淺談數(shù)學(xué)競(jìng)賽中平面幾何解題的小技巧

摘 要：當(dāng)前，全國(guó)高中各學(xué)科聯(lián)合競(jìng)賽已成為普遍現(xiàn)象，它不僅能發(fā)揮的學(xué)生們的特長(zhǎng)，也是各類高校自主招生的一個(gè)參考依據(jù)。對(duì)于那些學(xué)有余力的理科學(xué)生來說，積極參與數(shù)、理、化、生的全國(guó)聯(lián)合競(jìng)賽更是他們展現(xiàn)能力的一個(gè)舞臺(tái)。筆者作為數(shù)學(xué)競(jìng)賽的參與者，從平面幾何學(xué)習(xí)和競(jìng)賽中總結(jié)一些個(gè)人心得，以期對(duì)后來的參與者得到一些幫助，并希望與大家共同學(xué)習(xí)和交流。

關(guān)鍵詞：全國(guó)高中；數(shù)學(xué)；聯(lián)合競(jìng)賽；平面幾何

在平面幾何中，有著一個(gè)非常重要的定理，梅涅勞斯定理，即 （一種基本形式）。這個(gè)定理在平面幾何中用處之廣不

必多說，許多同學(xué)把其當(dāng)作一個(gè)非?；A(chǔ)的定理，因?yàn)橥ㄟ^它可以推導(dǎo)出帕斯卡定理等。但是梅氏定理真的是那么基本嗎？我看并不是這樣，梅氏定理也可以通過共邊定理來證明。證明如下：

，即

即

這樣說明了一個(gè)什么問題呢？即用梅涅勞斯定理證明的題目均可以使用共邊定理來進(jìn)行證明，有時(shí)只是解答復(fù)雜的問題，但是一定可以做出，而共邊定理的本質(zhì)即是三角形的面積比例，這應(yīng)該算是一個(gè)非?；镜亩ɡ?，下面我舉一例子加以說明。

例一：（如圖二）

P為⊙O外一點(diǎn)，PA、PB分別切⊙O于A、B，C為⊙O上一點(diǎn)，過C作⊙O切線，分別交PA、PB于E、F，OC交AB于L，LP交EF于D，證明D為EF的中點(diǎn)。（1991年四川隊(duì)題）

證明：

=

∴DE=DF #

由此可以發(fā)現(xiàn)這道題可以用共邊定理一口氣解決。但是對(duì)于競(jìng)賽，許多同學(xué)感到困惑，這個(gè)是怎么想到的呢？難道是天分嗎？不對(duì)，這其中是有小技巧的。

從題目中，我們可以得到：A、B是圓上的兩任意點(diǎn)，這兩個(gè)點(diǎn)是沒有任何限制的，因此可以理解為初始點(diǎn)，記做“0”，而P點(diǎn)是過B、C兩切線的交點(diǎn)，只要BC位置確定，P點(diǎn)即確定，其中P與AB的關(guān)系為∠PBO=∠PAO=90°，即PB=PA，∴P由初始點(diǎn)確定，P也記做“0”級(jí)。C為任意點(diǎn)，∴C記做“0”級(jí)，L由CO，AB確定，∵C、O、A、B均為初始點(diǎn)，∴L為“1”級(jí)，E、F由PB與PA和C點(diǎn)確定，∴E、F為“1”級(jí)，而D點(diǎn)由PL、EF確定，∴將D點(diǎn)記做“2”級(jí)，題目即證：DE=DF，不難發(fā)現(xiàn)，D為本題中最復(fù)雜的點(diǎn)，而題目正是要證明這東西的相關(guān)性質(zhì)，利用共邊定理，從D點(diǎn)出發(fā)一步一步還原，消去點(diǎn)D，當(dāng)還原到基本點(diǎn)時(shí)，結(jié)果必定可以約掉，若約不掉，則題目有問題，下面舉一例子加以說明。

例二：在△ABC中，D為BC上任一點(diǎn)，O為△ABC內(nèi)任一點(diǎn)，BO交AC于N，CO交AB于M，DO交BA于E，AD交BN于F，MG交EN于G，證明G在BC上。

證明：“0”級(jí)的點(diǎn)：A、B、C、D、O

“1”級(jí)的點(diǎn)：M、N、E

“2”級(jí)的點(diǎn)：F

“3”級(jí)的點(diǎn)：G

∴從G開始消去，題目可以這樣理解，MF交BC于G，EN交BC于G'，只需證明即證畢。（這樣就將共線問題轉(zhuǎn)化成線段的比例問

題，就可以考慮使用共邊定理）

①

②

聯(lián)立①②即證明：

即即

（先消去C，再消去E、F，由于M、N在AB，AC上，非常容易表達(dá)，故最后消去M、N）。由于共邊定理是利用的面積比，而在三角形的面積公式中一個(gè)為，這樣便與一個(gè)三角形的角度結(jié)合起

來。因?yàn)楣策叾ɡ韮H是邊之間的轉(zhuǎn)化，不易解決角之間的問題，利用此公式便可與角度產(chǎn)生聯(lián)系，同時(shí)在三角函數(shù)中正弦定理可以實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，下面舉一三角函數(shù)相結(jié)合的例子。

例三：如圖四，三角形ABC中，BF⊥AC，CE⊥AB，D哦BC的中點(diǎn)，DE交AC于M，DF交BE于N，O為ΔABC的圓心，H為垂心，延長(zhǎng)OH，做AI⊥OH于I，證明M、I、A、N四點(diǎn)共圓。

證明：M、I、A、N四點(diǎn)共圓

∵

∴E、I、A、F、H五點(diǎn)共圓

∴

∴ 證

證

∴考慮證明

即證明

一方面：

對(duì)ΔBHO與ΔCHO考慮使用正弦定理

則 ①

另一方面：的比例轉(zhuǎn)化，考慮ΔMDF與ΔNED

②

結(jié)合①②，只需證

③

而

同理，原③式得證#

本題證明四點(diǎn)共圓不必多說。轉(zhuǎn)化到邊比例之后可以考慮共邊定理，但是涉及到許多的角度，故用共邊定理轉(zhuǎn)化具有一定的難度，所以可以考慮用三角的相關(guān)知識(shí)去解題，在這之中，同樣可以考慮消點(diǎn)的思想，盡量將復(fù)雜的邊轉(zhuǎn)化到基礎(chǔ)的邊上，如，當(dāng)觀

察到時(shí)，問題便基本解決了，若觀察不出，則也可以按例二的方式逐步消定。

參考文獻(xiàn)

[1]張景中 《新概念幾何》 中國(guó)兒童新聞出版總社2004.5

[2]馬洪炎 《平面幾何》 浙江大學(xué)出版社2007.6

[3]范端喜 鄧博文 《奧林匹克小叢書之平面幾何》 華東師范大學(xué)出版社 2013.1

作者簡(jiǎn)介

李昊然（2000-），男，重慶人，西南大學(xué)附屬中學(xué)高中2018級(jí)10班應(yīng)屆學(xué)生，獲得2017年9月全國(guó)數(shù)學(xué)聯(lián)賽二等獎(jiǎng)獲得者。endprint