丁文璇 劉運鴻 魏 征

(北京化工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，北京100029)

原子力顯微鏡探針振動的簡化模型分析1)

丁文璇 劉運鴻 魏 征2)

(北京化工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，北京100029)

為對原子力顯微鏡(atomic force microscope,AFM)的微懸臂梁進(jìn)行定性動力學(xué)特性分析，建立AFM微懸臂梁的簡化模型，探討AFM探針的受迫振動.通過理論計算得出AFM探針簡化模型的運動方程，并得到振動波形，證明了AFM實際應(yīng)用中的對稱問題和“頻漂”問題，并發(fā)現(xiàn)AFM簡化模型的間歇式碰撞現(xiàn)象.用負(fù)彈簧模擬探針針尖與樣品之間的長程引力，并通過理論計算探討長程引力對AFM測量的影響.

原子力顯微鏡，輕敲模式，受迫振動

隨著科技的不斷發(fā)展，人類對微觀世界的探索也越來越深入.傳統(tǒng)光學(xué)顯微鏡已無法滿足人類的需求，原子力顯微鏡(atomic force microscope,AFM)應(yīng)運而生[1].相對于一般測量表面形貌的方法，AFM具有精度高、不破壞樣品、局域性強(qiáng)的優(yōu)點[2].AFM 以針尖與樣品之間的相互作用力作為成像信號，并且對樣品的要求也較低，已在實驗室和工業(yè)部門中大量使用[3]，例如生物大分子的觀察與測量，涂料表面粗糙度測定，超薄薄膜的觀測，復(fù)合材料和納米材料界面的研究等[1].雖然原子力顯微鏡的應(yīng)用越來越廣泛，但對原子力顯微鏡本身，尤其是對原子力顯微鏡微懸臂梁動力學(xué)特性的研究仍在繼續(xù).本文即對AFM的微懸臂梁在掃描過程中做受迫振動過程建立簡單模型，并對其進(jìn)行理論分析.

1 AFM的輕敲模式

AFM的掃描方式有接觸模式、非接觸模式和輕敲模式三種[34].接觸模式是指在掃描過程中探針一直與樣品接觸，這樣會造成樣品的損傷.非接觸模式要求在掃描過程中探針保持在樣品上方一定高度，這種掃描方式由于探針與樣品沒有接觸，作用力信號較弱，實驗要求較高.

隨后就提出了輕敲模式 (tapping mode)，這種模式介于接觸與非接觸之間，其驅(qū)動與反饋方式都和非接觸模式相同，但在一個振動周期內(nèi)，探針要與樣品接觸一次[5].這種掃描方式既滿足了作用力足夠大的要求，又不至于損傷樣品[2,6].

原子力顯微鏡由計算機(jī)控制系統(tǒng)、光敏探測器、壓電裝置、探針和光源等組成.以輕敲模式為例，AFM的工作原理可簡述為：壓電裝置(由壓電陶瓷構(gòu)成)在高頻電壓信號激勵下驅(qū)動探針 (由微懸臂梁和針尖組成)振動，針尖與樣品靠近或接觸時，針尖與樣品間相互作用力(范德華力、靜電力、毛細(xì)力等)會使微懸臂梁的振幅、頻率和相位發(fā)生變化.光敏探測器檢測到的激光信號偏移量隨之發(fā)生變化，此信號經(jīng)過計算機(jī)控制系統(tǒng)處理并反饋控制壓電裝置，及時調(diào)整激勵輸入信號，使微懸臂梁上下移動，微懸臂梁在掃描過程中的振幅、相位、頻移等能很好的表征樣品表面信息，這就是輕敲 AFM的基本工作原理.

2 AFM輕敲模式簡化模型

2.1 質(zhì)量彈簧阻尼系統(tǒng)建模

AFM 微懸臂梁在空氣中的振動可以看作是懸臂梁受位移激勵的強(qiáng)迫振動[4].微懸臂梁的振動分析可用連續(xù)系統(tǒng)模型，固定端(壓電管端)受位移激勵Dsinωt，ω為激振頻率.探針的振動振幅大于針尖與樣品之間的距離，保證一個周期內(nèi)敲擊樣品一次，如圖1(a)所示.

圖1 AFM輕敲模式模型

一般情況下輸入位移的激振頻率接近于微懸臂梁的一階固有頻率，可以將其簡化為單自由度振動系統(tǒng)，如圖1(b).微懸臂梁是一彈性元件，在小變形情況下，其彈性系數(shù)可以用常量k1來代替，故微懸臂梁振動可以用質(zhì)量彈簧系統(tǒng)來模擬.實際微懸臂梁自由振動時的阻尼來自空氣阻尼和材料內(nèi)阻尼，在輕敲過程中，還包括接觸分離能量耗散，用圖1(b)中的阻尼器c表示.振動方程為[7]

其中，m 為微懸臂梁的等效質(zhì)量，k1為自由端剛度.方程 (1)即為圖 1(b)所示模型的振動微分方程. 方程 (1)中，F(xiàn)ts為針尖與樣品間相互作用力，將 Fts作泰勒展開，取一階近似，F(xiàn)ts=F0+為平衡位置Fts的值，令F0=0.Fts是一個復(fù)雜的力，它可能是范德華力、毛細(xì)力、靜電力，也有可能是彈性力等[8]，因此是一個變化的量[9].對于實際情況，將Fts考慮成庫倫排斥力，探針--樣品間作用的庫倫排斥力相對于探針振幅是短程力，因此在一個振動周期內(nèi)，F(xiàn)ts僅在一個有限的區(qū)域起作用.取實際上是排斥力的力梯度.實際情況中，k2是一與針尖位置有關(guān)的函數(shù)，方程為非線性運動方程，求解難度很大，因此取為常數(shù).用彈性系數(shù)為k2的彈簧來表示Fts，如圖2所示.

圖2 AFM輕敲模式簡化模型

2.2 質(zhì)量彈簧阻尼模型計算

上彈簧上端連接的平板受到激勵振幅為D的正弦激勵，下端連接一質(zhì)量為m的質(zhì)量球.下彈簧固定，距離質(zhì)量球的距離為 h.平板受到的位移激勵用xf來表示；平板和質(zhì)量球之間的相對位移用x1來表示；質(zhì)量球相對于下彈簧的位移是絕對位移，用x表示，且認(rèn)為彈簧自然長度時質(zhì)量球的質(zhì)心位置為原點.在質(zhì)量球未與下彈簧碰撞時，即第一階段，其絕對位移等于相對位移與激勵位移之和.當(dāng)質(zhì)量球不與下彈簧接觸時，相對位移的表達(dá)式為

絕對位移x為

方程(2)的解為齊次方程的通解加非齊次方程的特解.解方程(2)、(3)可得

其中，下標(biāo)i為第i次碰撞.在AFM輕敲模式開始前，微懸臂梁已經(jīng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)振動，因此當(dāng)質(zhì)量球距離彈簧較遠(yuǎn)時，質(zhì)量球已經(jīng)開始振動，但隨時間的增加，通解部分逐漸耗散掉，即質(zhì)量球已經(jīng)處于穩(wěn)態(tài)振動，c1,1=c1,2=0.所以，此時不需要考慮定解條件.

質(zhì)量球一直按照式(4)運動，當(dāng)質(zhì)量球下降距離超過h時，質(zhì)量球與下彈簧接觸.質(zhì)量球除受到正弦激勵外，還受到兩個彈簧的彈力作用，故質(zhì)量球與彈簧碰撞階段的運動方程為

解方程(3)和(5)可求得質(zhì)量球的運動方程

方程(2)的解為齊次方程的通解加非齊次方程的特解.但可以看到，x=h是相鄰兩個方程的連接點.由于質(zhì)量球的運動是連續(xù)的，故當(dāng)質(zhì)量球運動到x=h時，相鄰兩個方程的位置x和速度x˙的值相等.由此條件，得到兩個連續(xù)性條件，再代入數(shù)據(jù)，方程(4)和方程(6)中的ci,1,ci,2,ci,3,ci,4即可解出，便可以得到完整運動方程.認(rèn)為上彈簧自然長度時質(zhì)量球的位置為平衡位置.質(zhì)量球在脫開下彈簧后，向上彈起至平衡位置，依舊按第二個方程運動直到第i+1次與彈簧碰撞.碰撞瞬間又可由位置、速度相同列方程解得ci+1,1和ci+1,2，如此往復(fù)循環(huán).

由于方程較為復(fù)雜且含有未知積分常數(shù)，為了能夠直觀地分析結(jié)果，對上述振動系統(tǒng)元件賦予數(shù)值，賦值對象有位移激振振幅、頻率、球樣品間距等等.為計算方便，取質(zhì)量球質(zhì)量為1kg，上彈簧系數(shù)為10000N/m，則由固有頻率計算公式得固有頻率為100s?1，為了使振動響應(yīng)幅值能比較大，一般取激勵頻率為固有頻率的95%，故取激勵頻率ω=95s?1.取激勵位移幅值D 為0.005m，將數(shù)據(jù)帶入方程(4)，并令ci,3=ci,4=0，令阻比值c=0可得無阻尼下質(zhì)量球的運動方程，x=0.0513sinωt.此時振動的振幅為0.0513m，為了更加有效的分析碰撞后的振動趨勢，h取為振動振幅的 60%，故取h=0.03m.分別取阻尼 c為 0,2,5,10N·s/m，計算后圖形趨勢基本類似，而在本文章中并不考慮阻尼的影響，因此取c=2N·s/m.各計算參數(shù)如表1所示.

表1 計算所用參數(shù)

以 k2=15000N/m的情況為例，取第一次碰撞，計算方程(4)和方程(6)中的未知積分常數(shù)，可得運動曲線如圖3所示.以質(zhì)量球向下運動的方向作為 x軸的正方向.為顯示方便，將碰撞前穩(wěn)態(tài)振動通過平衡位置時作為計時零點.

圖中接觸線即為 x=h，每次運動至此位置控制方程便發(fā)生變化.以質(zhì)量球向下運動的方向作為正方向，故圖中質(zhì)量球碰撞發(fā)生在橫坐標(biāo)之上.

圖3 第一次碰撞的運動曲線

2.3 質(zhì)量彈簧阻尼模型計算分析

為了能直觀地觀察質(zhì)量球連續(xù)運動的過程，連續(xù)計算多次碰撞的振動波形，并將其合成一條振動波形圖，如圖4所示.

圖4 多次碰撞的運動曲線

由圖4可以看到，質(zhì)量球在發(fā)生碰撞后振動幅值會發(fā)生逐漸減小的情況，減小到不與彈簧碰撞的某個值后，質(zhì)量球的振動幅值又會逐漸增大直到再次發(fā)生碰撞而后重復(fù)此種情況.質(zhì)量球在與彈簧接觸時達(dá)到最低高度，與質(zhì)量球在無彈簧一側(cè)回彈的最高高度基本相同，即此運動關(guān)于平衡位置是對稱的.在一原子力顯微鏡的操作手冊中曾經(jīng)提到，當(dāng)微懸臂梁的振動振幅大于針尖與樣品之間的距離時，針尖在運動到最低點時會與樣品碰撞.一般會認(rèn)為這種情況下針尖的運動軌跡將會出現(xiàn)削波情況的正弦曲線，但實際的運動軌跡依舊是一正弦曲線，只是振幅減小了.針尖在其運動的最低點輕觸樣品表面，并且它的運動軌跡依舊是對稱的[10].計算結(jié)果證明了這個結(jié)論.

3 不同k2值對質(zhì)量球運動的影響

原子力顯微鏡一般用于形貌測量，被測量的樣品也是多樣的，其中更是包括一些生物材料.不同樣品對針尖的作用力不同，因此在相同的實驗條件下，AFM微懸臂梁的振動也有所不同.在我們的模型中，用k2來表征樣品對針尖的彈性力及相互作用力的大小，故使用圖2所示模型，使用表1中的參數(shù)，只改變k2的值，用方程(4)和方程(6)計算運動軌跡，研究k2值對質(zhì)量球運動的影響.計算結(jié)果如圖5所示.

圖5 不同k2值的運動曲線

由圖5我們可以看到，隨著k2的增大，振動波形的最高峰值在不斷的向左移動，這種現(xiàn)象稱為“頻漂”.在實際的原子力顯微鏡使用中，也出現(xiàn)了“頻漂”的現(xiàn)象.當(dāng)質(zhì)量球與彈簧k2接觸時，質(zhì)量球的運動頻率發(fā)生變化，k2越大，質(zhì)量球的運動頻率就越高，最終導(dǎo)致“頻漂”的發(fā)生.

4 AFM輕敲模式負(fù)彈簧模型

4.1 負(fù)彈簧模型的建立

原子力顯微鏡利用分子之間的相互作用力達(dá)到形貌測量的目的，分子間的相互作用力既有吸引力，又有排斥力.排斥力可以用彈簧來模擬，比較簡單，而吸引力比排斥力小，故在之前的模擬中忽略了吸引力.為了讓模擬更加貼近實際，我們設(shè)法在模型中模擬出吸引力.文獻(xiàn)[11]提到一種模擬吸引力的方法，即在模型中加入彈性系數(shù)為負(fù)值的彈簧.k3為吸引力的梯度，與2.2節(jié)中的庫倫排斥力相同，為了降低求解難度，將k3取為常數(shù).在2.1節(jié)模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行模擬，模型如圖6所示，由于模型較為復(fù)雜，不考慮阻尼.

圖6中，k3是負(fù)彈簧的彈性系數(shù)，h1是自然狀態(tài)時負(fù)彈簧與質(zhì)量球之間的距離，由于分子間的吸引力相對于排斥力是長程力，故取h1，且h1＜h.

4.2 負(fù)彈簧模型計算

與無阻尼的質(zhì)量彈簧一樣，質(zhì)量球的絕對位移x等于相對位移x1與位移激勵xf之和.當(dāng)質(zhì)量球未與任何彈簧接觸時，質(zhì)量球的運動方程與方程(2)相同，但由于負(fù)彈簧模型相對較為復(fù)雜，因此在復(fù)彈簧模型計算的過程中忽略阻尼，c=0.質(zhì)量球繼續(xù)向下運動，當(dāng)h1＜x＜h時，質(zhì)量球與吸引力彈簧碰撞，質(zhì)量球的相對運動方程為

當(dāng)位移 x超過 h時，質(zhì)量球與兩個彈簧均碰撞，此時質(zhì)量球的相對運動方程為

質(zhì)量球與兩個彈簧接觸后，繼續(xù)向下運動，到達(dá)最低點后回彈，繼續(xù)向上運動到x=h時與排斥力彈簧脫開，此時的運動方程也為方程(7)；質(zhì)量球與排斥力彈簧脫開后繼續(xù)向上運動，直到吸引力彈簧也脫開，此時的運動方程為方程(2).由于幾個階段的初始條件不同，故即使運動控制方程相同，解得的位移表達(dá)式也不同，解方程(7)、(8)及式(2)可得負(fù)彈簧模型的絕對位移的幾個方程

其中，j表示第j次碰撞.方程(9)和方程(11)雖然形式相當(dāng)，但由于其初始條件不同，導(dǎo)致方程的未知常數(shù)不同.為了更好地描述質(zhì)量球的運動階段，將其列為兩個方程.同樣，為了能夠直觀地分析結(jié)果，對上述振動系統(tǒng)元件賦予數(shù)值，使用表1中的參數(shù).為了計算方便，取k2=10kN/m，h1=0.02m.

利用x=h,x=h1是相鄰兩個方程的連接點這一條件，方程(9)～方程(12)中的未知積分常數(shù)即可解出，從而得到完整的運動方程.同理，第一次碰撞前，微懸臂梁已經(jīng)處于穩(wěn)態(tài)振動，因此碰撞前的方程為方程(12)穩(wěn)定振動部分，即c1,7=c1,8=0.吸引力與排斥力相比，不僅其值較小，且其隨相對位置的變化程度也沒有排斥力劇烈，因此梯度k3的取值較小，取k3=?2kN/m，計算第一次碰撞，可得振動如圖7所示.以質(zhì)量球向下運動的方向作為正方向.

圖7 第一次碰撞運動曲線

4.3 負(fù)彈簧模型計算分析

為了能直觀的觀察質(zhì)量球連續(xù)運動的過程，并分析不同彈性系數(shù)負(fù)彈簧對運動的影響，分別取k3為0,?1kN/m,?2kN/m，連續(xù)計算多次碰撞的振動波形，并將其合成一條振動波形圖，如圖8所示.

圖8 多次碰撞的的振動波形

由圖8我們可以看到，加入負(fù)彈簧后，依舊發(fā)生質(zhì)量球碰撞后振動幅值逐漸減小又逐漸增大的情況.同時，也滿足基本的對稱運動情況.與無阻尼的簡單振動規(guī)律相符.吸引力彈簧彈性系數(shù)絕對值越大，振動振幅越大.

5 結(jié)論

本文利用原子力顯微鏡簡化模型模擬輕敲模式下針尖的運動狀態(tài)，用質(zhì)量彈簧阻尼系統(tǒng)來簡化原子力顯微鏡的微懸臂梁，并利用質(zhì)量彈簧阻尼系統(tǒng)的運動來模擬微懸臂梁在輕敲模式下的運動.通過對響應(yīng)波形的分析，印證了原子力顯微鏡微懸臂梁運動的對稱性.通過對不同k2值的計算得到了“頻漂”的現(xiàn)象，并且發(fā)現(xiàn)原子力顯微鏡的針尖在運動過程中的間歇碰撞現(xiàn)象.建立負(fù)彈簧模型，用負(fù)彈簧模擬原子力顯微鏡與樣品接觸時的吸引力，發(fā)現(xiàn)負(fù)彈簧模型與質(zhì)量彈簧阻尼系統(tǒng)存在相同的運動趨勢，可以證明原子力顯微鏡微懸臂梁運動的對稱性.并印證了負(fù)彈簧的剛度系數(shù)對質(zhì)量球運動的影響，只改變負(fù)彈簧剛度系數(shù)k3時，沒有發(fā)生“頻漂”的現(xiàn)象，且隨著負(fù)彈簧剛度系數(shù)k3的減小，振動波形的最大振幅基本保持不變；最小振幅隨著k3減小而增大，可以說針尖和樣品間的吸引力越大，探針的振動振幅變化越平緩.本文的研究為之后原子力顯微鏡的探針動力學(xué)分析提供了參考.

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SIMPLIFIED VIBRATION MODELS FOR AFM PROBE1)

DING Wenxuan LIU YunhongWEI Zheng2)
(College of Mechanical and Electrical Engineering,Beijing University of Chemical Technology,Beijing 100029,China)

The simplified models of the AFM(atomic force microscope)probe are proposed for a qualitative analysis of dynamic characteristics of the AFM.The forced vibration of the probe is analyzed on the basis of the simplified models.The motion equations are derived based on the models and the wave modes of the AFM probe are obtained by a theoretical calculation.The symmetry problem and the frequency drift are con firmed in the calculation,as consistent with the AFM tests.Meanwhile,an intermittent collision phenomenon is found in the simplified models.The effect of the long-range attractive force on the AFM probe is simulated through a negative spring model.

atomic force microscope，tapping mode，forced vibration

O647.6

A

10.6052/1000-0879-17-094

2017-03-22收到第1稿，2017-05-12收到修改稿.

1)國家自然科學(xué)基金(11572031)和非線性力學(xué)國家重點實驗室開放基金資助項目.

2)魏征，博士，副教授.E-mail：weizheng@mail.buct.edu.cn

丁文璇,劉運鴻,魏征.原子力顯微鏡探針振動的簡化模型分析.力學(xué)與實踐,2017,39(5):449-454 Ding Wenxuan,Liu Yunhong,Wei Zheng.Simpli fi ed vibration models for AFM probe.Mechanics in Engineering,2017,39(5):449-454

(責(zé)任編輯:周冬冬)