柳艷秋

[摘 要] 例題在數(shù)學教學中起著銜接數(shù)學知識與學生的作用，是學生內(nèi)化數(shù)學知識的基礎平臺. 例題的設計需要本著“輕負”的思想，以讓不同學生在自己的“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)有所收獲；例題的改編需要堅持以學生的思維為主線，讓學生的思維驅(qū)動例題形式的變化. 無論是設計還是改編，對“輕負”與“高質(zhì)”的追求，都是建立在數(shù)學知識、學生與考試關(guān)系平衡的基礎之上的.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學；例題設計；輕負；高質(zhì)

數(shù)學教學中，例題發(fā)揮的作用堪稱巨大，其上承數(shù)學新學知識，下啟數(shù)學知識運用能力的培養(yǎng). 傳統(tǒng)高中數(shù)學教學中，數(shù)學例題更多來自于教材或高考原卷，這樣選擇例題的最大好處是指向性強、科學性強，既可以有效深化所學知識，同時又不至于出現(xiàn)各種各樣的問題. 近年來，隨著高考評價的靈活性不斷增強以及考試試題的情境不斷豐富，“拿來主義”已經(jīng)適應不了新的評價要求，于是高中數(shù)學教師就面臨著例題設計與改編的挑戰(zhàn). 盡管從邏輯上來說，例題設計與改編應當是教師的分內(nèi)之事，但考慮到知識的覆蓋面與對學生的導向性，試題的編與改還是要高度重視的. 考慮到教學的效益，筆者在例題設計與改編中提出“輕負”與“高質(zhì)”的思路，形成了一些心得.

“輕負”設計，源自對學生認知水平的準確把握

輕負之“負”，自然是指學習負擔，而“輕負”自然是指學生的學習負擔. 凸顯學生意味著抓住了“輕負”之根本，而“輕負”的關(guān)鍵則在于對學生已有認知水平的精確把握，這里不妨借助于最近發(fā)展區(qū)來理解例題設計之“輕負”：能夠讓學生在例題解答過程中，通過自身的努力“跳一跳”而“摘得到”的思維負擔，是最恰當?shù)乃季S負擔. 當然，這里還要注意不同層次學生的思維能力. 通常情況下，我們都會根據(jù)學生的考試成績而將學生分成學優(yōu)生、中間生、學困生三個層次，這樣的分層簡單易行，但其容易掩蓋部分學生的思維能力，有些學生并不是因為思維能力差而學困的，而有些學生則是因為學習習慣好、下的功夫多而躋身中間生或?qū)W優(yōu)生的，這里要注意區(qū)別對待.

總體而言，在例題設計的過程中，輕負目標的達成可以借助于新課教學中的教學觀察來較為準確地判斷. 譬如教“圓錐曲線的統(tǒng)一定義”這一內(nèi)容時，分析知識呈現(xiàn)的順序可以發(fā)現(xiàn)，其是在拋物線定義的基礎上向橢圓和雙曲線延伸的，是在“平面內(nèi)到一個定點F的距離和到一條定直線l（F不在l上）的距離的比等于1的動點P的軌跡”的基礎上提出的問題：當這個比值是一個不等于1的常數(shù)時，動點P的軌跡又是什么呢？從學生的思維角度來看，這個問題的提出屬于數(shù)學上的變式思想，因此學生的學習可以通過演繹思維的方式來完成.

在實際教學中，如果觀察到學生在此環(huán)節(jié)上沒有太大的問題，那在給學生提供例題的時候，就可以借助于這樣的例題來實施教學：

例1：已知動點M（x，y）到定點F（0，1）的距離等于它到定直線l：y+1=0的距離. （1）求點M的軌跡方程；（2）經(jīng)過點F，傾斜角為30°的直線m交M的軌跡于A，B兩點，求AB；（3）設過點G（0，4）的直線n交M的軌跡于C（x1，y1），D（x2，y2），O為坐標原點，證明：OC⊥OD.

變式：已知動點P（x，y）（y≥0）到定點F（0，1）的距離和它到直線y=-1的距離相等，記點P的軌跡為曲線C. （1）求曲線C的方程；（2）設圓M過點A（0，2），且圓心M（a，b）在曲線C上，若圓M與x軸的交點分別為E（x1，0），G（x2，0），求線段EG的長度.

這兩個例題中分別有兩至三個問題，但要注意的是第一個問題都是面向拋物線的，這與教學中知識呈現(xiàn)的順序是吻合的. 也就是說，圓錐曲線的統(tǒng)一定義生成的過程中，是以拋物線為基礎的，而在解題過程中仍然是從這一基礎出發(fā)的. 在此基礎上，拋物線知識可以進一步向其他的知識延伸，那么學生在構(gòu)建相關(guān)知識的時候，知識體系就將更為完善. 基于這樣的思考，這里的兩個例題的設計與應用思路應當是：第一題教師可選擇一重點講授第一問，然后讓學生就另兩個問題向其他知識體系延伸；另一題則可以作為鞏固性訓練. 如果從分層的角度來看，那么第一個問題無疑是基礎題，而后面的問題則可以面向中上兩個層次的學生. 通過教學實踐來看，基本不會給學生形成太大的負擔，放在這里是合適的.

研究這個例題可以發(fā)現(xiàn)，其與教材上通常提供的例題的區(qū)別在于其是用具體的數(shù)據(jù)代替符號表示的，這可以給部分中等生及學困生帶來好處，而在此基礎上向符號表示的例題過渡，往往可以取得更好的教學效果.

“高質(zhì)”改編，需要對考試評價思路進行精加工

改編題已經(jīng)成為當下高中數(shù)學教學研究的一個重要方式，通過試題的改編，可以讓教師更好地感知命題意圖，從而向?qū)W生傳遞更準確的考查要求. 因此，對試題改編提出“高質(zhì)”的要求，顯然是恰當?shù)? 而高質(zhì)與否，就要看教師對考試評價思路的把握了.

舉個例子，直線方程是高中數(shù)學中最簡單的知識，不同層次的考試中此知識點相關(guān)的試題都是以最簡單的形式存在的. 在復習的過程中，這個知識其實是可以不斷拓展的. 如以下三個例題：

例1：已知三條直線ax+3y+8=0，4x+3y-10=0，2x-y=10相交于一點，那么a的值是多少？

例2：已知三條直線ax+3y+8=0，4x+3y-10=0，2x-y=10將坐標系分成六部分，那么a的值是多少？分成七部分呢？

例3：已知實數(shù)x，y，滿足x+3y+8>0，4x+3y-10>0，2x-y<10，那么x2+y2的取值范圍是多少？

這三個例題中，第一個例題是直接呈現(xiàn)給學生的；第二、三個例題可以在教師的引導下，通過一點點地改動形式呈現(xiàn)在學生的面前：比如在向例2過渡的時候，教師可以提出“同一個問題有沒有不同的問法呢”的問題，通過這個問題驅(qū)動改后的試題出現(xiàn)；在向例3過渡的時候，教師可以提出“有時候，同一個問題會通過‘面目全非的形式出現(xiàn)在我們的面前”的觀點，在學生思考“何以‘面目全非的情況下還能有相同的解題思路”的時候，推出改后的例3.endprint

而從例題本身來看，例1、例2顯然是一種形式變換的關(guān)系，但學生的思維方式并不完全相同：例1是純粹的數(shù)學思考，而例2實際上是一種數(shù)形結(jié)合. 不同思維方式下對同一例題進行研究，這也是高中數(shù)學教學的基本思路. 而第三個例子算不算改呢？這要看從哪個角度進行理解. 如果從知識點的角度來看，似乎有些牽強；但從學生的思維角度來看，從數(shù)學知識考試評價的跨度來看，這其實是一個很好的示例. 例3的解題思路是可以通過將三個不等式轉(zhuǎn)換成同一直角坐標系上的三根直線圍成的圖形來獲得解題思路的，而這一點與例2是有相通的地方的.

更進一步，實際上在教學中是可以引導學生去“改編”題目的，這個改編的過程依然是學生思維的逐步深入. 比如在例1和例2解決好了之后，讓學生稍加總結(jié)，以發(fā)現(xiàn)此類問題解決的一般思路. 當學生意識到數(shù)形結(jié)合的時候，再引導學生思考：不等式解題中是否存在類似的解題思路？此時學生一般是茫然無措的，教師則需要進一步引導學生的思路以發(fā)現(xiàn)同一解題思路下新的題目呈現(xiàn)方式.

在這個改編試題的思路中，教師對考點的把握是一條隱性線索，因為只有教師才能清晰地知道這三者之間的聯(lián)系，在實際教學中如果直接告訴學生這樣的聯(lián)系，學生有時并不能形成深刻的記憶；反之，如果引導學生在對教師所提供的例題進行遞進式的理解，那么學生可以在例題的變式中使得思維步步深入，相對于教師的隱性線索而言，學生對三個例題的感知是一條顯性線索. 在這兩條線索之下，學生對知識點的掌握是牢固的，結(jié)果是“高質(zhì)”的.

例題設計與改編，追求的是知識與學生的適切性

在筆者對例題的設計與改編的研究中，發(fā)現(xiàn)研究思路并不是唯一的，有什么樣的研究思路也就有了什么樣的研究結(jié)果，有了什么樣的教學過程. 筆者認為，“輕負”與“高質(zhì)”一定必須是相對于學生而言的，而不是相對于教師的教學經(jīng)驗而言的. 如果從教師的經(jīng)驗尤其是應試經(jīng)驗出發(fā)，那例題的設計與改編極有可能脫離學生的實際，從而造成適切度不夠的問題. 而一旦造成這種情形，“輕負”與“高質(zhì)”就會落空.

同時應當認識到的是，例題的適切性實際上就是學生與知識之間的適切性，是學生理解知識并將知識運用到具體問題情境中這一過程的適切性. 如文章開頭所說，只有例題表現(xiàn)出來的難度在學生的最近發(fā)展區(qū)之內(nèi)時，才是適切的. 而這離不開教師對學生學習情形的觀察與把握.

當然，適切性還有另一層含義不可忽視，即對考試要求的把握. 基于學生實際并不是脫離考試需要，總的來說，輕負與高質(zhì)還是數(shù)學知識、學生、考試之間平衡基礎上的輕負與高效，個中技巧，需要在教學實踐中具體把握.endprint