姜 宇 李俊峰 (西安衛(wèi)星測控中心宇航動力學國家重點實驗室，西安710043)(清華大學航天航空學院，北京100084)

小天體平衡點之謎1)

姜 宇?,2)李俊峰?,3)?(西安衛(wèi)星測控中心宇航動力學國家重點實驗室，西安710043)?(清華大學航天航空學院，北京100084)

為了解釋小天體平衡點個數(shù)的內在規(guī)律，介紹了小天體引力場中平衡點的一個守恒量，解釋了小天體非退化平衡點個數(shù)是奇數(shù)的原因.通過若干個有代表性的小天體的形狀和相對旋轉坐標系的有效勢能在赤道面內投影,形象生動地介紹了具體的小天體平衡點的個數(shù)情況.給出了觀測到的小天體基本都有奇數(shù)個平衡點的數(shù)學解釋.

小天體，平衡點，引力勢

平衡點[12]是力學中的一個基本的概念，對于一個物體的運動來說，當它處在平衡點位置的時候，所受的合外力是零，但未必是穩(wěn)定的.例如一個小球處在光滑碗的碗底和碗沿上，合外力都為零，碗底和碗沿都是這個小球運動的平衡點.對于這個小球來說，碗沿上的每一個點都是它的平衡點，碗底也是它的一個平衡點，因而光滑碗中的小球運動有無窮多個平衡點.

1 大行星的平衡點

在太空中，也存在著類似的平衡點[1]，比如地球靜止軌道上的衛(wèi)星，相對于地球表面來說是靜止不動的，這樣的衛(wèi)星就處在地球引力場中的相對平衡點上，雖然在慣性空間來看，地球和地球靜止軌道上的衛(wèi)星都是運動的，但它們之間卻是相對靜止的.火星等其他大行星也有靜止軌道.不失一般性，以火星為例，火星靜止軌道上的衛(wèi)星相對于火星表面來說是靜止不動的，火星靜止軌道上的點就是火星的相對平衡點.大行星由于質量較大，引力足以克服固體應力，使大行星達到流體靜力學平衡，因此大行星都近似為球形.大行星的平衡點包括其靜止軌道上所有點，以及大行星的質心.

地球上有山脈和河流，地球赤道半徑和兩極半徑有所不同.其他大行星如火星表面有峽谷、火山與隕石坑，木星等氣態(tài)行星的外形為兩極扁而赤道鼓.如果考慮大行星的精確的引力場，嚴格地來說，大行星靜止軌道上只有4個點是平衡點.因此，大行星的平衡點實際上共有5個.

此外，太陽--木星系統(tǒng)中存在特洛伊小行星，這些小行星所處的位置是日--木系統(tǒng)的平衡點，這樣的平衡點相對于太陽和木星連線是靜止不動的.

2 小天體的平衡點

太陽系中，目前已經(jīng)發(fā)現(xiàn)并獲得永久編號的小天體有幾十萬個，這些小天體質量較小，自身引力不足以克服固體應力，不能達到流體靜力學平衡，具有不規(guī)則的幾何外形.通常來說，絕大多數(shù)小天體都是勻速自旋的.在這些勻速自旋的小天體的引力場中，也存在著相對平衡點[35].本文所述的小天體都是指勻速自旋的.一個天體的平衡點是其有效勢的臨界點，也就是有效勢的導數(shù)等于零的點.有效勢在數(shù)值上等于引力勢能和旋轉勢能之和.以小行星6489 Golevka為例，我們來看引力勢能和旋轉勢能是如何組合成有效勢的，取小天體固連坐標系，原點為小天體質心.圖1給出了小行星6489 Golevka赤道面的引力勢能的影像圖和立體圖，圖2給出了該小行星的旋轉勢能的相應圖像.從圖1和圖2的立體圖可見，引力勢能和旋轉勢能的開口方向相反.引力勢能的立體圖像一座山，且越遠的地方海拔越接近零.而旋轉勢能的立體圖則像一個邊緣無窮延伸的一只大碗一樣，越遠的地方數(shù)值越大，中心位置處的數(shù)值最小.圖3給出了小行星6489 Golevka赤道面的有效勢的影像圖和立體圖.有效勢作為引力勢能和旋轉勢能之和，從圖1～圖3可見，有效勢大致的開口方向和旋轉勢能的開口方向相同，但引力勢能和旋轉勢能相加后使得中心附近有一定凸起，就像一個盆地中央有一座小山一樣.

圖1 小行星6489 Golevka赤道面的引力勢能的影像圖和立體圖

圖2 小行星6489 Golevka赤道面的旋轉勢能的影像圖和立體圖

圖3 小行星6489 Golevka赤道面的有效勢的影像圖和立體圖

我們可以換個角度來理解引力勢能和旋轉勢能的相加成為有效勢.做一個“填坑游戲”.已經(jīng)畫出了旋轉勢能的立體圖，旋轉勢能的立體圖像一個無限延伸的碗一樣，在旋轉勢能上加引力勢能就相當于在碗的中心填一鏟子土.原來的大碗只有一個平衡點，就在碗底的中央，是碗的最低點.而加上一鏟子土以后，原來的唯一的平衡點依然是平衡點，只不過從最低點(最小值點)變成了局部極大值點，同時在局部極大點周圍產(chǎn)生了若干個其他平衡點.

也可以從旋轉勢能和引力勢能的梯度來理解平衡點.如果記V(r)=W(r)+U(r)為有效勢，其中W(r)為旋轉勢能，U(r)為引力勢能，為小天體引力場中的位置矢量.平衡點就是滿足▽V(r)=0的點，也就是 ▽W(r)=?▽U(r)的點.因此平衡點就是滿足旋轉勢能的梯度和引力勢能的梯度大小相等、方向相反的點，換句話說，平衡點就是旋轉勢能的梯度和引力勢能的梯度勢均力敵的點.事實上，旋轉勢能的梯度大小就等于離心力，引力勢能的梯度的大小就等于萬有引力.平衡點就是引力與離心力相等的點.

3 平衡點有幾個

由于不同的小天體的自旋速度、形狀等各異，所以不同的小天體的平衡點的位置和穩(wěn)定性不同，就連平衡點的個數(shù)也可能不同[2].那么這幾十萬個小天體的平衡點到底有多少個？有沒有什么規(guī)律呢？我們可以通過畫出小天體旋轉坐標系來看的有效勢能來了解平衡點的個數(shù).圖 4是一些小行星的平衡點和相對旋轉坐標系的有效勢能在赤道面內投影圖，體內的平衡點可以從有效勢在赤道面內的投影圖中看出.我們可以看到這幾個小行星的平衡點個數(shù)為9,7,5和1.目前已知的小天體中，有5個平衡點的包括 4 Vesta,243 Ida,433 Eros,951 Gaspra,1620 Geographos,1996 HW1,2063 Bacchus,2867 Steins,4769 Castalia,6489 Golevka,25143 Itokawa,52760，彗核 1P/Halley,9P/Tempel1,103P/Hartley2以及大行星的衛(wèi)星 J5 Amalthea,M1 Phobos,N8 Proteus,S9 Phoebe,S16 Prometheus.有7個平衡點的包括216 Kleopatra和1580 Betulia.有1個平衡點的包括 1998 KY26和 54509 YORP.有 9個平衡點的包括101955 Bennu[36].

圖4 若干小行星的平衡點和相對旋轉坐標系的有效勢能在赤道面內投影

圖4 若干小行星的平衡點和相對旋轉坐標系的有效勢能在赤道面內投影(續(xù))

圖4 若干小行星的平衡點和相對旋轉坐標系的有效勢能在赤道面內投影(續(xù))

可見，小天體平衡點與大行星平衡點有很大不同.如果認為大行星是球形，那么每個大行星有無窮多個平衡點，包括大行星靜止軌道上的所有點和大行星的質心；而小天體平衡點是有限多個，可能是1,5,7,9等.如果考慮大行星的精確引力場，那么每個大行星有5個平衡點，其中1個在大行星的體內質心處；而小天體的平衡點可能是5個，也可能是1個、7個、9個或其他數(shù)字，小天體的體內平衡點可能是1個，也可能多于1個.

下面我們首先不想那些高深的數(shù)學和浩如煙海的天體力學知識，不受已有的思維方式限制，避免在前人的思維框架下受到束縛.我們心中只是一張白紙，像小孩一樣，面對這些問題，好奇心促使我們想象和猜測其中的奧秘.我們發(fā)現(xiàn)這些數(shù)字都是奇數(shù)，那么小天體的平衡點都是奇數(shù)個嗎？對于平面圓形限制性三體問題來說，有5個平衡點；在平面圓形限制性三體問題的兩個大天體之間用一個無質量細直棒來連接，那么這兩個大天體就像一個勻速自旋的不規(guī)則體一樣，在它的引力場中有包括兩個大天體質心在內的7個相對平衡點，是奇數(shù).

我們做一個思想實驗，想象一個不規(guī)則天體的外形、大小和轉速等參數(shù)發(fā)生改變.例如從 101955 Bennu變?yōu)?580 Betulia，再變?yōu)?620 Geographos，再變?yōu)?998 KY26.那么平衡點的個數(shù)從9變?yōu)?，再變?yōu)?，然后再變?yōu)?.圖5給出了在轉速變化下小行星 216 Kleopatra的會發(fā)生撞在一起相互 “融合”的平衡點.初始參數(shù)下，小行星216 Kleopatra有7個相對平衡點.在小行星轉速增大時，平衡點E3和E6首先發(fā)生融合，此時總的平衡點的個數(shù)變?yōu)?，融合后E3和E6這兩個平衡點消失，只剩下5個平衡點[5].轉速進一步增大，平衡點E1和E5發(fā)生融合湮滅，平衡點個數(shù)從5變?yōu)?再變?yōu)?.轉速繼續(xù)增大，平衡點E2和E7發(fā)生融合湮滅，最后只剩下1個平衡點E4.

我們分析參數(shù)變化下平衡點的個數(shù)從一個奇數(shù)變?yōu)榱硪粋€奇數(shù)的過程中，首先是兩個平衡點接近并瞬間融合為1個平衡點，這融合后的1個平衡點只存在于一瞬間，此后由于參數(shù)的繼續(xù)變化而消失.正如地表的高度有山峰、山谷和馬鞍狀的山脊，它們都屬于平衡點，當我們鏟平一個山峰的時候，一定會出現(xiàn)山峰和馬鞍狀的山脊合二為一的情況；當我們填滿一個山谷的時候，一定會出現(xiàn)山谷和馬鞍狀的山脊合二為一的情況.這種由兩個不同的平衡點瞬間融合產(chǎn)生的1個平衡點的特性應當同一般的平衡點不同.

因此我們猜測在參數(shù)變化下，小天體引力場中的平衡點個數(shù)出現(xiàn)偶數(shù)的時候，往往會有1個平衡點是融合產(chǎn)生的，它的特性與其他平衡點不同.那么到底哪方面的特性不同呢？我們知道一個力學系統(tǒng)的平衡點存在若干個特征值，這些特征值決定了平衡點附近局部運動的特性.這里我們回顧特征值的一點知識，繼續(xù)想象.當兩個平衡點逐漸接近時，沿著兩個平衡點連線方向的無質量質點的局部運動就會逐漸變?yōu)?“動也不是，不動也不是”的神奇狀況.倘若質點運動，則運動范圍受限，兩個平衡點越來越近；倘若質點不運動，也不可能，畢竟兩個平衡點的特性有所不同，局部的結構決定了沿著兩個平衡點連線方向的質點必須運動.隨著兩個平衡點越來越接近，這種矛盾會越來越劇烈，最終當兩個平衡點無限接近的時候，沿著兩個平衡點方向的運動靜止了，這就對應著零特征值的出現(xiàn).因此我們猜測兩個沒有零特征值的平衡點融合產(chǎn)生了一個有零特征值的平衡點.在數(shù)學上，有零特征值的平衡叫做退化平衡點，沒有零特征值的平衡叫做非退化平衡點.

圖5 在轉速變化下會發(fā)生相互融合的小行星平衡點，以小行星216 Kleopatra為例

通過上述思想實驗，我們猜測：小天體引力場中的非退化平衡點的個數(shù)必是奇數(shù).我們嘗試尋找合適的數(shù)學工具來論證上述猜測是否正確，此時，我們把扔掉的所有的數(shù)學知識和天體力學知識一股腦地都撿回來，然后在其中搜索那些可能對于證明我們的猜測是有用的，文獻[5]給出了上述猜測的數(shù)學證明，證明過程使用了拓撲度理論，對證明過程有興趣的讀者可以進一步閱讀.

下面我們給出文獻 [5]的核心結論.小天體的每個平衡點都有 6個特征值，如果一個小天體引力場中的平衡點個數(shù)為 N，我們把第 i個平衡點記為 Ei，Ei的第 j個特征值記為 λj(Ei)，記指標文獻 [5]提出并證明了下面的恒等式

從這個恒等式可以知道每一個平衡點都有一個指標，這個指標的值只能是 ?1,0或1.當平衡點有零特征值時，指標為0.有零特征值的平衡點稱為退化平衡點.所以對于非退化平衡點來說，它的指標不為0.而且指標為1的平衡點的個數(shù)永遠比指標為?1的平衡點的個數(shù)多1個.如果指標為?1的平衡點的個數(shù)為k，那么指標為1的平衡點的個數(shù)為k+1個，非退化平衡點的個數(shù)則為2k+1.這就說明一個小天體引力場中至少有1個平衡點.所以小天體引力場中非退化平衡點的個數(shù)是奇數(shù).對于均質球狀的勻速自旋體來說，退化平衡點連接成一個圓，一個例子就是地球靜止軌道.

對于一般的不規(guī)則天體，文獻[5]給出了參數(shù)變化下，平衡點個數(shù)可以從7個依次變?yōu)?,5,4,3,2,1的算例.當平衡點個數(shù)為偶數(shù)的時候，出現(xiàn)了奇數(shù)個退化平衡點，因此非退化平衡點的個數(shù)依然是奇數(shù).并且平衡點個數(shù)為偶數(shù)只發(fā)生在參數(shù)漫長變化過程中的一瞬間.

因此我們知道，小天體引力場中的平衡點個數(shù)可以是奇數(shù)，也可以是偶數(shù)，甚至可以是無窮多個.小天體引力場中的平衡點的個數(shù)最少為1個.最少有1個非退化的平衡點.一個勻速自旋的不規(guī)則體引力場中的非退化平衡點個數(shù)一定是奇數(shù).此外，對于目前已知的小天體來說，由于小天體都具有不規(guī)則的幾何外形，且能達到使得平衡點個數(shù)為偶數(shù)的情況的參數(shù)只是參數(shù)漫長變化過程中的一瞬間，因此我們觀測到的絕大多數(shù)小天體的平衡點個數(shù)都是奇數(shù)個，都沒有退化平衡點.本文介紹的結論，對于一切勻速自旋體產(chǎn)生的引力場都成立.

4 結束語

天體力學中關于限制性三體問題的優(yōu)秀文獻汗牛充棟，但卻沒有文獻質疑和解釋平衡點個數(shù)的奇偶性問題.本文介紹的解決問題思路可以推廣到其他的領域，那就是我們在面臨一個新事物的時候，可以嘗試著拋棄已有的理論、知識、方法和思維定式，像一個嬰兒一樣看世界，猜測其中可能的奇妙之處.在發(fā)現(xiàn)或猜想出可能的規(guī)律之后再把原來學過和沒學過的理論、知識、方法撿回來，嘗試著論證相關發(fā)現(xiàn)或猜想.

近年來，人類發(fā)射了若干個針對小天體的探測器，開展對太陽系小天體的科學探測.未來我們對小天體的了解越來越多，對于小天體附近的軌道、小天體結構等蘊含的力學問題的認識也將越來越深刻.

1 劉延柱.關于地月系統(tǒng)的拉格朗日點.力學與實踐,2015,37(6):765-768

2 陳立群.穩(wěn)定性漫談.力學與實踐,2015,37(1):148-151

3 Jiang Y,Baoyin HX,Li JF,et al.Orbits and manifolds near the equilibrium points around a rotating asteroid.Astrophysics and Space Science,2014,349(1):83-106

4 Wang XY,Jiang Y,Gong SP.Analysis of the potential field and equilibrium points of irregular-shaped minor celestial bodies.Astrophysics and Space Science,2014,353(1):105-121

5 Jiang Y,Baoyin HX,Li HN.Collision and annihilation of relative equilibrium points around asteroids with a changing parameter.Monthly Notices of the Royal Astronomical Society,2015,452(4):3924-3931

6 Chanut GGT,Winter CO,Amarante A,et al.3D plausible orbital stability close to asteroid(216)Kleopatra.Monthly Notices of the Royal Astronomical Society,2015,452(2):1316-1327

O317

A

10.6052/1000-0879-16-257

2016-08-09收到第1稿，2016-08-13收到修改稿.

1)國家自然科學基金(11572166)和國家重點基礎研究發(fā)展計劃(973)(2012CB720000)資助項目.

2)姜宇，博士，主要研究方向為航天動力學與控制.E-mail：jiangyuxian china@163.com

3)李俊峰，教授，主要研究方向為深空探測器動力學、軌跡設計與控制.E-mail:lijunf@tsinghua.edu.cn

姜宇，李俊峰.小天體平衡點之謎.力學與實踐,2017,39(5):509-515

Jiang Yu,Li Junfeng.The mystery of equilibrium points around minor celestial bodies.Mechanics in Engineering,2017,39(5):509-515

(責任編輯:胡 漫)