游 泳

(北京理工大學(xué) 珠海學(xué)院，廣東 珠海 519088)

非線性單擺系統(tǒng)的Hopf分岔

游 泳

(北京理工大學(xué) 珠海學(xué)院，廣東 珠海 519088)

以單擺系統(tǒng)為例，將Wiggins提出的Hopf分岔?xiàng)l件進(jìn)行了具體計(jì)算。從理論上獲得了單擺系統(tǒng)發(fā)生次諧分岔的方式，并用數(shù)值模擬方法驗(yàn)證了結(jié)果的正確性；將Melnikov方法推廣到二頻驅(qū)動(dòng)情況，由二頻驅(qū)動(dòng)單擺的Hopf分岔?xiàng)l件得出存在奇-奇階次諧分岔和奇-偶階次諧分岔。數(shù)值模擬結(jié)果與理論分析一致，表明Melnikov方法可以處理多頻驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的Hopf分岔問(wèn)題。

單擺系統(tǒng)； Melnikov函數(shù)； Hopf分岔

擺系統(tǒng)廣泛存在于機(jī)械、電子、地震預(yù)測(cè)等各個(gè)領(lǐng)域中，是非常重要的基礎(chǔ)，已被許多人研究。文獻(xiàn)[1]用實(shí)驗(yàn)方法研究了受迫擺的混沌態(tài)和通向混沌道路，表明以對(duì)稱破缺為先兆，經(jīng)周期倍化、間歇行為和周期3分岔到混沌。文獻(xiàn)[2-6]分別對(duì)參數(shù)激勵(lì)擺的混沌區(qū)、逃逸區(qū)、旋轉(zhuǎn)解等方面作了研究，文獻(xiàn)[7]對(duì)帶有參數(shù)和激勵(lì)擺的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)問(wèn)題作了討論。文獻(xiàn)[8-9]用Melnikov方法分析了弱阻尼與參數(shù)激勵(lì)單擺的同宿分岔、次諧分岔和混沌問(wèn)題，文獻(xiàn)[10-11]用Melnikov理論分別討論了硬彈簧Duffing系統(tǒng)和Duffing-Van der pol系統(tǒng)的次諧分岔。但是，對(duì)單擺系統(tǒng)的次諧分岔未見(jiàn)報(bào)導(dǎo)。

(1)

式中：x為擺離開(kāi)最下端平衡位置的角度；δ′為阻尼系數(shù)；f′和ω分別為外驅(qū)動(dòng)幅度和角頻率。 這里δ′、f′、ω和t均已無(wú)量綱化。

單擺系統(tǒng)式(1)是處理擺動(dòng)問(wèn)題的經(jīng)典模型，如航空動(dòng)力學(xué)裝置、地震預(yù)測(cè)裝置、礦山篩分機(jī)械、機(jī)器人等高速旋轉(zhuǎn)設(shè)備都是建立在單擺模型上的。文獻(xiàn)[12]用數(shù)值模擬方法發(fā)現(xiàn)，受迫保守單擺系統(tǒng)中存在亞Hopf分岔。而Hopf分岔是動(dòng)態(tài)分岔，是對(duì)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的否定，對(duì)于結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定的系統(tǒng)，一個(gè)小擾動(dòng)就可能破壞軌線的拓?fù)涞葍r(jià)。此外，文獻(xiàn)[13]對(duì)倒擺的混沌運(yùn)動(dòng)做了實(shí)驗(yàn)研究，實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)3/1次諧分岔，該倒擺模型與式(1)僅差一個(gè)線性項(xiàng)。文獻(xiàn)[8]對(duì)文獻(xiàn)[13]中倒擺方程作了近似，用Melnikov方法對(duì)倒擺近似方程的次諧分岔問(wèn)題做了研究，結(jié)果未能解釋實(shí)驗(yàn)上的3/1次諧分岔。還有，Melnikov方法是否能處理多頻驅(qū)動(dòng)的Hopf分岔問(wèn)題？這些問(wèn)題促使本文進(jìn)一步研究單擺系統(tǒng)式(1)的Hopf分岔問(wèn)題。

1 Melnikov函數(shù)方法的Hopf分岔?xiàng)l件

考慮平面系統(tǒng)

(2)

在ε=0的情況下， 式(2)為哈密頓系統(tǒng)

(3)

對(duì)式(3)可以進(jìn)行作用-角變量變換，即

I=I(x,y),θ=θ(x,y)

(4)

其逆變換為

x=x(I,θ),y(I,θ)

(5)

式中，θ以2π為周期。

用式(3)周期軌道qk=(x,y)所圍面積來(lái)定義作用量I， 則歸一化作用量

(6)

由于這個(gè)面積不隨時(shí)間變化，而角量θ隨時(shí)間線性變化，則有

(7)

式中，Ω(I)為式(3)周期運(yùn)動(dòng)的角頻率。

變換式(5)是辛的，雅可比矩陣的行列式等于1。即

(8)

對(duì)于擾動(dòng)式(2)， 滿足諧振條件nT1=mT(n、m互質(zhì)，T1為無(wú)擾軌道qk的周期，T為外驅(qū)動(dòng)的周期)時(shí)的次諧Melnikov函數(shù)為[14-15]

(9)

式中：f∧g=f1g2-f2g1； trDf為雅可比矩陣Df的跡, 對(duì)于哈密頓系統(tǒng)有trDf=0。 則式(9)為

(10)

當(dāng)(x,y)→(I,θ)， 則Mm/n(k,t0,μ)→Mm/n(I0,θ0,μ)≡M1(I0,θ0,μ)； 且I=I0;θ0=Ω(I)t0。

在(I,θ)坐標(biāo)系中Hopf分岔?xiàng)l件為

(11)

(12)

其中，

(13)

2 單擺系統(tǒng)的次諧分岔

令δ′=εδ，f′=εf, 則式(1)可表示為

(14)

式中，ε為小量， 式(14)為近哈密頓系統(tǒng)。

2.1 無(wú)擾單擺系統(tǒng)的周期解[17]

令式(14)中的ε=0， 得無(wú)擾系統(tǒng)

(15)

其哈密頓量為

(16)

式(15)的不動(dòng)點(diǎn)為(nπ,0) (n=0,±2,±4,…為中心，n=±1,±3,±5,…為鞍點(diǎn))，周期解為

qk=(x,y)=(2 arcsin(ksn(t,k)),
2kcn(t,k), 0lt;klt;1

(17)

式中： snt、 cnt分別為橢圓正弦函數(shù)和橢圓余弦函數(shù)。 閉軌qk的周期為T1=4K(k)；K(k)為第一類橢圓積分；k為橢圓函數(shù)的模。將式(17)代入式(16)得

(18)

2.2 單擺系統(tǒng)Hopf分岔?xiàng)l件的計(jì)算

對(duì)于式(14)，由式(10)可得次諧Melnikov函數(shù)為

(19)

將式(17)代入式(19)完成積分得

M1(k,t0,μ)=

(20)

式中，nqk為沿閉軌qk旋轉(zhuǎn)了n圈。上式的第一個(gè)積分用式(6)表示，對(duì)第二個(gè)積分進(jìn)行分部積分，則得次諧Melnikov函數(shù)

M1(I0,θ0,μ)=

(21)

與式(20)比較可得

(22)

于是，在(I,θ)坐標(biāo)系中的次諧Melnikov函數(shù)為

M1(I0,θ0,μ)=

(23)

(24)

由式(13)和式(14)可得

R(I0,θ0,μ)=-δmT

(25)

(26)

(27)

通過(guò)選擇θ0總可使條件式(26)和式(27)同時(shí)成立。由式(22)和式(24)可得

(28)

由以上校核單擺系統(tǒng)的Hopf分岔?xiàng)l件可知：

(1) 由于單擺系統(tǒng)式(14)滿足式(11)和式(12)中的Hopf分岔?xiàng)l件，所以， 當(dāng)ω與Ω之間滿足次諧共振條件式(29)時(shí)，如果減小阻尼使參數(shù)δ變?yōu)?，則系統(tǒng)式(14)通過(guò)Hopf分岔，從非線性阻尼運(yùn)動(dòng)突變?yōu)闊o(wú)阻尼的周期m(奇數(shù))運(yùn)動(dòng)，分岔前后的軌線拓?fù)洳坏葍r(jià)。

(29)

(2) 單擺系統(tǒng)式(14)只存在m/1=1/1，3/1，5/1，…的奇數(shù)階次諧分岔，不存在m/1=2/1，4/1，6/1，…的偶數(shù)階次諧分岔，與文獻(xiàn)[12]數(shù)值仿真結(jié)果吻合，也解釋了倒擺實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)的3/1次諧分岔。文獻(xiàn)[8]中的系統(tǒng)式(1)與系統(tǒng)式(14)僅在于擾動(dòng)項(xiàng)不同，其中出現(xiàn)m/1=2/1，4/1，6/1，…的偶數(shù)階次諧分岔，可見(jiàn)，次諧分岔方式與擾動(dòng)形式有關(guān)。

(3) 系統(tǒng)式(14)的Hopf分岔僅與驅(qū)動(dòng)頻率ω有關(guān)，而與驅(qū)動(dòng)的幅度f(wàn)無(wú)關(guān)。

(4) 根據(jù)式(29)可得單擺系統(tǒng)的Hopf分岔曲線，如圖1所示。

圖1 Hopf分岔曲線Fig.1 Hopf bifurcrcation curve

2.3 數(shù)值模擬

數(shù)值模擬時(shí)，由圖1確定參數(shù)(k,ω)， 在周期軌道qk上取初值來(lái)求解式(14)。

2.3.1 固定m,f， 改變k

固定f=0.025，m=3, 取參數(shù)(k,ω)=(0.02，2.999 7)，(0.1，2.992 48)，(0.68，2.558 43)，(0.7，2.361 74)，在分岔點(diǎn)作系統(tǒng)式(14)的Poincare截面，呈現(xiàn)3/1階次諧分岔，如圖2所示。m為其他奇數(shù)值時(shí)， 與m=3的情況類似， 每個(gè)閉軌qk上排布著m(奇數(shù))個(gè)Hopf圈， 即產(chǎn)生m/1(m為奇數(shù))階次諧分岔。 當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，數(shù)值模擬表明閉軌qk上沒(méi)有Hopf圈產(chǎn)生，表明不發(fā)生偶數(shù)階次諧分岔。數(shù)值模擬結(jié)果與理論分析符合。

圖2 3/1階次諧分岔產(chǎn)生的Hopf圈Fig.2 Hopf circles of 3/1 subharmonic bifurcation

2.3.2 固定f與k，改變m

固定f=0.25，k=0,2， 取(m,ω)=(1，0.989 87)，(3，2.996 962)，(5，4.949 36)，(9，8.908 85)，用這些參數(shù)在分岔點(diǎn)作系統(tǒng)式(14)的Poincare截面，出現(xiàn)m/1=1/1,3/1,5/1,7/1,9/1,…階次諧分岔，如圖3所示。與理論預(yù)言完全一致。

圖3 不同階次諧分岔產(chǎn)生的Hopf圈Fig.3 Hopf circles of different orders subharmonic bifurcation

2.3.3 固定m,ω與k，改變f

在m=5的分岔曲線上取ω=4.949 36，k=0.2， 將εf從0.25一直調(diào)至0.65， 閉軌qk(k=0.2)都發(fā)生5/1階次諧分岔，與參數(shù)f無(wú)關(guān)，f的大小僅改變Hopf圈裂開(kāi)的程度，如圖4所示。這一結(jié)果與理論預(yù)言一致。

數(shù)值研究表明， 當(dāng)f大于某個(gè)值后，次諧分岔消失。作者認(rèn)為，這可能是f大到一定程度后，驅(qū)動(dòng)項(xiàng)不能看作微擾，導(dǎo)致次諧Melnikov函數(shù)的Hopf分岔理論失效。

圖4 Hopf分岔與驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度的關(guān)系Fig.4 Relattion of Hopf bifurcation and drive intensty

3 二頻驅(qū)動(dòng)的單擺系統(tǒng)的次諧分岔

在實(shí)際問(wèn)題中，系統(tǒng)往往受到多個(gè)不同強(qiáng)度、不同頻率的周期性外力的驅(qū)動(dòng)。例如，電路系統(tǒng)往往是在多個(gè)信號(hào)同時(shí)激勵(lì)下工作。因此，研究多頻驅(qū)動(dòng)不僅有理論意義，而且有應(yīng)用價(jià)值。

3.1 二頻驅(qū)動(dòng)問(wèn)題的理論分析

對(duì)式(14)再加上一個(gè)周期驅(qū)動(dòng)，使之成為

(30)

當(dāng)系統(tǒng)式(30)滿足諧振條件nTk=m1T1=m2T2(n與m1、m2互質(zhì),Tk=4K(k)，T1=2π/ω1，T2=2π/ω2)時(shí)的次諧Melnikov函數(shù)為

(31)

將式(17)代入式(31)得

(32)

將式(32)用作用-角變量表示，則

(33)

其中，

(34)

由式(13)得

R(I0,θ0,μ)=-δmT

(35)

根據(jù)式(33)～式(35)可以證明， 除n≠1,m1、m2均為偶數(shù)外，可以通過(guò)選擇θ0使式(11)和式(12)得以滿足。

綜上所述，可得二頻驅(qū)動(dòng)情況下的有關(guān)結(jié)論：

(36)

(2) 根據(jù)式(33)中n=1,m1,m2均為奇數(shù)的情況可知，Hopf分岔?xiàng)l件與兩驅(qū)動(dòng)幅度f(wàn)1、f2有關(guān)。即二頻驅(qū)動(dòng)的單擺，其奇-奇階次諧分岔與兩驅(qū)動(dòng)幅度f(wàn)1、f2有關(guān)，這與單頻驅(qū)動(dòng)的情況不同。

(3) 由式(36)可得二頻驅(qū)動(dòng)單擺系統(tǒng)的Hopf分岔曲線，如圖5所示。

(a)

(b)圖5 二頻驅(qū)動(dòng)問(wèn)題的次諧分岔曲線Fig.5 Subharmonic bifurcation curve in two-frequency drives

3.2 二頻驅(qū)動(dòng)問(wèn)題的Hopf分岔的數(shù)值模擬

(37)

這種情況數(shù)值模擬時(shí)，參數(shù)m1、m2、ω1、ω2、k由式(36)確定。

(38)

式中：χ=f2/f1;γ=m2/m1;c=m1π/2。

3.2.1 奇-偶階Hopf分岔的數(shù)值模擬

在圖5上取參數(shù)(k,ω1)和(k,ω2)， 即用頻率分別為ω1,ω2的兩個(gè)外力驅(qū)動(dòng)周期軌qk。 例如取(k,m1,ω1,m2,ω2,f1,f2,δ)=(0.2,3,2.969 62,4,3.959 49,0.25,0.25,0)，用初值(t,x0,y0)=(0,0,0.4)求解方程式(30)， 獲得Poincare截面如圖6(a)和圖6(b)所示。 發(fā)生(m1/1,m2/1)=(3/1,4/1)階次諧岔。同理，取(k,m1,ω1,m2,ω2,f1,f2,δ)=(0.4,3,2.873 41,12,11.493 63,0.25,0.25,0)，用與k=0.4相應(yīng)的初值求解方程式(30)， 獲得Poincare截面如圖6(c)和圖6(d)所示，出現(xiàn)(m1/1,m2/1)=(3/1,12/1)階次諧分岔。 若取m1=10,m2=8， 則得Poincare截面如圖6(e)和圖6(f)所示。將圖6(e)、圖6(f)兩圖中的小線段放大后， 發(fā)現(xiàn)是折線而不是Hopf圈(如圖6(e)中的放大圖所示)。因此，不會(huì)發(fā)生偶-偶階次諧分岔，與理論預(yù)言一致。

圖6 二頻驅(qū)動(dòng)問(wèn)題：有奇-偶階Hopf分岔，無(wú)偶-偶階Hopf分岔Fig.6 Odd-even Hopf bifurcation in two-frequency drives

3.2.2 奇-奇階Hopf分岔的數(shù)值模擬

例如，取(χ,γ,m1Ω,m2Ω,k)=(0.1,0.6,5×0.788 01,3×0.788 01,0.799)， 求解系統(tǒng)式(30)得Poincare截面如圖7 (a)所示。取(χ,γ,m1Ω,m2Ω,k)=(0.1,0.6,15×0.788 01,9×0.788 01,0.799)求解式(30)得Poincare截面如圖7(b)所示(放大圖中每一線段都是Hopf圈)。均是奇-奇階次諧分岔，與理論預(yù)言一致。

圖7 二頻驅(qū)動(dòng)問(wèn)題：奇-奇階Hopf分岔Fig.7 Odd-odd Hopf bifurcation in two-frequency drives

4 結(jié) 論

綜上所述，對(duì)單擺系統(tǒng)閉軌的次諧分岔有如下結(jié)論：

(1) 次諧Melnikov函數(shù)方法對(duì)處理多頻驅(qū)動(dòng)的Hopf分岔問(wèn)題也適用，但隨驅(qū)動(dòng)數(shù)增加，分析難度也迅速加大。

(2) 次諧分岔僅發(fā)生在保守情況下，耗散因素將消除次Hopf分岔，次Hopf分岔產(chǎn)生的機(jī)制是次諧共振。

(3) 單頻驅(qū)動(dòng)情況，僅產(chǎn)生奇數(shù)階次諧分岔，且Hopf分岔的條件僅與驅(qū)動(dòng)頻率有關(guān)，與驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度無(wú)關(guān)。

(4) 在雙頻驅(qū)動(dòng)下，可以產(chǎn)生奇-偶和奇-奇階次諧分岔，但不會(huì)出現(xiàn)偶-偶階次諧分岔.其中奇-奇階Hopf分岔?xiàng)l件不僅與驅(qū)動(dòng)頻率有關(guān)，還與驅(qū)動(dòng)幅度有關(guān)。

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Hopfbifurcationinnonlinearforcedsinglependulumsystems

YOU Yong

(ZhuHai Campus, Beijing Institute of Technology, Zhuhai 519088, China)

Based on the necessary and sufficient conditions for existence of Hopf bifurcation, the ways to generate subharmonic bifurcation for a single pendulum system were provided. Furthermore, this paper presented an application of the Melnikov method in a two-frequency-driven single pendulum system. The Hopf bifurcation and its conditions were discussed and its application illustrates that the method can solve many problems of Hopf bifurcation in a multi-frequency-driven single pendulum system.

single pendulum system; Melnikov function; Hopf bifurcation

2016-11-24 修改稿收到日期： 2016-12-30

游泳 男，碩士，副教授，1976年生

O322；O415.6

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.22.017