朱穎童， 董春曦， 董陽(yáng)陽(yáng)， 許錦， 趙國(guó)慶

西安電子科技大學(xué) 電子信息攻防對(duì)抗與仿真技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 西安 710071

去中心化時(shí)差頻差直接定位方法

朱穎童*， 董春曦， 董陽(yáng)陽(yáng)， 許錦， 趙國(guó)慶

西安電子科技大學(xué) 電子信息攻防對(duì)抗與仿真技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 西安 710071

針對(duì)原始利用時(shí)差頻差的直接定位(DPD)方法存在數(shù)據(jù)傳輸量和計(jì)算量大的瓶頸，提出了兩種去中心化直接定位方法。第1種方法采用去中心化配對(duì)方案，只將各觀測(cè)站截獲信號(hào)在站間進(jìn)行一次傳輸，將數(shù)據(jù)傳輸和計(jì)算分散到各觀測(cè)站間并行計(jì)算互模糊函數(shù)(CAF)，構(gòu)造僅滿足滿秩條件的互模糊矩陣(CAM)。第2種方法根據(jù)推導(dǎo)的任意互模糊函數(shù)間關(guān)系公式，采用歸約方式去中心化的在各觀測(cè)站并行計(jì)算余下互模糊函數(shù)，補(bǔ)全互模糊矩陣。兩種方法都降低了直接定位數(shù)據(jù)傳輸量，提高了計(jì)算效率。性能分析和仿真實(shí)驗(yàn)表明本文兩種方法精度性能優(yōu)于兩步定位方法，在低信噪比時(shí)兩種方法都可達(dá)到比較理想的精度性能，在高信噪比時(shí)第2種方法與原始直接定位方法的精度性能相當(dāng)。

直接定位； 無(wú)源定位； 互模糊函數(shù)； 去中心化； 觀測(cè)站配對(duì)； 克拉美羅下界

無(wú)源定位具有作用距離遠(yuǎn)，安全隱蔽性能好等優(yōu)勢(shì)，是電子對(duì)抗的一個(gè)重要的研究方向[1]。無(wú)源定位已廣泛應(yīng)用于飛機(jī)、衛(wèi)星、無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)等平臺(tái)。近年來(lái)將無(wú)源定位應(yīng)用于低成本無(wú)人機(jī)蜂群(LOw-Cost UAV Swarm Technology，LOCUST)這類自組協(xié)同受尺寸、重量、功率、成本(Size Weight and Power Cost，SWaP-C)[2]約束的分布式平臺(tái)，對(duì)定位算法提出了更苛刻的要求。無(wú)源定位一般采用兩步定位方法，首先利用截獲信號(hào)估計(jì)到達(dá)角(Direction Of Arrival，DOA)、到達(dá)時(shí)間(Time Of Arrival，TOA)、時(shí)差(Time Difference Of Arrival，TDOA)、頻差(Frequency Difference Of Arrival，F(xiàn)DOA)和信號(hào)強(qiáng)度(Received Signal Strength，RSS)等參數(shù)，再利用這些參數(shù)估計(jì)輻射源位置。

Wax和Kailath[3]首先提出了直接利用多個(gè)陣列的信號(hào)采樣，計(jì)算協(xié)方差矩陣實(shí)現(xiàn)窄帶輻射源數(shù)目及位置的一步估計(jì)，并討論了位置與頻率聯(lián)合估計(jì)以及運(yùn)動(dòng)輻射源的情況。Weiss等[4-7]將直接利用信號(hào)實(shí)現(xiàn)輻射源位置一步估計(jì)的方法命名為直接定位(Direct Position Determination，DPD)方法。這類方法避免了兩步方法所需的信號(hào)分選和參數(shù)配對(duì)過(guò)程，且可在低信噪比下得到精度更高的定位結(jié)果。Oispuu和Nickel[8]首先提出運(yùn)動(dòng)單站天線陣列對(duì)多個(gè)間歇輻射的輻射源目標(biāo)的檢測(cè)和直接定位方法。郭福成等[9-10]提出利用運(yùn)動(dòng)單站干涉儀接收的信號(hào)數(shù)據(jù)估計(jì)輻射源位置的直接定位方法，采用一組干涉儀便可對(duì)多個(gè)頻段輻射源進(jìn)行定位，且在低信噪比下優(yōu)于多通道干涉儀僅測(cè)角和長(zhǎng)基線相位差變化率定位方法。王鼎等[11]也采用運(yùn)動(dòng)單站天線陣，依據(jù)相位調(diào)制信號(hào)具有的恒包絡(luò)特性，根據(jù)最大似然準(zhǔn)則實(shí)現(xiàn)輻射源的直接定位，明顯提高了位置估計(jì)的精度。Bosse等[12]提出Global MUSIC方法實(shí)現(xiàn)多站天線陣對(duì)多個(gè)輻射源目標(biāo)的直接定位。黃志英等[13]在實(shí)現(xiàn)多站天線陣對(duì)多個(gè)輻射源直接定位時(shí)考慮陣列的非一致噪聲，通過(guò)交替迭代的方式對(duì)噪聲協(xié)方差矩陣以及目標(biāo)位置進(jìn)行聯(lián)合估計(jì)。

Weiss等在文獻(xiàn)[6-7]中分別提出了多個(gè)觀測(cè)站對(duì)單個(gè)固定輻射源的直接定位方法，每個(gè)觀測(cè)站只有一個(gè)接收機(jī)截獲一路信號(hào)，基于時(shí)差或頻差或兩者聯(lián)合,分別適用于窄帶和寬帶的未知或先驗(yàn)已知信號(hào)。Kay等[14-15]利用多個(gè)觀測(cè)站實(shí)現(xiàn)輻射源的低截獲(Low Probability of Intercept，LPI)信號(hào)檢測(cè)和直接定位，針對(duì)采樣信號(hào)存在的信號(hào)量化效應(yīng)影響定位性能，采用了連續(xù)時(shí)間信號(hào)模型，適用于窄帶、寬度、低通和高通的輻射時(shí)間未知的未知或已知信號(hào)。直接定位方法由于利用信號(hào)進(jìn)行定位，因此存在著數(shù)據(jù)傳輸量大、計(jì)算量大等瓶頸。

為了克服這些瓶頸，F(xiàn)owler等在文獻(xiàn)[2]和文獻(xiàn)[16-17]中分別提出了數(shù)據(jù)壓縮和分布式計(jì)算的方法，并分析了其對(duì)直接定位精度性能的影響。王云龍和吳瑛[18]利用矩陣轉(zhuǎn)置后的非零特征值相同這一性質(zhì)，降低代價(jià)函數(shù)中矩陣的維數(shù)，減小其特征值分解的計(jì)算量。夏威等[19-20]提出自適應(yīng)分布式計(jì)算實(shí)現(xiàn)輻射源直接定位，將各觀測(cè)站截獲采樣的信號(hào)傳輸給鄰近觀測(cè)站而非單一觀測(cè)站或者融合中心(Fusion Center)，顯著降低了數(shù)據(jù)通信量且將計(jì)算量分散到各觀測(cè)站。另外采用最速下降的迭代方式，不需要遍歷計(jì)算所有格點(diǎn)，降低了估計(jì)輻射源位置所需的總計(jì)算量。

相關(guān)基于時(shí)差或頻差或兩者聯(lián)合的直接定位，需將L個(gè)觀測(cè)站兩兩配對(duì)成共L(L-1)/2組配對(duì)，將各站截獲信號(hào)兩兩配對(duì)逐一計(jì)算廣義互相關(guān)(Generalized Cross Correlation，GCC )[21]或者互模糊函數(shù)(Cross Ambiguity Function，CAF)[22]，每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)再構(gòu)造包含輻射源位置信息的Hermite矩陣的L(L-1)/2個(gè)矩陣元素。Hermite矩陣即為互模糊矩陣(Cross Ambiguity Matrix，CAM)。而兩步定位法只利用L-1組配對(duì)，提取L-1組時(shí)差和頻差用于定位解算。另外在兩步定位方法中，由于中間變量包含有輻射源與某一觀測(cè)站之間的斜距，需要設(shè)定主觀測(cè)站和副觀測(cè)站，所用參數(shù)一般為主副觀測(cè)站間的時(shí)差或頻差。定義主副觀測(cè)站間的時(shí)差和頻差為中心化時(shí)差和頻差。

由于各觀測(cè)站截獲的是相同輻射源同一時(shí)刻的信號(hào)，GCC或CAF間滿足相應(yīng)關(guān)系。因此，提取L-1組時(shí)差頻差，只計(jì)算L-1個(gè)GCC或CAF，其他(L-1)(L-2)/2個(gè)函數(shù)不需計(jì)算GCC或CAF，可利用函數(shù)間關(guān)系公式產(chǎn)生，以補(bǔ)全互模糊矩陣，極大降低了觀測(cè)站間數(shù)據(jù)傳輸量和計(jì)算量。

綜上，本文嘗試提出兩種方法構(gòu)造互模糊矩陣，第1種方法不需全部計(jì)算L(L-1)/2個(gè)矩陣元素，只需要滿足矩陣滿秩的條件，最少只需要計(jì)算L-1個(gè)矩陣元素，降低計(jì)算量。與文獻(xiàn)[2，19-20]類似，不設(shè)定主觀測(cè)站或者融合中心，采用去中心化的觀測(cè)站配對(duì)方案，觀測(cè)站只向鄰近的觀測(cè)站轉(zhuǎn)發(fā)截獲信號(hào)，極大降低了定位系統(tǒng)的數(shù)據(jù)傳輸量。采用分布式的計(jì)算方式，將原來(lái)相關(guān)運(yùn)算都在同一個(gè)觀測(cè)站的方式改為分散到各個(gè)觀測(cè)站分別計(jì)算，縮減了定位計(jì)算所消耗的總時(shí)間。第2種方法在第1種方法計(jì)算得到的L-1個(gè)GCC或CAF基礎(chǔ)之上，利用函數(shù)之間的關(guān)系計(jì)算余下(L-1)(L-2)/2個(gè)GCC或CAF，在保證構(gòu)造出所有矩陣元素的情況下，極大降低了數(shù)據(jù)傳輸量和計(jì)算量。

由于時(shí)差頻差聯(lián)合的直接定位可簡(jiǎn)化得到時(shí)差或頻差的直接定位，因此本文討論時(shí)差頻差聯(lián)合的直接定位。本文內(nèi)容組織如下：第1節(jié)給出模型并總結(jié)相關(guān)直接定位方法，第2節(jié)給出兩種互模糊矩陣構(gòu)造方法，第3節(jié)推導(dǎo)各定位方法克拉美羅下界(Cramer-Rao Lower Bound，CRLB)，第4節(jié)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，第5節(jié)給出結(jié)論。

1 問(wèn)題模型

假設(shè)輻射源目標(biāo)位置為p。L個(gè)觀測(cè)站的位置和速度分別為pl和vl，l=1,2,…,L。各觀測(cè)站K個(gè)時(shí)間段T內(nèi)截獲的輻射源信號(hào)表示為

rl,k(t)=bl,ksk(t-tl,k)ej2πfl,kt+wl,k(t)

0≤t≤T

(1)

式中：k=1,2,…,K；bl,k為信號(hào)輻射到達(dá)觀測(cè)站l的傳播損耗；sk(t)為信號(hào)波形；wl,k(t)為零均值加性高斯白噪聲；T為觀測(cè)時(shí)間；tl,k和fl,k分別為第k時(shí)間段內(nèi)信號(hào)到達(dá)觀測(cè)站l的到達(dá)時(shí)間和多普勒頻移，其表達(dá)式分別為

(2)

(3)

信號(hào)到達(dá)觀測(cè)站l和m的時(shí)差和頻差分別為

(4)

flm,k=fl,k-fm,k=

(5)

為了討論的簡(jiǎn)便，假定在觀測(cè)時(shí)間內(nèi)滿足τlm,k?T，即定位過(guò)程中時(shí)差和頻差保持不變。

文獻(xiàn)[16-17]指出對(duì)截獲的信號(hào)進(jìn)行采樣和壓縮傳輸會(huì)產(chǎn)生量化誤差，文獻(xiàn)[15]指出觀測(cè)站間的同步誤差影響估計(jì)結(jié)果，文獻(xiàn)[23]指出運(yùn)動(dòng)觀測(cè)站間截獲信號(hào)的轉(zhuǎn)發(fā)傳播誤差影響估計(jì)結(jié)果。

文獻(xiàn)[2,6,14,19-20]對(duì)各觀測(cè)站截獲信號(hào)時(shí)域直接采樣，采樣率限制了時(shí)差的量化精度。文獻(xiàn)[16-17]將信號(hào)進(jìn)行離散傅里葉變換、小波包變換和短時(shí)傅里葉變換后再量化壓縮，壓縮時(shí)在時(shí)差頻差精度，計(jì)算量與傳輸量之間取舍。文獻(xiàn)[8，15，18]將信號(hào)用傅里葉系數(shù)表示，對(duì)于帶限信號(hào)，可以只保留有限個(gè)非零系數(shù)來(lái)近似信號(hào)。因此，在這里將截獲信號(hào)用傅里葉系數(shù)表示，同時(shí)考慮量化和同步等誤差。

(6)

可以將式(6)寫(xiě)成如下向量形式：

(7)

式中：

Dl,k=diag(e-j2πf-Ntl,k,e-j2πf-N+1tl,k,…,e-j2πfNtl,k)

綜合相關(guān)文獻(xiàn)給出輻射源位置直接估計(jì)方法的步驟如下。將所有觀測(cè)站截獲得到的輻射源信號(hào)集中傳輸?shù)酵晃恢茫缰饔^測(cè)站。對(duì)于每一個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)pg，g=1,2,…,G，計(jì)算信號(hào)從該網(wǎng)格點(diǎn)傳播到各觀測(cè)站的傳播時(shí)間和多普勒頻率，構(gòu)造如下包含位置信息的矩陣:

(8)

式中：矩陣Dl和Fl對(duì)應(yīng)著網(wǎng)格點(diǎn)傳播到各觀測(cè)站的傳播時(shí)間和多普勒頻率。

對(duì)于任意給定的矩陣X，由于XHX與XXH非零特征值相同。因此，構(gòu)造L×L矩陣：

(9)

將所有時(shí)間段該矩陣最大特征值相加，將各網(wǎng)格點(diǎn)對(duì)應(yīng)值組成集合，集合中的最大值對(duì)應(yīng)的網(wǎng)格點(diǎn)即為輻射源估計(jì)位置?？蓪?xiě)成

(10)

矩陣Qpg,k為互模糊矩陣。Qpg,k對(duì)角線上的第l個(gè)元素為觀測(cè)站l在第k時(shí)間段內(nèi)截獲信號(hào)的能量。Qpg,k的第(l,m)個(gè)非對(duì)角線元素是觀測(cè)站l和m在第k個(gè)時(shí)間段內(nèi)截獲信號(hào)的互模糊函數(shù)。

(11)

式中：τg和fg分別為觀測(cè)站l和m相對(duì)于網(wǎng)格點(diǎn)pg所對(duì)應(yīng)的時(shí)差和多普勒頻差。

2 去中心化直接定位方法

相關(guān)直接定位方法構(gòu)造互模糊矩陣Qpg,k用于特征值求解以估計(jì)輻射源位置，都需要計(jì)算出所有矩陣元素。由于互模糊矩陣是Hermite矩陣，因此對(duì)于每個(gè)觀測(cè)時(shí)間段都需要計(jì)算L(L-1)/2個(gè)互模糊函數(shù)和L個(gè)截獲信號(hào)能量。相關(guān)直接定位方法需將各觀測(cè)站截獲信號(hào)轉(zhuǎn)發(fā)到主觀測(cè)站，再針對(duì)每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)將所有觀測(cè)站截獲信號(hào)構(gòu)造成數(shù)據(jù)矩陣以構(gòu)造互模糊矩陣。

2.1 去中心化構(gòu)造僅滿秩互模糊矩陣

兩步定位方法利用觀測(cè)站截獲信號(hào)測(cè)量的時(shí)差頻差進(jìn)行定位解算時(shí)，一般只利用了L-1組時(shí)差頻差。而將L個(gè)觀測(cè)站兩兩配對(duì)，最多可以有LL-1/2組配對(duì)，計(jì)算LL-1/2個(gè)互模糊函數(shù)，測(cè)量得到LL-1/2組時(shí)差頻差。直接定位方法構(gòu)造互模糊矩陣Qpg,k時(shí)利用了全部LL-1/2 組配對(duì)，而兩步定位方法一般只利用其中L-1組實(shí)現(xiàn)定位解算。直接定位法構(gòu)造的互模糊矩陣Qpg,k如果也只利用L-1組配對(duì)，計(jì)算L-1個(gè)互模糊函數(shù)構(gòu)造僅滿秩的互模糊矩陣，不構(gòu)造所有矩陣元素，此時(shí)互模糊矩陣剛好滿足滿秩條件，可求解特征值以估計(jì)輻射源位置。構(gòu)造僅滿秩的互模糊矩陣可降低定位系統(tǒng)的計(jì)算量。

根據(jù)文獻(xiàn)[24]的思路，將時(shí)差頻差用變換矩陣乘以到達(dá)時(shí)間和到達(dá)頻率向量進(jìn)行表示。令τd=Tτ和fd=Tf分別表示定位中涉及到的時(shí)差和頻差向量。其中:τ=[τ1τ2…τL]T和f=[f1f2…fL]T分別為L(zhǎng)個(gè)觀測(cè)站截獲的信號(hào)到達(dá)時(shí)間向量和到達(dá)頻率向量；T為列數(shù)為L(zhǎng)的變換矩陣，T的行數(shù)可以為L(zhǎng)-1至L(L-1)/2的任意值，T的每行只有一個(gè)1和-1。

兩步定位方法提取L-1個(gè)時(shí)差頻差需設(shè)定主觀測(cè)站，其他L-1個(gè)觀測(cè)站為副觀測(cè)站，將主副觀測(cè)站配對(duì)，各副觀測(cè)站截獲信號(hào)轉(zhuǎn)發(fā)到主觀測(cè)站計(jì)算互模糊函數(shù)，提取中心化時(shí)差頻差。不失一般性假定觀測(cè)站1為主觀測(cè)站，中心化時(shí)差向量和頻差向量分別為τdC=[τ21τ31…τL1]T和fdC=[f21f31…fL1]T。中心化變換矩陣為

(12)

根據(jù)文獻(xiàn)[25]，與觀測(cè)站l配對(duì)的觀測(cè)站集合用Nl表示，與觀測(cè)站l配對(duì)的觀測(cè)站數(shù)目稱為觀測(cè)站l的度(degree)，用Dl表示。Dl的數(shù)值即對(duì)應(yīng)著互模糊矩陣第l行和第l列中非零元素的數(shù)目。兩步定位法的中心化配對(duì)方案主觀測(cè)站的度D1=L，副觀測(cè)站的度Dl=2。

中心化配對(duì)方案計(jì)算構(gòu)造的僅滿足滿秩條件的互模糊矩陣中各非對(duì)角線非零元素分別對(duì)應(yīng)不同觀測(cè)站配對(duì)的互模糊函數(shù)，對(duì)角線元素為各觀測(cè)站截獲信號(hào)的能量。具體形式為

(13)

式中：All為觀測(cè)站l截獲信號(hào)的能量；Clm為觀測(cè)站l和m對(duì)應(yīng)網(wǎng)格點(diǎn)pg的互模糊函數(shù)數(shù)值。

中心化時(shí)差頻差的互模糊函數(shù)計(jì)算和提取需將數(shù)據(jù)傳輸和計(jì)算都集中于單一觀測(cè)站或者融合中心，限制了定位的數(shù)據(jù)傳輸和計(jì)算效率以及觀測(cè)站網(wǎng)絡(luò)擴(kuò)展。由于直接定位方法無(wú)需滿足中心化限制，可采用去中心化的觀測(cè)站配對(duì)方案，不設(shè)定主觀測(cè)站，各觀測(cè)站只向鄰近站轉(zhuǎn)發(fā)截獲信號(hào)，在各觀測(cè)站并行計(jì)算L-1個(gè)互模糊函數(shù)，提高直接定位的數(shù)據(jù)傳輸和計(jì)算效率，便于觀測(cè)站網(wǎng)絡(luò)擴(kuò)展。

由于觀測(cè)站間的基線長(zhǎng)度影響定位性能，為了利用有限的L-1個(gè)互模糊函數(shù)盡可能地提高定位精度，可以使觀測(cè)站配對(duì)間總距離盡可能大。

(14)

目標(biāo)函數(shù)式(14)得到的最優(yōu)觀測(cè)站標(biāo)號(hào)排列Sn使得觀測(cè)站配對(duì)間總距離最大。將Sn中觀測(cè)站標(biāo)號(hào)排列依次序替換為1到L。采用去中心化配對(duì)觀測(cè)站方案，將替換標(biāo)號(hào)后的觀測(cè)站l和l+1 進(jìn)行配對(duì)，并行地將觀測(cè)站l+1截獲信號(hào)只轉(zhuǎn)發(fā)至鄰近觀測(cè)站l。此時(shí)各觀測(cè)站的度相同，都是Dl=3。采用分布式計(jì)算，將原來(lái)互模糊函數(shù)計(jì)算集中于單一觀測(cè)站或融合中心的方式改為分散到各觀測(cè)站并行計(jì)算，縮減計(jì)算所有互模糊函數(shù)所需時(shí)間。

去中心化觀測(cè)站配對(duì)方案對(duì)應(yīng)去中心化時(shí)差和頻差向量分別為τdD=[τ21τ32…τL(L-1)]T和fdD=[f21f32…fL(L-1)]T，去中心化變換矩陣為[26]

(15)

采用去中心化配對(duì)方案計(jì)算互模糊函數(shù)構(gòu)造的互模糊矩陣的具體形式為

(16)

式中：All與Clm的意義與式(13)相同。

綜上，給出去中心化構(gòu)造僅滿足滿秩條件的互模糊矩陣，實(shí)現(xiàn)直接定位的步驟如下：

步驟1根據(jù)觀測(cè)站位置的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，按照目標(biāo)函數(shù)式(14)得到各觀測(cè)站的最優(yōu)標(biāo)號(hào)集合。

步驟2在各觀測(cè)站計(jì)算第k時(shí)間段內(nèi)截獲信號(hào)的能量El,k。

步驟3在第k時(shí)間段，任意觀測(cè)站l+1將截獲信號(hào)轉(zhuǎn)發(fā)至觀測(cè)站l，其中l(wèi)=1,2，…,L-1。

步驟4在觀測(cè)站l計(jì)算CAFl(l+1),k，并將相應(yīng)的時(shí)差頻差的互模糊函數(shù)數(shù)值與對(duì)應(yīng)的網(wǎng)格點(diǎn)pg關(guān)聯(lián)，得到[CAFl(l+1),k]pg。

步驟5對(duì)于每一個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)pg，構(gòu)造形如式(16)的互模糊矩陣Qpg,k，其中第l個(gè)對(duì)角線元素為El,k，第l行l(wèi)+1列與第l+1行l(wèi)列非對(duì)角元素分別為[CAFl(l+1),k]pg與其共軛。

步驟6計(jì)算該時(shí)間段內(nèi)互模糊矩陣Qpg,k的最大特征值λmax(Qpg,k)。

2.2 去中心化補(bǔ)全互模糊矩陣

根據(jù)2.1節(jié)構(gòu)造的互模糊矩陣估計(jì)輻射源位置，雖然極大地提高了數(shù)據(jù)傳輸和計(jì)算的效率，但因?yàn)闆](méi)有充分利用所有的觀測(cè)站配對(duì)以計(jì)算互模糊矩陣的所有元素，因此無(wú)法達(dá)到原始直接定位方法的精度性能，在低信噪比下得到精度較高的定位結(jié)果。文獻(xiàn)[2]在提出的HC直接定位方法中給出了主副站間的互模糊函數(shù)關(guān)系公式。本節(jié)將該關(guān)系公式推廣，采用2.1節(jié)利用信號(hào)計(jì)算L-1個(gè)去中心化互模糊函數(shù)后，再去中心化的在各觀測(cè)站并行計(jì)算余下的互模糊函數(shù)，補(bǔ)全互模糊矩陣所有元素。

由于觀測(cè)站間需多次數(shù)據(jù)傳輸，為了降低觀測(cè)站間的數(shù)據(jù)傳輸時(shí)延，需要觀測(cè)站配對(duì)間總距離盡可能小。

因此，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)式(14)中各符號(hào)的定義，以及各觀測(cè)站位置構(gòu)造如下目標(biāo)函數(shù)：

(17)

目標(biāo)函數(shù)式(17)得到的最優(yōu)觀測(cè)站標(biāo)號(hào)排列Sr使得觀測(cè)站配對(duì)間總距離最小。將Sn中的觀測(cè)站標(biāo)號(hào)排列依次序替換為1到L。

因?yàn)樽儞Q矩陣T秩為L(zhǎng)-1，而τmn=τln-τlm和fmn=fln-flm，因此在所有L(L-1)/2個(gè)時(shí)差頻差中，獲得其中包含所有觀測(cè)站數(shù)據(jù)的L-1個(gè)時(shí)差頻差，其他時(shí)差頻差都可以由L-1個(gè)時(shí)差頻差組成的向量經(jīng)過(guò)初等變換計(jì)算得到[24]。

由于各觀測(cè)站截獲的是相同輻射源同一時(shí)刻的信號(hào)，在所有L(L-1)/2個(gè)互模糊函數(shù)中，計(jì)算出其中L-1個(gè)包含所有觀測(cè)站數(shù)據(jù)的互模糊函數(shù)，其他互模糊函數(shù)都可以由L-1個(gè)互模糊函數(shù)計(jì)算得到。下面將文獻(xiàn)[2]的關(guān)系公式推廣到任意觀測(cè)站配對(duì)的情況。第k時(shí)間段觀測(cè)站l截獲的不含噪聲信號(hào)為

(18)

式(18)即式(1)不含噪聲的形式。相同時(shí)間段內(nèi)觀測(cè)站m截獲信號(hào)與式(18)的關(guān)系為

(19)

因此，兩者的互模糊函數(shù)可表示為

CAFlm,k(τ,f)=

G*ej2πflm,kτAAFl,k(τ-τlm,k,f-flm,k)

(20)

式中：

(21)

由式(21)可得

(22)

式中：AAFl,k(0,0)為觀測(cè)站l截獲信號(hào)的能量El,k。

任意觀測(cè)站m與n的互模糊函數(shù)可用任意觀測(cè)站l與n的互模糊函數(shù)表示，表達(dá)式為

CAFmn,k(τ,f)=

Gej2πfτlm,kCAFln,k(τ+τlm,k,f+flm,k)

(23)

將式(22)代入式(23)可得互模糊函數(shù)之間關(guān)系公式。

CAFmn,k(τ,f)=

(24)

利用式(24)任意互模糊函數(shù)間的關(guān)系公式，可采用歸約方式在各觀測(cè)站并行計(jì)算余下互模糊函數(shù)，補(bǔ)全互模糊矩陣，降低時(shí)間復(fù)雜度。根據(jù)文獻(xiàn)[27]，歸約(Reduction)是將位于不同觀測(cè)站的多個(gè)結(jié)果綜合起來(lái)，通過(guò)某些操作或計(jì)算產(chǎn)生新的結(jié)果，存儲(chǔ)在指定的觀測(cè)站。采用歸約的方式在各觀測(cè)站并行計(jì)算互模糊函數(shù)，共需計(jì)算L-2次循環(huán)。循環(huán)之前將觀測(cè)站l+1計(jì)算的信號(hào)能量El+1,k傳遞到觀測(cè)站l。在第i次循環(huán)中，觀測(cè)站l+1將上次循環(huán)計(jì)算得到CAF(l+1)(l+i+1),k傳遞到觀測(cè)站l，根據(jù)互模糊函數(shù)之間關(guān)系公式(24)，在觀測(cè)站l處與CAFl(l+1),k和El+1,k計(jì)算得到CAFl(l+i+1),k，再執(zhí)行下次循環(huán)。第i次循環(huán)中l(wèi)=1,2，…,L-i-1。

綜上，基于L-1個(gè)去中心化互模糊函數(shù)，給出利用互模糊函數(shù)之間關(guān)系，采用歸約的方式，補(bǔ)全互模糊矩陣，實(shí)現(xiàn)直接定位的步驟如下：

步驟1根據(jù)觀測(cè)站位置的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，按照目標(biāo)函數(shù)式(17)得到各觀測(cè)站的最優(yōu)標(biāo)號(hào)集合。

步驟2在各觀測(cè)站l計(jì)算第k時(shí)間段內(nèi)截獲信號(hào)的能量El,k，并將其轉(zhuǎn)發(fā)至觀測(cè)站l-1。

步驟3和步驟4與2.1節(jié)中對(duì)應(yīng)的步驟3和步驟4相同。

步驟6依次執(zhí)行如下循環(huán)操作，在第i=1,2，…,L-2 次循環(huán)中，觀測(cè)站l=1,2，…,L-i-1并行執(zhí)行：

(1) 接收從觀測(cè)站l+1傳遞的上次循環(huán)的計(jì)算結(jié)果CAF(l+1)(l+i+1),k。

(3) 將相應(yīng)的時(shí)差頻差的CAFl(l+i+1),k數(shù)值與對(duì)應(yīng)的網(wǎng)格點(diǎn)pg關(guān)聯(lián)，得到[CAFl(l+i+1),k]pg。

步驟7對(duì)于每一個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)pg，構(gòu)造完整的互模糊矩陣Qpg,k，其中第l個(gè)對(duì)角線元素為El,k，第l行m列與第m行l(wèi)列非對(duì)角元素分別為[CAFlm,k]pg與其共軛。

步驟8和步驟9與2.1節(jié)中步驟6和步驟7相同。

3 定位性能分析

下面分析比較定位方法的誤差克拉美羅下界與計(jì)算復(fù)雜度。

3.1 定位誤差克拉美羅下界

克拉美羅下界可以通過(guò)Fisher信息矩陣(Fisher Information Matrix, FIM)的逆求出[28]。為了分析的簡(jiǎn)便，對(duì)二維空間情況進(jìn)行推導(dǎo)分析，三維空間的情況可以經(jīng)過(guò)拓展得到。

文獻(xiàn)[17]給出的觀測(cè)站l截獲信號(hào)經(jīng)過(guò)變換和量化等之后傳遞到觀測(cè)站m，任意時(shí)間段k內(nèi)采用互模糊函數(shù)方法估計(jì)時(shí)差頻差的FIM如下：

Jlm=2Re{GH[Σ+W]-1G}

(25)

式中：Σ為零均值加性高斯白噪聲協(xié)方差；W為量化誤差協(xié)方差；

(26)

為了便于分析，假定各觀測(cè)站配對(duì)用互模糊函數(shù)方法估計(jì)的FIM相同，且滿足：

(27)

式中：結(jié)合文獻(xiàn)[6，22]有

(28)

(29)

根據(jù)文獻(xiàn)[17，26]，相關(guān)直接定位方法所有觀測(cè)站兩兩配對(duì)計(jì)算互模糊函數(shù)構(gòu)造互模糊矩陣的所有元素，輻射源位置估計(jì)的FIM為

(30)

式中：

(31)

當(dāng)l≠m時(shí)，Tlm為變換矩陣T中某一行，該行的第l列為1，第m列為-1，其他都為零；當(dāng)l=m時(shí)，行向量Tll中所有元素都為零。

將式(27)代入式(30)，整理得到FIM各元素為

(32)

同理，兩步定位方法中采用中心化觀測(cè)站配對(duì)方案，輻射源位置估計(jì)的FIM為

(33)

整理得到兩步定位方法的FIM各元素為

(34)

2.1節(jié)計(jì)算L-1個(gè)互模糊函數(shù)去中心化的構(gòu)造僅滿秩互模糊矩陣的輻射源位置估計(jì)FIM如下：

(35)

整理得到該FIM各元素為

(36)

(37)

(38)

(39)

比較式(37)～式(39) 3個(gè)公式，相關(guān)直接定位方法各觀測(cè)站配對(duì)都充分利用，F(xiàn)IM對(duì)角線上元素?cái)?shù)值最大，因此位置估計(jì)的CRLB最小，精度性能最穩(wěn)定。中心化配對(duì)方案的FIM非零元素集中在第1行和第1列，每個(gè)觀測(cè)站配對(duì)都利用到主觀測(cè)站與輻射源在空間中的相對(duì)位置、速度和截獲信號(hào)等信息，位置估計(jì)CRLBC受主觀測(cè)站影響較大，精度性能不穩(wěn)定。去中心化的FIM非零元素均勻分布，均勻利用各觀測(cè)站與輻射源在空間中相對(duì)位置、速度和截獲信號(hào)，隨著輻射源在空間中不同位置的變化，位置估計(jì)CRLBD具有較穩(wěn)定的起伏，甚至可達(dá)到更高的位置估計(jì)精度。但與相關(guān)直接定位方法CRLB相比，精度性能稍差。

3.2 計(jì)算復(fù)雜度

中心化方法將所有計(jì)算集中于單一觀測(cè)站或融合中心，而去中心化方法將計(jì)算分散到各觀測(cè)站。觀測(cè)站的數(shù)據(jù)傳輸量和計(jì)算量與觀測(cè)站的度Dl有關(guān)，原始直接定位法和兩步定位方法中主觀測(cè)站的度D1=L，而本文所提兩種方法各觀測(cè)站度Dl=3。

原始直接定位法在主觀測(cè)站或融合中心需要接收所有L-1個(gè)觀測(cè)站的截獲信號(hào)。對(duì)于傅里葉系數(shù)長(zhǎng)度為2N的信號(hào)，構(gòu)造互模糊矩陣所需的L個(gè)觀測(cè)站的截獲信號(hào)能量和L(L-1)/2個(gè)互模糊函數(shù)數(shù)值的計(jì)算量為O2N，互模糊矩陣特征值分解的復(fù)雜度為OL3。因此對(duì)于格點(diǎn)數(shù)目為G的空域，總計(jì)算量為O([GL2-(G-2)L]·N+GL3)，且所有計(jì)算量都集中在主觀測(cè)站或融合中心。

本文第1種方法各觀測(cè)站只需接收一個(gè)觀測(cè)站的截獲信號(hào)，另外將G維的互模糊函數(shù)值傳輸?shù)饺诤现行摹Ｃ總€(gè)觀測(cè)站只需計(jì)算自身截獲信號(hào)能量和一個(gè)互模糊函數(shù)，每個(gè)觀測(cè)站的總計(jì)算量為O2(G+1)N。L-1個(gè)觀測(cè)站并加上特征值分解的總計(jì)算量為O2(L-1)(G+1)N+GL3。

第2種方法增加的總計(jì)算量是在第1種方法基礎(chǔ)之上再利用式(24)互模糊函數(shù)之間關(guān)系公式計(jì)算余下(L-1)(L-2)/2個(gè)互模糊函數(shù)，而此時(shí)每計(jì)算一個(gè)互模糊函數(shù)的計(jì)算量為OG。因此與第1種方法相比增加計(jì)算量為O(0.5(L2-3L+2)G)，第2種方法總計(jì)算量為O(2(L-1)·(G+1)N+0.5(2L3+L2-3L+2)G)。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

采用均方根誤差(Root Mean Squares Error，RMSE)度量輻射源位置的定位估計(jì)精度性能，其定義為

(40)

下面對(duì)各算法進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)分析。仿真中假定信號(hào)樣式為線性調(diào)頻信號(hào)，載頻3 GHz，調(diào)頻帶寬10 MHz，脈沖寬度1 ms，脈沖間隔10 ms。各觀測(cè)站的接收機(jī)噪聲帶寬都為20 MHz，信噪比相等。采用文獻(xiàn)[31]的兩步定位方法(Two-step)和文獻(xiàn)[7]的原始直接定位方法(Original DPD)與本文所提兩種方法進(jìn)行仿真比較。本文所提兩種方法依次分別為：第1種方法(Proposed method 1)采用去中心化配對(duì)方案計(jì)算L-1個(gè)互模糊函數(shù)構(gòu)造的僅滿秩互模糊矩陣的直接定位方法，第2種方法(Proposed method 2)利用任意互模糊函數(shù)間關(guān)系公式采用歸約方式，去中心化的在各觀測(cè)站并行計(jì)算余下互模糊函數(shù)以補(bǔ)全互模糊矩陣的直接定位方法。觀測(cè)站與輻射源的位置與速度如表1所示。

在該觀測(cè)站位置拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下，如果各觀測(cè)站之間都可以單跳傳輸。采用去中心化配對(duì)方案，遍歷各觀測(cè)站配對(duì)集合。本文所提第1種方法中的目標(biāo)函數(shù)式(14)的最優(yōu)配對(duì)方案為{(1,4)，(4,7)，(7,9)，(9,5)，(5,3)，(3,2)，(2,6)，(6,8)}，總傳輸距離為27 713 m，因此對(duì)本文所提第1種定位方法進(jìn)行仿真時(shí)采用該最優(yōu)配對(duì)方案，對(duì)觀測(cè)站標(biāo)號(hào)集合{1,4,7,9,5,3,2,6,8}重新依次編號(hào)。本文所提第2種方法中的目標(biāo)函數(shù)式(17)的最優(yōu)配對(duì)方案為{(2,8)，(8,3)，(3,9)，(9,4)，(4,6),(6,5),(5,1),(1,7)}，初次循環(huán)時(shí)總傳輸距離為10 390 m，因此對(duì)本文所提第2種定位方法進(jìn)行仿真時(shí)采用該最優(yōu)配對(duì)方案，對(duì)觀測(cè)站標(biāo)號(hào)集合{2,8,3,9,4,6,5,1,7}重新依次編號(hào)。

表1 觀測(cè)站和輻射源的位置與速度Table 1 Position and velocity of sensors and emitters

兩步定位方法采用的中心化觀測(cè)站配對(duì)方案，對(duì)應(yīng)的CRLBC根據(jù)式(34)的Fisher信息矩陣計(jì)算。本文所提第1種方法采用的去中心化觀測(cè)站配對(duì)方案，對(duì)應(yīng)的CRLBD根據(jù)式(36)的Fisher信息矩陣計(jì)算。本文所提第2種方法和原始直接定位方法采用的所有觀測(cè)站兩兩配對(duì)方案，對(duì)應(yīng)的CRLB根據(jù)式(32)的Fisher信息矩陣計(jì)算。對(duì)單個(gè)輻射源進(jìn)行仿真，依次對(duì)近距離和遠(yuǎn)距離輻射源進(jìn)行定位估計(jì)，各方法的RMSE和各觀測(cè)站配對(duì)方案的CRLB隨著信噪比的變化曲線如圖1所示。

圖1 各方法下不同輻射源定位隨信噪比(SNR)變化的RMSE和CRLB曲線 Fig.1 Curves of RMSE of different methods and CRLB vs signal-to-noise ratio (SNR) for different emitters

由圖1還可以看出，在相同的信噪比情況下，采用去中心化配對(duì)方案的本文所提第1種方法由于均勻利用各觀測(cè)站與輻射源在空間中相對(duì)位置，精度性能優(yōu)于采用中心化配對(duì)方案的兩步定位方法。本文所提第2種方法和原始直接定位方法由于采用所有觀測(cè)站兩兩配對(duì)方案，利用了L個(gè)觀測(cè)站所有LL-1/2組兩兩配對(duì)，精度明顯優(yōu)于只利用L個(gè)觀測(cè)站中L-1組兩兩配對(duì)的兩步定位方法和本文所提第1種方法；由于估計(jì)的去中心化時(shí)差頻差存在誤差，影響采用式(24)計(jì)算的余下互模糊函數(shù)的精度，使得最終的定位精度沒(méi)有達(dá)到原始直接定位方法的精度，但計(jì)算量和數(shù)據(jù)傳輸量與原始直接定位方法相比得到了極大降低。

下面仿真不同觀測(cè)站配對(duì)方案對(duì)單個(gè)輻射源的定位誤差幾何分布。由于輻射源目標(biāo)在空間中的不同位置引起的定位誤差是不同的，而定位誤差幾何分布描述了不同空間位置定位誤差的分布情況。在仿真中，假定各觀測(cè)站接收機(jī)的信噪比都為0 dB。各觀測(cè)站配對(duì)方案的定位誤差幾何分布分別如圖2所示。

由圖2可以看出，由于各觀測(cè)站位置都相同，因此定位誤差在空間位置中的分布趨勢(shì)相似。與前面RMSE仿真分析結(jié)論相同，去中心化觀測(cè)站配對(duì)方案的定位精度高于中心化觀測(cè)站配對(duì)方案的定位精度，所有觀測(cè)站兩兩配對(duì)的方案在空間中的定位精度最高。

圖2 定位誤差幾何分布 Fig.2 Geometric distribution of location errors

仿真實(shí)驗(yàn)采用大時(shí)寬帶寬的線性調(diào)頻脈沖信號(hào)，時(shí)頻耦合效應(yīng)會(huì)使得互模糊函數(shù)有較高的副峰。當(dāng)信噪比較低時(shí)，時(shí)頻耦合效應(yīng)引起的較高副峰與噪聲形成的峰相加會(huì)出現(xiàn)超過(guò)主峰的情況，使得真實(shí)峰值模糊，無(wú)法得到正確的定位估計(jì)結(jié)果。在本文的仿真參數(shù)下，本文所提方法在信噪比低于-30 dB時(shí)會(huì)出現(xiàn)定位結(jié)果錯(cuò)誤的情況，而原始直接定位方法在信噪比低于-35 dB時(shí)才會(huì)出現(xiàn)定位結(jié)果錯(cuò)誤的情況?？赏ㄟ^(guò)加窗抑制副峰，改善時(shí)頻耦合效應(yīng)對(duì)定位結(jié)果的影響。但加窗抑制副峰是以增大主峰寬度為代價(jià)的，會(huì)降低定位精度性能。

另外，同頻多輻射源問(wèn)題一直以來(lái)都是實(shí)現(xiàn)無(wú)源定位的難題，互模糊函數(shù)會(huì)出現(xiàn)偽峰，無(wú)法得到正確的定位估計(jì)結(jié)果，尤其是當(dāng)同頻多輻射源相距較近或信號(hào)功率相差較大時(shí)。對(duì)同頻輻射源可利用信號(hào)其他域特征的差異將同頻多目標(biāo)的信號(hào)進(jìn)行關(guān)聯(lián)，具體信號(hào)特征包括到達(dá)方向、到達(dá)時(shí)間段、調(diào)制樣式和極化等。

5 結(jié) 論

針對(duì)原始利用時(shí)差頻差的直接定位方法存在數(shù)據(jù)傳輸量和計(jì)算量大的瓶頸，本文提出了兩種去中心化直接定位方法，不同程度地簡(jiǎn)化了構(gòu)造互模糊矩陣的方法，從而降低總的計(jì)算量，并將數(shù)據(jù)傳輸和計(jì)算量分散到各觀測(cè)站之間，而不是集中于主觀測(cè)站。

1) 第1種方法不需計(jì)算全部互模糊矩陣元素，L個(gè)觀測(cè)站只計(jì)算L-1個(gè)互模糊函數(shù)，構(gòu)造僅滿足滿秩條件的互模糊矩陣，采用去中心化配對(duì)方案，只將各觀測(cè)站截獲信號(hào)在站間進(jìn)行一次傳輸，將數(shù)據(jù)傳輸和計(jì)算分散到各觀測(cè)站間并行執(zhí)行，提高了直接定位數(shù)據(jù)傳輸和計(jì)算的效率。

2) 第2種方法在利用信號(hào)計(jì)算L-1個(gè)去中心化互模糊函數(shù)之后，根據(jù)推導(dǎo)的任意互模糊函數(shù)間關(guān)系公式，采用歸約方式去中心化的在各觀測(cè)站并行計(jì)算余下的互模糊函數(shù)，補(bǔ)全互模糊矩陣所有元素，降低了直接定位數(shù)據(jù)傳輸和計(jì)算量。

3) 性能分析和仿真實(shí)驗(yàn)表明本文兩種去中心化直接定位方法精度性能優(yōu)于兩步定位方法；在低信噪比時(shí)兩種方法可得到比較理想的精度性能；在高信噪比時(shí)第2種方法與原始直接定位方法的精度性能相當(dāng)。

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(責(zé)任編輯： 蘇磊)

URL：www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20170109.1550.002.html

DecentralizeddirectpositiondeterminationmethodbasedonTDOAandFDOA

ZHUYingtong*,DONGChunxi,DONGYangyang,XUJin,ZHAOGuoqing

KeyLaboratoryofElectronicInformationCountermeasureandSimulationTechnology,MinistryofEducation,XidianUniversity,Xi’an710071,China

Toovercomethebottleneckofdatatransmissioncapacityandcomputationoftheoriginaldirectpositiondetermination(DPD)methodbasedonTDOAandFDOA,twodecentralizedDPDmethodsareproposed.Thefirstproposedmethodusesthedecentralizedsensorcouplingscheme,inwhichthesignalinterceptedbyeachsensoristransmittedonlyonceanddatatransmissionandcomputationoperationsaredispersedtoeachsensortocomputecrossambiguityfunction(CAF)inparallel,soastoconstructcrossambiguitymatrix(CAM)withmerelyfullrank.BasedonthederivationofaformulafortherelationbetweenarbitraryCAFs,thesecondmethodappliesareductionoperationtocomputetheremainingCAFsateachsensorinparallel,andcomplementsallelementsofCAM.TwodecentralizedDPDmethodsreducetheamountofdatatransmissionandimprovetheefficiencyofcomputation.Performanceanalysisandsimulationresultsshowthattheaccuracyoftheproposedmethodsaresuperiortothatofthetwo-stepmethods.AtlowSNR,bothofthetwoproposedmethodscanachievedesiredaccuracy,andathighSNR,thesecondproposedmethodcanobtaintheaccuracysimilartothatoftheoriginalDPDmethod.

directpositiondetermination;passivelocalization;crossambiguityfunction;decentralized;sensorcoupling;Cramer-Raolowerbound

2016-08-30；Revised2016-11-28；Accepted2016-12-22；Publishedonline2017-01-091550

s：NationalBasicResearchProgramofChina(61**81);NationalHigh-techResearchandDevelopmentProgramofChina(2014AA80**086H);theFundamentalResearchFundsfortheCentralUniversities(JB140203)

.E-mailzhuyt_xd@163.com

2016-08-30；退修日期2016-11-28；錄用日期2016-12-22； < class="emphasis_bold">網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間

時(shí)間：2017-01-091550

www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20170109.1550.002.html

國(guó)家“973”計(jì)劃 (61**81)； 國(guó)家“863”計(jì)劃 (2014AA80**086H)； 中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金 (JB140203)

.E-mailzhuyt_xd@163.com

朱穎童， 董春曦， 董陽(yáng)陽(yáng)， 等． 去中心化時(shí)差頻差直接定位方法J．航空學(xué)報(bào),2017,38(5):320727.ZHUYT,DONGCX,DONGYY,etal.DecentralizeddirectpositiondeterminationmethodbasedonTDOAandFDOAJ.ActaAeronauticaetAstronauticaSinica,2017,38(5):320727.

http://hkxb.buaa.edu.cnhkxb@buaa.edu.cn

10.7527/S1000-6893.2016.320727

V247.5； TN971

A

1000-6893(2017)05-320727-13