張啟南

北京航空航天大學(xué) 航空科學(xué)與工程學(xué)院， 北京 100083

概念探討

關(guān)于熱力學(xué)空間概念的探討

張啟南*

北京航空航天大學(xué) 航空科學(xué)與工程學(xué)院， 北京 100083

在氣體力學(xué)研究中，不可避免地將引用熱力學(xué)的基本定律，過(guò)去在不少工科著者所用的論述中常將傳熱量Q和氣體所做的功W的微增量寫(xiě)為dQ和dW。但從嚴(yán)格的數(shù)學(xué)理論而言，這是不正確的表達(dá)式。筆者在參與《航空空氣動(dòng)力手冊(cè)》的編審中曾經(jīng)提出過(guò)此問(wèn)題，在手冊(cè)的再版時(shí)已經(jīng)改正為δQ和δW。但此后一些氣體力學(xué)的著作未能引起注意，仍然習(xí)慣地寫(xiě)成dQ和dW。為此，在本文中作一個(gè)嚴(yán)格的證明，并提出了熱力學(xué)空間的概念，以澄清以往的混淆。

熱力學(xué)空間； 幾何空間； 狀況參數(shù)； 積分型全微分條件； 微分型全微分條件

1 全微分存在的條件

數(shù)學(xué)中專(zhuān)門(mén)研究全微分的理論說(shuō)明：

若P、Q、R為x、y、z3個(gè)自變量在單連通域中的連續(xù)函數(shù)，而且都存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)。和式Pdx+Qdy+Rdz是某函數(shù)F(x，y，z)的全微分的必要充分條件為

1) 積分型條件

∮Pdx+Qdy+Rdz=0

(1)

2) 微分型條件

(2)

注意此兩條件是等價(jià)的，即只有滿足此條件，全微分式dF=Pdx+Qdy+Rdz才成立。

2 熱力學(xué)第一定律

氣體的物理性質(zhì)由p、v、T3個(gè)狀況參數(shù)唯一確定。其中：p為壓強(qiáng)，v為比容，T為絕對(duì)溫度。氣體微分體的能量守恒定律為

δQ=dE(T)+pdv

(3)

此即熱力學(xué)第一定律。式中：E為氣體的內(nèi)能，是T的單自變量函數(shù)。因此

dE(T)=cdT

(4)

式中：c為氣體的定容比熱。

氣體所作的功就是pdv，可表示為δW。注意Q和W前面的符號(hào)暫時(shí)寫(xiě)為δ。

將式(3)寫(xiě)為

δQ=cdT+0dp+pdv

(5)

與和式Pdx+Qdy+Rdz對(duì)比可見(jiàn)

代入微分型的全微分條件：

可見(jiàn)

(6)

顯然不滿足全微分的條件。因此δQ不是全微分，不能寫(xiě)成dQ。

類(lèi)似地將氣體作的功表達(dá)為

δW=pdv=0+0dp+pdv

(7)

也可以證明δW不是全微分，不能寫(xiě)成dW。很明顯Q和W不是代表氣體狀況的變量，而是氣體運(yùn)動(dòng)和變化過(guò)程中出現(xiàn)的物理量。

3 焓和熵的概念

對(duì)于完全氣體(Perfect Gas)，它服從克拉貝隆方程

pv=kT

(8)

式中：k為氣體常數(shù)，選用的是氣體動(dòng)力學(xué)中最常用的形式。

將熱力學(xué)第一定律δQ=cdT+pdv兩邊均除以T，可得

cd(lnT)+kd(lnv)

(9)

(10)

式中：S為熵。

再看

δQ+vdp=cdT+pdv+vdp=cdT+d(pv)

(11)

顯然，這是全微分，可定義為

dH=cdT+d(pv)

(12)

式中：H為焓。熵S及焓H表達(dá)的是氣體的物理性質(zhì)，和p、v、T一樣，是氣體的狀況參數(shù)。

焓的物理意義是氣體的內(nèi)能與壓力勢(shì)能之和，熵的物理意義在熱力學(xué)第二定律中說(shuō)明。

4 熱力學(xué)第二定律

因?yàn)槲Ⅲw1失去的熱量δQ就是微體2得到的同樣熱量，得到的熱量為正，失去的熱量則為負(fù),因此dS>0。若考慮全閉合系統(tǒng)則∑dS>0。因此有限空間的閉合系統(tǒng)中，熱傳輸過(guò)程的熵總是增加的。

狀況參數(shù)的增量由全微分d表達(dá);非狀況參數(shù)的增量則用δ表達(dá)，以示區(qū)別。這種數(shù)學(xué)表達(dá)方式與物理意義的對(duì)應(yīng)是數(shù)學(xué)物理結(jié)合的完美范例。

5 結(jié) 論

以上從全微分存在的微分條件出發(fā)，證明了dH、dS為全微分；δQ、δW為非全微分?？梢?jiàn)當(dāng)氣體的微體經(jīng)過(guò)某物理變化的閉合循環(huán)時(shí)，

(13)

即焓與熵回到原值，與積分過(guò)程無(wú)關(guān),與物理變化過(guò)程無(wú)關(guān)。而

(14)

即氣體微體經(jīng)過(guò)閉合循環(huán)過(guò)程，將會(huì)吸熱和放熱，將會(huì)對(duì)外做功或外面對(duì)它做功。熱和功之增減量依賴于物理變化過(guò)程。

至此可以提出一個(gè)更為綜合的概念：將氣體的熱力學(xué)狀況參數(shù)p、v、T定義為“熱力學(xué)空間”。實(shí)際上數(shù)學(xué)理論中的空間概念已經(jīng)超越了幾何空間的概念，有的作者常常不自覺(jué)地將“空間”之概念約束在幾何范圍中。其實(shí)自變量x、y、z不一定是幾何量，可以是任何的物理量，例如在相對(duì)論中所用的自變量是x、y、z、t(四維)即“時(shí)空空間”的概念。相應(yīng)的在氣體力學(xué)中p、v、T作為自變量來(lái)描述熱力學(xué)的物理量及定律，這就是“熱力學(xué)空間”的概念。

總之幾何空間的概念是3個(gè)自變量x、y、z唯一地描述了一點(diǎn)在三維空間的幾何位置。熱力學(xué)空間的概念是3個(gè)自變量p、v、T唯一地描述了氣體微分體的熱力學(xué)性質(zhì)(狀況參數(shù))。這樣的綜合與推廣非常自然，完全符合辯證唯物論的認(rèn)識(shí)規(guī)律。

6 后 記

筆者于1990年在北京航空航天大學(xué)出版社出版了《工程物理中的張量場(chǎng)論》一書(shū)，討論的“場(chǎng)”即是物理量在幾何空間中的分布和變化，這和本文中的“空間”概念是完全相通的。因此若能將兩者融合起來(lái)，更能反應(yīng)大自然的客觀規(guī)律?，F(xiàn)在已經(jīng)到了各基本學(xué)科綜合起來(lái)發(fā)展的時(shí)代，這是值得一提的。

(責(zé)任編輯： 蔡斐)

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*Correspondingauthor.E-mail:qal@buaa.edu.cn

Ontheconceptofthermodynamicspace

ZHANGQi’nan*

SchoolofAeronauticalScienceandEngineering,BeihangUniversity,Beijing100083,China

Inthestudyofpneumatics,itisinevitabletorefertothebasiclawsofthermodynamics.Inthepast,anumberofengineeringauthorsoftenwroteheatQandthemicro-incrementsoftheworkdonebythegasWasdQanddW,whichare,however,notcorrectexpressionsasfarasastrictmathematicaltheoryisconcerned.WhenparticipatingintheeditingoftheAviationAirForceManual,theauthorraisedthisissue.Inthesecondeditionofthemanual,dQanddWwerecorrectedtoδWandδQ.Butsomepneumaticworksstillfailtopayattentiontotheproblem,andarestillusedtousingdQanddW.Inthisarticle,arigorousproofisconductedandtheconceptofthethermodynamicspaceisproposedtoclarifytheconfusioninthepast.

thermodynamicspace;geometricspace;statusparameter;integral-totaldifferentialcondition;differential-totaldifferentialcondition

2016-10-18；Revised2017-04-26；Accepted2017-05-05；Publishedonline2017-05-121549

2016-10-18；退修日期2017-04-26；錄用日期2017-05-05； < class="emphasis_bold">網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間

時(shí)間：2017-05-121549

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.E-mailqal@buaa.edu.cn

張啟南. 關(guān)于熱力學(xué)空間概念的探討J. 航空學(xué)報(bào)，2017，38(8)：721356.ZHANGQN.OntheconceptofthermodynamicspaceJ.ActaAeronauticaetAstronauticaSinica,2017,38(8):721356.

http://hkxb.buaa.edu.cnhkxb@buaa.edu.cn

10.7527/S1000-6893.2016.721356

V211

A

1000-6893(2017)08-721356-03