張永進(jìn)， 孫有朝， 張燕軍

1.安徽工業(yè)大學(xué) 數(shù)理科學(xué)與工程學(xué)院， 馬鞍山 243002 2.南京航空航天大學(xué) 民航學(xué)院， 南京 211106 3.揚(yáng)州大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 揚(yáng)州 225127

基于聚類狀態(tài)主控邊界點(diǎn)的單調(diào)多態(tài)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)可靠性分析

張永進(jìn)1， 孫有朝2,*， 張燕軍3

1.安徽工業(yè)大學(xué) 數(shù)理科學(xué)與工程學(xué)院， 馬鞍山 243002 2.南京航空航天大學(xué) 民航學(xué)院， 南京 211106 3.揚(yáng)州大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 揚(yáng)州 225127

鑒于組成系統(tǒng)單元的多狀態(tài)單調(diào)關(guān)聯(lián)性特征，將多元離散函數(shù)理論引入描述系統(tǒng)狀態(tài)結(jié)構(gòu)函數(shù)，發(fā)展了控制狀態(tài)等價(jià)類主導(dǎo)狀態(tài)向量的狀態(tài)等價(jià)類主控邊界點(diǎn)的邏輯方法，推導(dǎo)了多態(tài)單調(diào)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)的狀態(tài)結(jié)構(gòu)函數(shù)、可靠性和期望狀態(tài)表達(dá)式；面向顧客的需求偏好，將負(fù)效用函數(shù)嵌入系統(tǒng)平均性能效用模型；鑒于元件狀態(tài)引起的計(jì)算復(fù)雜性，提出了集合運(yùn)算的德摩根律法和新型的框圖式算法，簡(jiǎn)化了系統(tǒng)可靠度的表達(dá)式。結(jié)合某型航空發(fā)動(dòng)機(jī)的簡(jiǎn)化演算，驗(yàn)證了主導(dǎo)等價(jià)類向量方法和框圖算法的合理性與有效性，為工程系統(tǒng)的可靠性設(shè)計(jì)和可靠性管理提供理論依據(jù)。

主控邊界點(diǎn)； 離散函數(shù)； 多狀態(tài)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)； 單調(diào)性； 可靠性

隨著系統(tǒng)設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)越來越復(fù)雜化，組成單元從“完美工作狀態(tài)”到“完全失效狀態(tài)”的演化過程中往往會(huì)經(jīng)歷若干中間狀態(tài)，而系統(tǒng)的狀態(tài)取決于系統(tǒng)內(nèi)部若干個(gè)元件提供的狀態(tài)組合，從而系統(tǒng)表現(xiàn)出多狀態(tài)特征，它是工程機(jī)械系統(tǒng)性能的重要表征，如鍋爐燃燒的燃油量由若干噴油器噴出，汽輪機(jī)所需蒸汽量由若干鍋爐提供等。隨著多態(tài)系統(tǒng)研究的深入，工程上提出系統(tǒng)中任何一個(gè)元件都有其特定的功能，而且一個(gè)部件質(zhì)量的改善不會(huì)降低系統(tǒng)的可靠性[1]，這就使得單調(diào)關(guān)聯(lián)多態(tài)系統(tǒng)(Multi-State Coherent System：MSCS)的可靠性研究具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

最早Barlow[2]和EI-Neweihi[3]等對(duì)多態(tài)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)進(jìn)行了研究，對(duì)多態(tài)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)給出了一系列基本定義，隨后Natring[4]進(jìn)一步完善了多態(tài)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)基本概念。目前，常見關(guān)于多態(tài)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)的可靠性研究方法有多狀態(tài)故障樹[5-6]、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)函數(shù)[7]、多狀態(tài)最小路與割[8-13]、齊次馬爾可夫模型[14-15]、非齊次馬爾可夫模型[16]、隨機(jī)衰退模型[17-18]、通用生成函數(shù)[19]和壽命分布函數(shù)[20]等方法，這些方法中多數(shù)并不考慮面向使用者的系統(tǒng)效能。進(jìn)一步，系統(tǒng)可靠性評(píng)估通常建立在子單元可靠性數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，為此Barlow和Wu[2]將二態(tài)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)的可靠性理論推廣到多態(tài)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)，EI-Neweihi[3]獲得了系統(tǒng)性能與部件性能之間的關(guān)系，分別給出了一個(gè)并聯(lián)系統(tǒng)和一個(gè)串聯(lián)系統(tǒng)中存在的可靠性上下邊界，Kundu[21]和Franko[22]等研究了單調(diào)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)可靠性問題?？紤]部件性能改進(jìn)對(duì)系統(tǒng)性能改進(jìn)的影響，Griffith[23]給出了一個(gè)多態(tài)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)函數(shù)公理化方法，考慮系統(tǒng)效用，得到了系統(tǒng)性能度量方法。基于最小路和最小割原理，Butler[24]提出用模塊分解方法來改進(jìn)多態(tài)系統(tǒng)的可靠性邊界，并研究了可靠性界限。為研究關(guān)聯(lián)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)特性，Block和Savits[25]推導(dǎo)了多態(tài)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)函數(shù)的分解理論，給出了系統(tǒng)元件關(guān)聯(lián)性與重要性基本概念。面向顧客偏好的多態(tài)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)，Hudson與Kapur[26]首次提出了等價(jià)類和邊界點(diǎn)基本概念，分析了系統(tǒng)所處固定狀態(tài)的概率，應(yīng)用容斥原理和不交集對(duì)系統(tǒng)可靠性的狀態(tài)邊界進(jìn)行了改進(jìn)?；陬櫩蛯?duì)系統(tǒng)元件狀態(tài)變化如何影響系統(tǒng)狀態(tài)的陳述，Boedigheimer和Kapur[7]建立了顧客偏好下系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)函數(shù)，給出了系統(tǒng)處于指定狀態(tài)的概率計(jì)算方法。應(yīng)用等價(jià)類和邊界點(diǎn)結(jié)構(gòu)函數(shù)方法，Lisnianski與Levitin[27]對(duì)系統(tǒng)可靠性性能進(jìn)行了分析。鑒于結(jié)構(gòu)函數(shù)描述系統(tǒng)狀態(tài)的有效性，Liu[28]和Magana[29]等進(jìn)一步完善了等價(jià)類結(jié)構(gòu)函數(shù)評(píng)估系統(tǒng)可靠性的方法，建立了多態(tài)單調(diào)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)函數(shù)，應(yīng)用最小路和最小割方法研究了系統(tǒng)可靠性，然而隨著單元數(shù)以及元件狀態(tài)數(shù)的增加，計(jì)算復(fù)雜性也快速增加。

針對(duì)工程中常見的多狀態(tài)單調(diào)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)，本文擬應(yīng)用結(jié)構(gòu)函數(shù)與離散函數(shù)相關(guān)理論，基于Lisnianski[27]、Liu[30]以及Magana[29]等給出的系統(tǒng)狀態(tài)等價(jià)類及邊界點(diǎn)方法，將一般狀態(tài)等價(jià)類推廣到可靠的狀態(tài)聚類，應(yīng)用狀態(tài)等價(jià)聚類的邊界點(diǎn)方法對(duì)多態(tài)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)可靠性進(jìn)行研究，提出基于邏輯代數(shù)的德摩根律方法以及簡(jiǎn)易框圖算法，優(yōu)化計(jì)算復(fù)雜程度。最后給出一個(gè)算例分析，將航空發(fā)動(dòng)機(jī)系統(tǒng)分解成一般性可靠性框圖結(jié)構(gòu)，分析該系統(tǒng)所處的各個(gè)狀態(tài)時(shí)的可靠度，驗(yàn)證所給出的新方法的有效性，為工程實(shí)際的復(fù)雜多態(tài)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)可靠性設(shè)計(jì)提供理論基礎(chǔ)。

1 單調(diào)多態(tài)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)

考慮一個(gè)含有n個(gè)元件的單調(diào)MSCS。設(shè)一個(gè)多態(tài)系統(tǒng)具有M+1個(gè)狀態(tài)，不妨記為狀態(tài)集{0,1,…,M}，設(shè)該系統(tǒng)由n個(gè)元件構(gòu)成，而且這些元件具有多個(gè)狀態(tài)，記為{0,1,…,mi}(i=1,2,…,n)，即元件共有mi+1個(gè)狀態(tài)。若一個(gè)系統(tǒng)具有初始性能狀態(tài)，并非完好狀態(tài)時(shí)，不妨記這些狀態(tài)為{l,l-1,…,l-k+1}?{0,1,…,M}，其中l(wèi)-k+1為系統(tǒng)的最低可用狀態(tài)，l為系統(tǒng)初始狀態(tài)，k為任意狀態(tài)。

由于一個(gè)系統(tǒng)所處狀態(tài)總是由其組成元件的狀態(tài)所確定，不妨記xi為第i個(gè)元件所處狀態(tài)，即xi∈{0,1,…,mi}，于是系統(tǒng)所有元件狀態(tài)構(gòu)成一個(gè)狀態(tài)向量x=[x1,x2,…,xn]，則一定存在一個(gè)系統(tǒng)狀態(tài)s∈{0,1,…,M}及從部件狀態(tài)到系統(tǒng)狀態(tài)的映射φ，滿足

φ(x)=s

φ:[0,1,…,m1]·…·[0,1,…,mn]→

[0,1,…,M]

稱φ為系統(tǒng)狀態(tài)的結(jié)構(gòu)函數(shù)。

x=[x1,x2,…,xn]

ΩCi∈{0,1,…,mi}，ΩS∈{0,1,…,M}

(0,1,…,mn)

為方便構(gòu)建多狀態(tài)單調(diào)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)函數(shù)φ(x)，首先給出狀態(tài)向量序概念。

定義1設(shè)x=[x1,x2,…,xn]，y=[y1,y2,…,yn]是2個(gè)元件的狀態(tài)向量。若單元狀態(tài)向量滿足“xi>yi且至少存在一個(gè)元件i滿足xi>yi(i=1,2,…,n)”，則狀態(tài)向量x優(yōu)于狀態(tài)向量y，記作x?y。

下面給出MSCS的數(shù)學(xué)定義及性質(zhì)[31]。

定義2對(duì)于一個(gè)由n個(gè)元件構(gòu)成的多狀態(tài)系統(tǒng){C,φ}，其中C表示元件，記xi和yi是系統(tǒng)第i個(gè)元件所處的狀態(tài)，則有

① 規(guī)范性(邊界條件)。若系統(tǒng)所有部件失效，則系統(tǒng)處于完全失效狀態(tài)；若系統(tǒng)所有部件處于完美狀態(tài)，則系統(tǒng)處于完美狀態(tài)，即有

φ(0,0,…,0)=0，φ(m1,m2,…,mn)=M

② 可達(dá)性。對(duì)于系統(tǒng)的每一個(gè)狀態(tài)k，至少有一個(gè)部件狀態(tài)向量x=[x1,x2,…,xn]滿足

φ(x)=φ(x1,x2,…,xn)=k∈{0,1,…,M}。

③ 關(guān)聯(lián)性。系統(tǒng)中每個(gè)元件均具有其特定作用，不存在無關(guān)元件，即系統(tǒng)中不存在不關(guān)聯(lián)元件。若標(biāo)記元件狀態(tài)向量

(αi,x)=(x1,x2,…,xi-1,αi,xi+1,…,xn)

(βi,x)=(x1,x2,…,xi-1,βi,xi+1,…,xn)

則關(guān)聯(lián)性應(yīng)用數(shù)學(xué)方法可描述為：若αi≠βi，則φ(αi,x)≠φ(βi,x)。

④ 單調(diào)性。部件性能改進(jìn)不會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)性能惡化，即系統(tǒng)元件的狀態(tài)函數(shù)φ(x)是單調(diào)增的。若2個(gè)部件狀態(tài)向量滿足序x?y，則系統(tǒng)狀態(tài)向量滿足φ(x)>φ(y)；若向量序x≤y，則系統(tǒng)狀態(tài)向量滿足φ(x)≤φ(y)。

通常，滿足上述性質(zhì)的系統(tǒng){C,φ}稱為多狀態(tài)單調(diào)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)函數(shù)φ(x)為單調(diào)關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)函數(shù)。

2 可靠狀態(tài)類與邊界

考察系統(tǒng)所處狀態(tài)的性能水平，需要分析對(duì)應(yīng)系統(tǒng)性能水平下部件的狀態(tài)組合，由于不同的部件狀態(tài)組合可能使得系統(tǒng)性能處于同一個(gè)狀態(tài)水平，從而需要找到同一個(gè)系統(tǒng)水平下各個(gè)不同元件所處狀態(tài)的集合類，即狀態(tài)等價(jià)類。不妨將部件狀態(tài)向量空間劃分為一系列等價(jià)類，每個(gè)等價(jià)類對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)的特定狀態(tài)。

定義3對(duì)于系統(tǒng)的任意狀態(tài)k，稱集合

k∈{0,1,…,M}

為系統(tǒng)狀態(tài)等價(jià)類。

不同顧客對(duì)象對(duì)于系統(tǒng)性能水平的要求不同，多態(tài)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)的可靠性可以理解為系統(tǒng)所處的狀態(tài)不低于系統(tǒng)規(guī)定的性能狀態(tài)。鑒于此，應(yīng)用定義3從面向顧客要求的性能水平角度給出多態(tài)系統(tǒng)的可靠狀態(tài)等價(jià)類定義4。

定義4對(duì)于規(guī)定的系統(tǒng)最低可靠性狀態(tài)k，標(biāo)記系統(tǒng)狀態(tài)不低于k的元件狀態(tài)集合表示為等價(jià)類

k∈{0,1,…,M}

由于給出的等價(jià)類分類中元素隨著組成部件的增加會(huì)快速增加，為方便計(jì)算，下面給出主導(dǎo)每一個(gè)等價(jià)類中的邊界元素定義。

根據(jù)狀態(tài)等價(jià)類定義知，任一個(gè)可靠等價(jià)類可能包含不止一個(gè)狀態(tài)組合，而且可能有些狀態(tài)組合對(duì)系統(tǒng)可靠性評(píng)估計(jì)算時(shí)是冗余的，導(dǎo)致在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)函數(shù)的簡(jiǎn)化過程中會(huì)出現(xiàn)無關(guān)的元件狀態(tài)向量，為此給出控制狀態(tài)類的邊界。

{φ(y)}max=k-1

基于已給出的假設(shè)和定義，多態(tài)單調(diào)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)在水平k時(shí)的可靠性可表示為

根據(jù)定義5給出的主控邊界點(diǎn)定義，表明邊界點(diǎn)的作用是用較少的等價(jià)類元素控制和主導(dǎo)等價(jià)類中其他元素，避免重復(fù)計(jì)算而使得計(jì)算量大大減少。

3 單調(diào)MSCS可靠性

要獲取單調(diào)關(guān)聯(lián)多態(tài)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)函數(shù)，需要將二元邏輯運(yùn)算擴(kuò)展到多元邏輯運(yùn)算，利用離散函數(shù)相關(guān)定義，首先給出邏輯運(yùn)算的析取形式。

3.1 離散函數(shù)析取運(yùn)算式

根據(jù)離散函數(shù)的析取運(yùn)算，對(duì)于任意實(shí)數(shù)u和v，二元邏輯運(yùn)算可以被延伸為下述析取運(yùn)算形式：

u∪v=max(u,v)

為了將邏輯運(yùn)算應(yīng)用于多狀態(tài)變量，需要將二元邏輯運(yùn)算擴(kuò)展到n元邏輯運(yùn)算，下面給出二元變量集合運(yùn)算{u1,u2,…,un}為

對(duì)于一個(gè)二元系統(tǒng)，考慮系統(tǒng)元件只有2個(gè)狀態(tài)，若二元部件“成功”，則xi取值1，否則取值0，從而對(duì)應(yīng)的指示函數(shù)I(xi=1)=xi，否則I(xi=0)=1-xi。于是根據(jù)樞軸量分解式，元件i的結(jié)構(gòu)函數(shù)φ(x)可表示為“析取”范式形式：

φ(x)=xiφ(1i,x)+(1-xi)φ(0i,x)=

I(xi=1)φ(1i,x)+I(xi=0)φ(0i,x)=

(1)

式中：1i和0i表示第i個(gè)元素取值為1和0；若xi=α，則指示變量I(xi=α)=1，否則指示變量I(xi=α)=0。

從而根據(jù)式(1)，多狀態(tài)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)函數(shù)樞軸量分解可以表示為如下“析取”范式形式[26]：

(2)

式中：元件i的最低狀態(tài)為0，最高狀態(tài)為mi。顯然，式(2)給出了單個(gè)元件的結(jié)構(gòu)函數(shù)“析取”形式，于是對(duì)于一個(gè)由n個(gè)子單元構(gòu)成的多態(tài)單調(diào)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)而言，根據(jù)定義5，其結(jié)構(gòu)函數(shù)樞軸分解可以表示為“析取”范式形式[26]：

(3)

顯然式(3)給出了一個(gè)多態(tài)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)函數(shù)表示形式，但隨著狀態(tài)數(shù)目的增加，結(jié)構(gòu)函數(shù)的復(fù)雜程度會(huì)快速增加。

3.2 邊界點(diǎn)結(jié)構(gòu)函數(shù)

從式(3)知，若要計(jì)算一個(gè)單調(diào)關(guān)聯(lián)多態(tài)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)函數(shù)，需要計(jì)算所有可能組合表達(dá)式，這是極其繁瑣的，需要尋找新方法優(yōu)化結(jié)構(gòu)函數(shù)，為此將最小路集基本概念推廣到MSCS，給出MSCS的最小路結(jié)構(gòu)函數(shù)表示形式。

一個(gè)最小路集是一個(gè)確保系統(tǒng)正常工作的最少部件集合。一個(gè)系統(tǒng)通常有多個(gè)最小路集，不妨標(biāo)記Pj是該系統(tǒng)的第j個(gè)最小路，j=1,2,…,p，p為系統(tǒng)的最小路集數(shù)，則一個(gè)二元關(guān)聯(lián)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)函數(shù)可表示為

j=1,2,…,p

記最小路集中所有的部件正常取值1，否則取值為0。由于一個(gè)系統(tǒng)正常運(yùn)行的充要條件是至少有一個(gè)最小路中所有部件正常運(yùn)行，從而該系統(tǒng)的二元結(jié)構(gòu)函數(shù)可表示為

(4)

(5)

若將各個(gè)下邊界點(diǎn)的結(jié)構(gòu)函數(shù)式(5)代入系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)函數(shù)式(4)，可以得到MSCS的結(jié)構(gòu)函數(shù)形式為

(6)

式(6)為使用邊界點(diǎn)的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)函數(shù)，通過使用第i個(gè)子單元狀態(tài)與邊界點(diǎn)中第i個(gè)元素進(jìn)行邏輯比較，獲取指示函數(shù)值。

為便于邏輯代數(shù)運(yùn)算，可利用德摩根律，將式(6)重新表示和描述。首先不妨引入記號(hào)：

(x1x2…xn)

則式(6)可表示為

為求MSCS的可靠性，Lisnianski[27]和Liu[30]等給出了系統(tǒng)狀態(tài)等價(jià)類的邊界問題，以下簡(jiǎn)記為L(zhǎng)-L方法,該方法的結(jié)構(gòu)函數(shù)形式為

(7)

3.3 MSCS可靠度計(jì)算

對(duì)于一個(gè)MSCS，其可靠性可定義為在指定的時(shí)間和環(huán)境條件下，系統(tǒng)在一個(gè)指定或更高狀態(tài)下執(zhí)行任務(wù)的概率，從而MSCS以狀態(tài)k或更高狀態(tài)執(zhí)行任務(wù)的可靠性可表示為

Rk=Pr{φ(x)≥k}=

X2=s2,…,Xn=sn}·

Pr(X1=s1,X2=s2,…,Xn=sn)=

Pr(X1=s1,X2=s2，…,Xn=sn)=

E{I[φ(x)≥k]}

(8)

式中：k=0,1,…,M，si∈{0,1,…,mi}，指示變量

若部件壽命具有統(tǒng)計(jì)獨(dú)立性，則有

(9)

由式(8)可以觀察到，計(jì)算Rk需要計(jì)算所有向量下的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)函數(shù)，隨著系統(tǒng)狀態(tài)的增加復(fù)雜程度快速增加。若應(yīng)用式的最小析取范式，MSCS的可靠性計(jì)算會(huì)有所簡(jiǎn)化。

若給出運(yùn)算標(biāo)記

則上述可靠度計(jì)算式可重新分別簡(jiǎn)記為

(10)

顯然，在式(10)的運(yùn)算過程中，需要用到2個(gè)指示函數(shù)乘積問題。為計(jì)算Rk，首先給出其運(yùn)算規(guī)律：

I(xi≥u)·I(xi≥v)=I(xi≥max(u,v))

(11)

式中：u和v是實(shí)數(shù)?；谝?guī)則式(11)，指示函數(shù)連乘的期望運(yùn)算為

(12)

式中：pi,si為第i個(gè)元件處于狀態(tài)si的概率。將式(11)、式(12)代入式(10)，系統(tǒng)處于不低于狀態(tài)k下運(yùn)行的可靠性Rk可通過式(13)進(jìn)行計(jì)算：

(13)

而應(yīng)用L-L方法，基于邊界點(diǎn)計(jì)算系統(tǒng)處于狀態(tài)k運(yùn)行的可靠性表達(dá)式為

(14)

3.4 系統(tǒng)性能效用

對(duì)于系統(tǒng)設(shè)計(jì)者和使用者而言，多態(tài)系統(tǒng)處于某一個(gè)狀態(tài)時(shí)的概率具有重要指導(dǎo)意義。根據(jù)式(13)和式(14)，系統(tǒng)處于某個(gè)固定狀態(tài)k時(shí)的可靠性可表示為

Pr{φ(x)=k}=Rk-Rk+1

(15)

進(jìn)一步，根據(jù)系統(tǒng)所處每一個(gè)狀態(tài)的概率，系統(tǒng)所處平均狀態(tài)可表示為

(16)

事實(shí)上，系統(tǒng)開始進(jìn)入使用或貯存時(shí)的可靠性可表示為R0=Pr{φ(x)=M}=RM，從而若此多狀態(tài)系統(tǒng)處于狀態(tài)k時(shí)的可靠度包含有初始可靠性，那么系統(tǒng)僅僅因?yàn)楸敬问褂没蛸A存而產(chǎn)生的可靠度可表示為

工程上，一個(gè)負(fù)效用函數(shù)可以衡量顧客偏好下的效用損失，經(jīng)濟(jì)損失與系統(tǒng)完美性能和當(dāng)前狀態(tài)差量密切相關(guān)，即若一個(gè)系統(tǒng)在最佳狀態(tài)時(shí)，則顧客的負(fù)效用度達(dá)到最低。通常應(yīng)用一個(gè)指數(shù)負(fù)效用函數(shù)去度量這種關(guān)系[29]：

DU[Δ(x)]=ρ[eβ(M-φ(x))-1]

式中：ρ、β為系統(tǒng)退化參數(shù)。當(dāng)系統(tǒng)處于完美工作狀態(tài)時(shí)，負(fù)效用值等于0；當(dāng)系統(tǒng)完全失效時(shí)，系統(tǒng)負(fù)效用值為ρ[exp(βM)-1]。應(yīng)用該函數(shù)可以計(jì)算出該系統(tǒng)的期望負(fù)效用值，具體為

Pr{M-φ(x)=k}=ρ·

(17)

事實(shí)上，式(17)的負(fù)效用能夠刻畫顧客角度的不滿意程度，對(duì)于復(fù)雜系統(tǒng)可靠性設(shè)計(jì)具有一定的指導(dǎo)意義。

4 算例分析

下面給出一個(gè)某型號(hào)航空發(fā)動(dòng)機(jī)系統(tǒng)的算例分析，考慮該整機(jī)系統(tǒng)有多個(gè)狀態(tài)，其子系統(tǒng)也具有多個(gè)狀態(tài)，應(yīng)用本文提出的方法計(jì)算系統(tǒng)的可靠性。某型號(hào)雙轉(zhuǎn)子航空發(fā)動(dòng)機(jī)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示。

根據(jù)圖1(d)中可靠性框圖，假設(shè)各個(gè)單元狀態(tài)列于表1～表4,x1、x2、x3和x4分別為系統(tǒng)各單元所處狀態(tài)，根據(jù)這些子單元狀態(tài)，驗(yàn)證所提出方法和原始方法的算法比較。

在航空發(fā)動(dòng)機(jī)系統(tǒng)中，表征壓氣機(jī)性能好壞的主要參數(shù)有[32]：空氣流量、增壓比、效率和喘振裕度。由于增壓比為壓氣機(jī)出口氣流壓強(qiáng)與其進(jìn)口氣流的壓強(qiáng)之比，總增壓比的高低，在設(shè)計(jì)時(shí)根據(jù)特定型號(hào)發(fā)動(dòng)機(jī)的需要來確定，它是影響渦輪噴氣發(fā)動(dòng)機(jī)工作性能的一個(gè)重要的循環(huán)參數(shù)，對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)的單位推力和耗油率有較大的影響。工程上，總增壓比越高，發(fā)動(dòng)機(jī)性能就越好(推重比大、耗油率低)。考慮某先進(jìn)軍用渦輪噴氣發(fā)動(dòng)機(jī)的總增壓比為8～12，給出狀態(tài)分類如表1所示。

由于發(fā)動(dòng)機(jī)的燃燒室的功能是把燃料的化學(xué)能給釋放出來，轉(zhuǎn)換為熱能，使氣體的總焓增大，提高燃?xì)獾呐蛎涀龉δ芰?，其狀態(tài)好壞，直接影響發(fā)動(dòng)機(jī)的工作性能。而燃燒室主要由主燃燒室和加力燃燒室構(gòu)成，主燃燒室位于壓氣機(jī)和渦輪之間，而加力燃燒室位于渦輪后噴管前，是為較短時(shí)間內(nèi)增大發(fā)動(dòng)機(jī)推力而設(shè)置的[32]。下面就燃燒室工作原理，將這一部分分成2個(gè)子單元(主燃燒單元B1，加力燃燒單元B2，如圖1(b)和圖1(d))所示，根據(jù)點(diǎn)火可靠、燃燒穩(wěn)定與燃燒完全等劃分為3個(gè)狀態(tài)，具體數(shù)據(jù)見表2和表3。

圖1 雙轉(zhuǎn)子航空發(fā)動(dòng)機(jī)系統(tǒng)Fig.1 Twin-rotor aero engine system

渦輪的主要目的是將氣流的能量轉(zhuǎn)換為機(jī)械能，高溫高壓燃?xì)庠跍u輪內(nèi)膨脹，向外輸出功帶動(dòng)壓氣機(jī)，氣流流過時(shí)產(chǎn)生作用力，對(duì)轉(zhuǎn)子葉片作功使其轉(zhuǎn)動(dòng)，而將氣流的能量轉(zhuǎn)換成機(jī)械能輸出[32]。由于渦輪轉(zhuǎn)子葉片是在高溫燃?xì)獍鼑鹿ぷ?，不僅承受自身氣動(dòng)力、離心力、熱應(yīng)力和振動(dòng)應(yīng)力等作用，而且要抵制高溫燃?xì)獾臎_刷、氧化與腐蝕作用，從而產(chǎn)生磨損、腐蝕和高溫氧化等表面失效，以及蠕變、高低周疲勞斷裂等整體失效模式，于是渦輪轉(zhuǎn)子葉片的工作狀況對(duì)航空發(fā)動(dòng)機(jī)的運(yùn)行性能與可靠性起著決定性作用。根據(jù)這些失效模式和機(jī)理，考慮渦輪轉(zhuǎn)子具有4個(gè)不同狀態(tài)。

表1 壓氣機(jī)單元A狀態(tài)概率Table 1 State probability of compressor A

表2 主燃燒單元B1狀態(tài)概率Table 2 State probability of main combustor B1

表3 加力燃燒單元B2狀態(tài)概率Table 3 State probability of afterburner B2

表4 渦輪單元C狀態(tài)概率Table 4 State probability of turbine C

根據(jù)航空發(fā)動(dòng)機(jī)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)(如圖1(a)所示)以及工作原理(圖1(b)所示)，整個(gè)發(fā)動(dòng)機(jī)系統(tǒng)的性能狀態(tài)輸出，考慮由圖1(d)中框圖結(jié)構(gòu)形式輸出。考慮整個(gè)航空發(fā)動(dòng)機(jī)推動(dòng)力輸出符合下列公式

S=φ(a,b1,b2,c)=min{a,b1+b2,c}

(18)

式中：S為系統(tǒng)推動(dòng)力輸出量；a為壓氣機(jī)單元功能貢獻(xiàn)量；b1為主燃燒室單元B1功能貢獻(xiàn)量；b2為加力燃燒室單元B2功能貢獻(xiàn)量；c為渦輪轉(zhuǎn)子單元功能貢獻(xiàn)量。貢獻(xiàn)量為整體推力貢獻(xiàn)的單位分量，主要是用來方便確定系統(tǒng)狀態(tài)。

4.1 狀態(tài)類與邊界點(diǎn)

根據(jù)發(fā)動(dòng)機(jī)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)狀態(tài)情況的定量描述，以及式(18)、圖1(d)和表1～表4相關(guān)數(shù)據(jù)。為方便，用(x1x2x3x4)表示系統(tǒng)狀態(tài)輸出，則系統(tǒng)狀態(tài)等價(jià)類的計(jì)算結(jié)果展示于表5。

表5 系統(tǒng)輸出的狀態(tài)等價(jià)類Table 5 State equivalence Ω of system output

進(jìn)一步，不妨將上述9個(gè)等價(jià)類按照貢獻(xiàn)量輸出情況進(jìn)行適當(dāng)合并，簡(jiǎn)化為5個(gè)等價(jià)類。依據(jù)等價(jià)類定義3，表5中給出了細(xì)分9個(gè)等價(jià)類時(shí)的邊界點(diǎn)，顯然從表5可以看出等價(jià)類中邊界點(diǎn)個(gè)數(shù)要比等價(jià)類所有等價(jià)元素個(gè)數(shù)少很多，這也說明了邊界點(diǎn)方法可以減少計(jì)算量。根據(jù)定義4、定義5，以及表5中數(shù)據(jù)，下面給出上等價(jià)類如表6 所示。

根據(jù)定義5以及表5、表6中相關(guān)數(shù)據(jù)，下面給出狀態(tài)類下邊界點(diǎn)以及上狀態(tài)類的下邊界點(diǎn)相關(guān)數(shù)據(jù)，如表7所示。

表6 系統(tǒng)輸出的上等價(jià)類Table 6 Upper equivalence Ω of system output

表7 系統(tǒng)輸出的下邊界點(diǎn)Table 7 Lower boundary points of system output

根據(jù)以上計(jì)算得到的邊界點(diǎn)數(shù)據(jù)，應(yīng)用文中給出的分析方法計(jì)算多態(tài)系統(tǒng)的可靠度。

4.2 MSCS的結(jié)構(gòu)函數(shù)運(yùn)算

應(yīng)用析取式(6)中的結(jié)構(gòu)函數(shù)計(jì)算方法，下面給出基于表7中邊界點(diǎn)數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)函數(shù)表達(dá)式。

基于表7中邊界點(diǎn)及式(6)，給出主控邊界下結(jié)構(gòu)函數(shù)的框圖形式如圖2所示。

為便于應(yīng)用，圖2可表示為

(19)

若應(yīng)用表7中狀態(tài)類邊界點(diǎn)，以及式(7)中的L-L方法，則析取形式的結(jié)構(gòu)函數(shù)應(yīng)為

圖2 新方法框圖形式Fig.2 Diagram form of new approach

(20)

為驗(yàn)證結(jié)構(gòu)函數(shù)的有效性，下面給出單元狀態(tài)向量[2,2,0,3]時(shí)系統(tǒng)所處狀態(tài)計(jì)算。根據(jù)式(19)和式(20)有

事實(shí)上，根據(jù)表5中狀態(tài)等價(jià)類的劃分，單元狀態(tài)向量[2,2,0,3]對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)狀態(tài)為3。這表明基于狀態(tài)等價(jià)類的主控邊界點(diǎn)能夠完全控制所有其他狀態(tài)向量。

4.3 MSCS的可靠性計(jì)算

為演示新方法的有效性，考慮新框圖算法和L-L方法，應(yīng)用邊界點(diǎn)和表7中相關(guān)數(shù)據(jù)，計(jì)算各狀態(tài)下可靠度。下面僅給出狀態(tài)1的可靠度計(jì)算過程，其他計(jì)算結(jié)果參見表8。

基于表7中上等價(jià)類的下邊界點(diǎn)數(shù)據(jù)，應(yīng)用圖2的框圖結(jié)構(gòu)算法以及式(13)，系統(tǒng)處于狀態(tài)1的可靠度應(yīng)為

表8 系統(tǒng)可靠度計(jì)算結(jié)果Table 8 Results of system reliability

E[(1101)]+E[(1011)]-E[(1111)]=

(p1,1+p1,2)(p2,1+p2,2)·1·

(p4,1+p4,2+p4,3)+(p1,1+p1,2)·1·

(p3,1+p3,2)(p4,1+p4,2+p4,3)-

(p1,1+p1,2)(p2,1+p2,2)(p3,1+p3,2)·

(p4,1+p4,2+p4,3)=(0.04+0.94)·

(0.11+0.88)(0.06+0.13+0.80)+

(0.04+0.94)(0.08+0.91)·

(0.06+0.13+0.80)-(0.04+0.94)·

(0.11+0.88)(0.08+0.91)·

(0.06+0.13+0.80)=0.970 102 98

若應(yīng)用表7中一般等價(jià)類的邊界點(diǎn)數(shù)據(jù)及式(14)，L-L方法析取形式下系統(tǒng)處于狀態(tài)1的可靠度應(yīng)為

1-E{[1-(1101)][1-(1011)]·

[1-(1012)][1-(1202)]·

[1-(2202)][1-(2112)]·

[1-(2022)][1-(2212)]·

[1-(2123)][1-(2213)]}=

E[(1101)]+E[(1011)]-

E[(1111)]=0.970 102 98

顯然析取形式下，應(yīng)用L-L方法的計(jì)算工作量較大，而本文提出的方法較為簡(jiǎn)潔，減少計(jì)算復(fù)雜度。為便于分析比較，將上述計(jì)算結(jié)果列于表8。

從表8中數(shù)據(jù)知，提出的新方法與L-L方法計(jì)算結(jié)果均為一致。上述計(jì)算結(jié)果也表明，若整個(gè)發(fā)動(dòng)機(jī)系統(tǒng)處于狀態(tài) 4，即次完美狀態(tài)，則壓氣機(jī)的工作狀態(tài)必為完美狀態(tài)，而渦輪至少處于低度磨損與腐蝕、輕度高溫氧化狀態(tài)，而主力和助力燃燒室至少一個(gè)子單元處于完美狀態(tài)。

根據(jù)表8中計(jì)算結(jié)果，系統(tǒng)處于某個(gè)特定狀態(tài)k的概率應(yīng)為

Pr{φ(x)=0}=R0-R1=1-0.970 1=0.029 9

Pr{φ(x)=1}=R1-R2=0.970 1-0.910 3=

0.059 8

Pr{φ(x)=2}=R2-R3=0.910 3-0.872 5=

0.037 8

Pr{φ(x)=3}=R3-R4=0.872 5-0.857 1=

0.015 4

Pr{φ(x)=4}=R4-R5=0.857 1-0.730 4=

0.126 7

Pr{φ(x)=5}=R5=0.730 4

從而系統(tǒng)狀態(tài)的期望性能水平為

即系統(tǒng)可靠性性能平均狀態(tài)水平為4.340 3。

進(jìn)一步，根據(jù)式(17)，不妨取c=100,β=0.5，基于顧客角度，該航空發(fā)動(dòng)機(jī)系統(tǒng)的負(fù)效用水平應(yīng)為

Pr{φ(x)=5-k}}=95.68

系統(tǒng)完全失效時(shí)的最大負(fù)效用為200.593 9，表明系統(tǒng)性能需要改進(jìn)。

5 結(jié) 論

1) 鑒于工程復(fù)雜系統(tǒng)處于多個(gè)狀態(tài)運(yùn)行的現(xiàn)實(shí)問題，將多元離散函數(shù)理論引入結(jié)構(gòu)函數(shù)描述系統(tǒng)狀態(tài)，給出了單調(diào)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)概念，狀態(tài)等價(jià)類，控制等價(jià)類的主導(dǎo)向量等相關(guān)定義與邏輯方法。

2) 基于離散函數(shù)理論的析取與合取運(yùn)算的代數(shù)規(guī)則，將二元邏輯運(yùn)算推廣到多元邏輯運(yùn)算，給出了多狀態(tài)系統(tǒng)的析取與合取范式，推導(dǎo)了系統(tǒng)多狀態(tài)邊界點(diǎn)的結(jié)構(gòu)函數(shù)。為便于運(yùn)算，提出了集合運(yùn)算的德摩根律方法，簡(jiǎn)化了邊界點(diǎn)下系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)函數(shù)和可靠度表達(dá)式。為評(píng)估整個(gè)系統(tǒng)所處的平均性能，給出了系統(tǒng)的期望狀態(tài)計(jì)算式，考慮系統(tǒng)面向顧客的偏好與需求，建立了基于負(fù)效用函數(shù)的性能效用模型。

3) 為驗(yàn)證模型的有效性與合理性，將一個(gè)某型航空發(fā)動(dòng)機(jī)系統(tǒng)進(jìn)行框圖分解，基于各個(gè)子單元對(duì)系統(tǒng)的貢獻(xiàn)度，給出了系統(tǒng)等價(jià)類，獲取了系統(tǒng)狀態(tài)相關(guān)的上下邊界點(diǎn)數(shù)據(jù)。為便于運(yùn)算，算例中構(gòu)建了新型的框圖式算法，給出了析取與合取形式下的結(jié)構(gòu)函數(shù)表示，大大減少了計(jì)算復(fù)雜度，增加了問題描述的清晰度。通過新框圖算法和德摩根律方法，降低了可靠度的計(jì)算復(fù)雜程度。

4) 通過算例分析，基于本文提出的狀態(tài)等價(jià)類的主控邊界點(diǎn)數(shù)據(jù)，以L-L方法作為比較對(duì)象，提出的方法能夠?qū)ふ业酵耆刂频葍r(jià)類中其它向量，而且計(jì)算量簡(jiǎn)潔許多，并不需要計(jì)算所有滿足≥0狀態(tài)的所有邊界點(diǎn)，只需要計(jì)算控制其他邊界點(diǎn)的狀態(tài)等價(jià)類中主控邊界點(diǎn)即可，大大減少計(jì)算復(fù)雜度。

5) 本文給出的狀態(tài)等價(jià)類的主控邊界點(diǎn)方法，推廣了L-L方法，通過實(shí)例驗(yàn)證了提出方法的有效性與合理性。然而隨著單元數(shù)和子單元狀態(tài)數(shù)的增加，復(fù)雜度也快速增加，可以進(jìn)一步考慮使用計(jì)算機(jī)，給出系統(tǒng)狀態(tài)和可靠度的計(jì)算程序以便于應(yīng)用。

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(責(zé)任編輯： 張晗)

*Correspondingauthor.E-mail:sunyc@nuaa.edu.cn

Reliabilityanalysisformulti-statecoherentsystemwithmonotoniccomponentsbasedonpivotalboundarypointsofclusteringstates

ZHANGYongjin1，SUNYouchao2,*，ZHANGYanjun3

1.SchoolofMathematicsandPhysics,AnhuiUniversityofTechnology,Maanshan243002,China2.CollegeofCivilAviation,NanjingUniversityofAeronauticsandAstronautics,Nanjing211106,China3.CollegeofMechanicalEngineering,YangzhouUniversity,Yangzhou225127,China

Consideringthemonotoneandcoherenceofthemulti-statesystem,themultiplediscretefunctiontheoryisintroducedtodescribethestructurefunctionofsystemstate.Thelogicapproachesfortheequivalenceclassofthecomponentstatewhichcontrolthestatevectorofsystemareproposed,andtheexpressionsforthestatestructurefunction,reliabilityandexpectedstatesarederivedforthemulti-statecoherentsystem.Toavoidthecomplexityofcomputationcausedbythenumberofthestate,theDemogenlawandthenewblockdiagramalgorithmaredevelopedtosimplifytheexpressionforthesystemreliability.Anillustrativeexampleofacertaintypeofaeroengineverifiestheeffectivenessofthelogicvectormeasurecontrollingthestateequivalenceclassandtheblockdiagramalgorithm.Itprovidestheoreticalbasisforreliabilitydesignandreliabilitymanagementofsystemengineering.

pivotalboundarypoint;discretefunction;multi-statecoherentsystem;monotonicity;reliability

2016-10-19;Revised2017-02-26;Accepted2017-04-05;Publishedonline2017-04-191331

URL：www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20170419.1331.008.html

s：NationalNaturalScienceFoundationofChina(U1333119,60979019,60572171,51605424,71601002);CAACScienceandTechnologyProject(MHRD201123,MHRD200908,MHRD0722);NaturalScienceFoundationofJiangsuProvince(BK20150455).

2016-10-19；退修日期2017-02-26；錄用日期2017-04-05； < class="emphasis_bold">網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間

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國(guó)家自然科學(xué)基金 (U1333119,60979019,60572171,51605424,71601002)； 中國(guó)民航局科技基金 (MHRD201123,MHRD200908,MHRD0722)； 江蘇省自然科學(xué)基金 (BK20150455)

.E-mailsunyc@nuaa.edu.cn

張永進(jìn)， 孫有朝， 張燕軍． 基于聚類狀態(tài)主控邊界點(diǎn)的單調(diào)多態(tài)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)可靠性分析J． 航空學(xué)報(bào),2017,38(8):220868.ZHANGYJ,SUNYC,ZHANGYJ.Reliabilityanalysisformulti-statecoherentsystemwithmonotoniccomponentsbasedonpivotalboundarypointsofclusteringstatesJ.ActaAeronauticaetAstronauticaSinica,2017,38(8):220868.

http://hkxb.buaa.edu.cnhkxb@buaa.edu.cn

10.7527/S1000-6893.2017.220868

V231; TB114.3； TH112

A

1000-6893(2017)08-220868-12