式中e1為m1和m2之間碰撞恢復(fù)系數(shù)．

同理，質(zhì)量m3的碰前和碰后與質(zhì)量m2的碰前和碰后速度之間的關(guān)系為

(11)

式中e2為m2和m3之間碰撞恢復(fù)系數(shù)．

能量關(guān)系依上可進(jìn)行類似的分析．

3 小結(jié)

本文以兩體碰撞為例，全面分析了碰撞前后的能量組成及關(guān)系，利用矩陣對碰撞前后的速度關(guān)系作了簡明表達(dá)．碰撞過程中轉(zhuǎn)化為其他形式的能量與碰撞前后系統(tǒng)的資用能之差相等．若為完全非彈性碰撞，碰前的資用能將在碰撞過程中全部轉(zhuǎn)化為其他形式的能量．

利用推導(dǎo)的碰撞前后的速度矩陣關(guān)系式，對碰撞過程中能量的傳遞率進(jìn)行了分析，即碰撞球(物)體傳遞給被碰撞球(物)體的動(dòng)能與碰前碰撞球(物)體所攜帶的動(dòng)能之比．若兩球質(zhì)量比為恒定值，發(fā)生完全彈性碰撞時(shí)，能量傳遞率最大，完全非彈性碰撞時(shí)能量傳遞率最?。艋謴?fù)系數(shù)為恒定值，當(dāng)兩碰撞球體的質(zhì)量相等時(shí)，動(dòng)能的傳遞率為最大．

利用推導(dǎo)的碰撞前后的速度矩陣關(guān)系式，也容易分析多體碰撞問題中的能量關(guān)系以及碰撞物體從前到后的能量傳遞率．

1 白靜江.兩體問題中的功能原理及機(jī)械能守恒定律.大學(xué)物理,1997,16(3): 11～14

2 劉超.兩體對心碰撞能量損失問題初探.物理教學(xué)探討,2004,22(213):51～52

3 王長春.從能量的角度討論兩體碰撞問題.大學(xué)物理, 2005, 24(9):18～22

4 M F Ferreira da Silva.Meaning and usefulness of the coefficient of restitution. Eur J Phys, 2007, 28 (6):

1 219～1 232

5 陳鋼,阮中中.柯尼希定理運(yùn)用于兩體問題的討論.物理與工程, 2010,20(1):21～22,31

6 范繼美.兩體問題中的折合質(zhì)量.昆明工學(xué)院學(xué)報(bào),1992,17(2):121～128

7 Marián Kire?.Astroblaster-a fascinating game of multi-ball collisions.Phys Edu,2009,44 (2),159～164

8 BernardRicardo,Paul Lee.Maximizing kinetic energy transfer in one-dimensional many-body collisions,Eur J Phys,2015,36 (2):1～12

9 蔡支坤,王笑君.運(yùn)用質(zhì)心系解決兩體碰撞問題.物理通報(bào), 2016(2):8～10

AnalysisonVelocityMatrixRepresentation,EnergyLossandTransferRateofImpactIssue

He Xiping Wan Chenhui Bian Xiaobing Lu Hongbing

(Shaanxi Normal University,School of Physics Information Technology,Xi'an,Shaanxi 710119)

Taking the two-body collision as an example, the relation of bodies velocity between before and after collision is concisely expressed in matrix form. The component parts of collision energy of the bodies and their relations between before and after collision are analyzed thoroughly and the physical meaning of available energy is elaborated, furthermore, expressions of the loss of energy and the energy transfer rate are derived. The analysis method described here may be adopted for many-body collisions issues.

loss of energy; energy transfer rate; velocity matrix; many-body collisions

*陜西師范大學(xué)教學(xué)改革項(xiàng)目資助．

賀西平(1965- ),男,博士，教授，主要從事力學(xué)、理論力學(xué)教學(xué)和超聲學(xué)研究工作.

2017-04-21)