夏茂龍， 黎 勝,2

(1.大連理工大學 工業(yè)裝備結構分析國家重點實驗室 船舶工程學院,大連 116024；2.高新船舶與深海開發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心,上海 200240)

基于聲壓測量的結構模態(tài)參數(shù)辨識

夏茂龍1， 黎 勝1,2

(1.大連理工大學 工業(yè)裝備結構分析國家重點實驗室 船舶工程學院,大連 116024；2.高新船舶與深海開發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心,上海 200240)

通過建立輻射聲壓與激振力之間的聲壓頻響函數(shù)矩陣，提出了一個基于測量聲壓識別振動結構模態(tài)參數(shù)的方法。該方法可以通過非接觸測量聲壓來識別結構的固有頻率、模態(tài)阻尼比與模態(tài)振型，避免了附加質量對結構的影響。聲壓頻響函數(shù)矩陣是基于邊界元和Rayleigh積分方法結合有限元結構動力學方程建立的，適用于任意結構且與結構模態(tài)參數(shù)有明確的關系；對于測量聲壓時多激勵單輸出與單激勵多輸出響應的不同試驗模式，該方法都能識別結構的模態(tài)參數(shù)。以一平板結構為例，數(shù)值驗證了該方法的準確性與適用性。

聲壓測量；模態(tài)參數(shù)；聲壓頻響函數(shù)；振動聲輻射

結構振動及輻射噪聲可通過構建的模態(tài)分析模型來表述，若建立了準確的分析模型，可解決結構優(yōu)化控制、結構設計、響應預測等一系列問題，因此如何獲得表征模型的模態(tài)參數(shù)是一個重要的基礎和前提[1]。試驗模態(tài)分析作為一個傳統(tǒng)的實驗方法通過測試結構系統(tǒng)的激勵與響應如位移、速度、加速度信號，建立系統(tǒng)的輸入與輸出之間的傳遞函數(shù)來識別結構的模態(tài)參數(shù)[2]。在測試過程中：①測量輸出響應的傳感器如加速度計等會對結構產生附加質量的影響，特別是對于對稱結構或者密集模態(tài)結構，附加質量會對結構識別的模態(tài)參數(shù)產生較大影響；②測量輸出響應的傳感器須貼附在結構的表面，當結構表面處于高溫等惡劣環(huán)境、結構表面無法接近或者無法貼附傳感器時，則無法通過傳感器來測量結構的響應。雖通過激光測振儀、高速攝像機等方法可通過非接觸測量來獲得結構的響應，但是儀器較為昂貴，也不能被廣泛應用[3]。而基于聲壓的測量是一種非接觸測量方法，其與結構的激勵與響應相關，同時可以避免附加質量、結構表面不可測等問題，基于此本文探討了利用測量的聲壓信號來識別結構模態(tài)參數(shù)的方法。

國內外學者針對聲壓測量來獲得結構振動響應也做了很多研究，如近場聲全息方法(Inverse Numerical Acoustics，NAH)[4-5]、聲學逆問題求解方法(Noise,Vibration and Harshness,INA)[6]等可以通過聲壓測量陣列來實現(xiàn)結構表面振動響應的重建，但其需要輻射聲場的近場聲壓陣列信息，且很少對結構的模態(tài)分析進行探討。Prezelj等[7]利用表面近場的測量聲壓實現(xiàn)了振動結構模態(tài)重構，但是其要求所測量的聲壓須為距離結構振動表面非常近的近場聲壓信息。Zhu等[8-9]通過有限元方法建立聲固耦合的動力學方程，并以此實現(xiàn)了結構的模態(tài)參數(shù)的辨識，然而此方法需建立聲固耦合系統(tǒng)的有限單元模型，對于復雜的結構或者聲場測量時，計算量非常大。國內學者基于聲壓測量的研究主要針對結構噪聲控制，對模態(tài)參數(shù)識別方面的研究較少。

而利用邊界元方法或者Rayleigh積分方法，可直接建立結構振動響應與輻射聲場響應之間的關系[10-12]。由此，本文采用邊界元方法和Rayleigh積分方法，無需重構結構表面振動信息，建立了結構激勵與聲壓響應之間的聲壓頻響函數(shù)，推導出輻射聲場與結構模態(tài)參數(shù)之間的關系，進而實現(xiàn)了模態(tài)參數(shù)(固有頻率、阻尼比、模態(tài)振型)的識別。該方法通過非接觸測量輻射聲場中的響應，可以避免加速度計等附加質量的影響；采用的邊界元方法和Rayleigh積分方法可以僅離散表面的單元，計算簡便且計算量小。若輻射聲場中聲壓可測量得到，則可通過測量輻射聲場中任一適當位置的聲壓信息來實現(xiàn)結構的模態(tài)參數(shù)辨識。對于不同的試驗模式，該方法都可以識別結構的模態(tài)振型，對于單激勵多輸出系統(tǒng)來說，若識別了聲壓模態(tài)振型，不僅可以實現(xiàn)振動模態(tài)振型的識別，而且可通過聲壓模態(tài)振型表述振動產生的輻射聲場。最后以一空氣中的平板結構為例，通過數(shù)值分析測量結構的聲壓響應得到了結構的聲壓頻響矩陣，分別計算了不同試驗模式下識別的固有頻率、模態(tài)阻尼比及模態(tài)振型，得到的結果與數(shù)值解吻合，并討論了隨著距離的變化，識別的聲壓振型隨距離變化的影響。

1 結構振動產生的輻射聲場

對于封閉表面結構振動產生的輻射聲場問題，可看做給定的結構表面聲壓或法向速度在空間中產生的聲場，該聲場可以通過Kirchoff-Helmholtz方程得到，若P為場點中任意一點，Q為結構封閉表面S上任意點，可建立結構的法向振速與聲場中任意一點的聲壓的關系。即

(1)

式中：G(Q,P)=e-ikL/4πL為自由空間格林函數(shù)；p(Q)為點Q處的聲壓值；L=|Q-P|為聲壓場點P與結構表面法向振速點Q之間的距離；k=ω/c為波數(shù)；c為聲速；n為表面S的外法線方向；C(P)為邊界系數(shù)；取決于點P的位置。

對Kirchoff-Helmholtz方程進行離散，可得到結構表面單元的聲壓向量{PS}與結構表面法向振動速度{Vns}的公式

[Es]{Ps}=[Ds]{Vns}

(2)

式中：[Es]、[Ds]為系數(shù)矩陣。通過離散后的Kirchoff-Helmholtz方程，聲場中任意一點的聲壓可用結構表面聲壓與結構表面法向振速表示

{Pf}=[Ef]{Ps}+[Df]{Vns}

(3)

式中，[Ef]、[Df]為系數(shù)矩陣。

將式(2)與式(3)聯(lián)立，可以得到聲場中任意一點聲壓P與結構表面振動法向速度之間的關系，即

{Pf}=([Ef][Es]-1[Ds]+[Df]){Vns}=[Dv]{Vns}

(4)

對于無限大平面障板結構，結構的振動表面可以離散成許多單元表面dS。則結構振動產生的輻射聲場中的聲壓可以通過Rayleigh積分得到，即聲場中的聲壓Pf可以表示為

(5)

式中：ρ0為介質的密度；ω為結構表面振動頻率。將Rayleigh積分離散，可得到聲場中任意一點聲壓Pf與離散的結構表面單元法向速度{Vns}之間的關系，即

{Pf}=[Dv]{Vns}

(6)

而對于結構表面法向速度{Vns}與結構表面速度{V}之間的可以通過轉換矩陣G給出

{Vns}=[G]T{V}

(7)

式(4)、式(6)又可寫作

{Pf}=[Dv]{Vns}=[Dv][G]T{V}=[R]{V}

(8)

式中，[R]可以定義為離散形式的輻射算子。

對于未封閉表面的三維結構，可通過間接邊界元方法建立結構振動與產生的輻射聲場的關系。綜上所述，對于任意形狀的結構而言，都可以由式(8)建立結構振動輻射聲場中任一點的聲壓Pf與結構表面振動速度{V}之間的關系，據此可建立和分析下節(jié)中聲壓頻響函數(shù)矩陣，得到結構振動激勵與振動輻射聲場中聲壓的關系。

2 結構振動的頻響函數(shù)矩陣

若忽略結構與聲場的耦合作用，當結構受到簡諧激振力Feiωt作用時，結構的動力學方程可以表示為

(9)

則頻響函數(shù)矩陣H

(-ω2M+iωC+K)=H-1(iω)

(10)

在上述方程的兩端同時左乘ΦT，右乘Φ，由于振型Φ的正交性，則式(10)左端化為對角陣，即

(-ω2Mr+iωCr+Kr)=ΦTH-1(iω)Φ

(11)

兩端取逆矩陣，得到結構振動的位移頻響函數(shù)

H(iω)=Φ(-ω2Mr+jωCr+Kr)-1ΦT=Φ(S)-1ΦT(12)

式中，S為對角陣，其對角線元素Srr

(13)

當在j點加單位激振力，i點測量響應的幅值時，

(14)

式(14)可以寫成更一般的形式

(16)

即通過式(15)得到多自由度結構的頻響函數(shù)矩陣H(iω)。

3 結構輻射聲場中聲壓頻響函數(shù)矩陣與模態(tài)參數(shù)識別

若測得在施加結構j點的激振Fj，結構振動輻射聲場中i點的聲壓Pi，則可定義聲壓傳遞矩陣

(17)

由式(8)可知，結構振動輻射聲場中的任意一點的聲壓可由結構表面振動的速度獲得，在簡諧激勵作用下

(18)

若結構自由度為N，結構的單元數(shù)為n，則式(18)可寫作

(19)

式中，Rim為矩陣R第i行第m個元素，繼續(xù)化簡可得到

(21)

式中，ψir為第r階模態(tài)振型振動時輻射聲壓響應，可定義為第r階聲壓模態(tài)振型，其與結構的激振頻率ω、聲壓位置i對應的輻射算子R，第r階模態(tài)振型φr相關。

為進一步確定各個參數(shù)之間的關系，以離散的Rayleigh積分為例，化簡可得到

即結構的聲壓模態(tài)振型的幅值與結構的振動頻率ω2，介質密度ρ0成正比，當結構表面單元確定后，聲壓模態(tài)振型與振動模態(tài)振型φmr，聲壓點與結構表面單元距離L相關。

則結構振動產生的輻射聲場中i點的聲壓也可表示為

(23)

式中，qr為第r階的結構模態(tài)坐標；通過式(23)可以看出輻射聲場中任一點的聲壓可以通過聲壓模態(tài)振型與結構的模態(tài)坐標求得。

因此n個點聲壓與m個激振力之間的聲壓頻響函數(shù)矩陣為

式中，HAi,j由式(20)、式(21)表示為

(25)

進一步的，通過表達式(24)、式(25)可以得到在特定頻率下，結構振動產生的輻射聲壓與結構的激振力成正比，這也與Zhu等的結論相同，驗證了文獻[13]的假設，另外，文獻[14]假設在非常近場的情況下，聲壓的振幅與結構振動的振幅成比例。在此，在固定的頻率下，若聲壓的位置i與結構振動表面單元j的位置非常近，由式(22)可得，

(26)

由式(26)得到結構的聲壓振幅與結構振動幅值成線性關系[14]。

基于頻響函數(shù)矩陣分析結構模態(tài)參數(shù)的方法有很多，如峰值提取法、有理分式多項式法、正交多項式法、PolyMax法等[15]。式(25)與式(15)對比可知，聲壓頻響函數(shù)矩陣與振動頻響函數(shù)矩陣具有相同的形式，兩式都包含的相同極點sr。因此，可以通過模態(tài)分析法來獲得結構的固有頻率、模態(tài)阻尼比、模態(tài)振型。

值得注意的一點是，振型矢量通?？梢酝ㄟ^對一系列響應測點求出的留數(shù)得到。而聲壓頻響函數(shù)雖然與振動頻響函數(shù)具有相同形式的留數(shù)矩陣，但是其包含的聲壓模態(tài)振型與振動模態(tài)振型不同，識別的結果也有所不同。

聲壓頻響函數(shù)的留數(shù)定義為

式中：ψmr為聲壓模態(tài)振型第r階第m個元素；φnr為振動模態(tài)振型第r階第n個元素。

(1)當結構進行任意n點激勵，測得任意一點j的聲壓響應輸出時，即通過聲壓頻響函數(shù)矩陣獲得聲壓留數(shù)矩陣Br的第j行，由式(27)通過計算得到振動模態(tài)振型φr。

(2)當結構受任意一點i激勵，m個聲壓響應值輸出時，即通過聲壓頻響函數(shù)矩陣獲得留數(shù)矩陣Br的第i列，由式(27)通過計算得到聲壓模態(tài)振型ψr。

因此，根據不同的試驗模式，我們可以分別得到結構的振動模態(tài)振型φr與聲壓模態(tài)振型ψr。

進一步，若無法通過(1)直接獲得結構振動模態(tài)振型φr，而只能通過(2)得到結構的聲壓模態(tài)振型ψr，則式(21)寫成矩陣的形式

ψr=Rpφr,Rp=iωR

(28)

所以

(29)

但是在聲學逆問題求解過程中，仍存在很多問題[16]。當Rp的條件數(shù)很大即為病態(tài)矩陣時，若ψr引入很小的噪聲干擾，就會引起φr的擾動。而這在試驗模態(tài)分析中測量是難以避免的，當Rp為病態(tài)矩陣時直接由式(29)計算的模態(tài)振型φr是不準確的。

對此很多學者也做了研究。若Rp可隨試驗條件改動，則可通過增加聲場測點的位置，來豐富聲場信息從而降低矩陣Rp的條件數(shù)，再通過式(29)來直接計算結構的模態(tài)振型。若Rp不可改動，則可通過截斷奇異值分解(Truncated Singular Value Decomposition,TSVD)[17]或者正則化方法[18]來降低結構的“病態(tài)性”，從而計算得出結構的模態(tài)振型。

4 數(shù)值計算與討論

4.1 模型的的建立

以四邊簡支的矩形鋼板在空氣中的振動聲輻射為例進行數(shù)值計算，平板板長Lx=0.455 m，板寬Ly=0.379 m，板厚h=0.003 m，板密度ρs=7 850 kg/m3，彈性模量E=2.1×1011N/m2，泊松比υ=0.3，空氣密度ρ0=1.21 kg/m3，聲速c=343 m/s，平板結構設為瑞利阻尼，阻尼系數(shù)基于結構的前兩階頻率ω1、ω2和阻尼比0.01得到：α=7.362，β=1.177×10-5。

計算中采用四邊形四節(jié)點等參單元將平板單元離散為16×16的單元，單元節(jié)點數(shù)為289，因四邊簡支，邊界上的每個節(jié)點有2個轉動自由度，中間的節(jié)點每個有1個垂向平動自由度和2個轉動自由度，故自由度數(shù)為803。有限元是基于Mindlin板彎曲理論，板單元Rayleigh積分的離散與有限元計算同樣的網格?？赏ㄟ^有限元數(shù)值計算得到結構前6階的固有頻率與模態(tài)振型，模態(tài)阻尼比可由瑞利阻尼系數(shù)與固有頻率得到。

在試驗模態(tài)數(shù)值計算過程中，主要在兩種試驗模式下計算聲壓頻響函數(shù)，分別為單激勵輸入多聲壓輸出系統(tǒng)與多激勵輸入單聲壓輸出系統(tǒng)，具體如下：①激振力作用于編號40(x=0.284 m,y=0.071 m)的位置，大小為1 N;測量距離平板z=0 m，z=0.01 m，z=0.05 m，z=0.08 m，z=0.1 m，z=0.15 m，z=0.2 m的所有節(jié)點位置處的聲壓幅值，通過式(17)、式(24)獲得隨距離、頻率變化的聲壓頻響函數(shù)矩陣。②對板表面除邊界外的編號位置進行激勵，測量編號40，距離平板z=0 m,z=0.01 m,z=0.05 m,z=0.08 m,z=0.1 m,z=0.15 m,z=0.2 m位置處的聲壓幅值，通過式(17)、式(24)獲得獲得隨距離、頻率變化的聲壓頻響函數(shù)矩陣。

采用有理分式多項式法對獲得的聲壓頻響函數(shù)矩陣進行擬合，獲得結構的頻率和模態(tài)阻尼比。對于多激勵輸入單聲壓輸出系統(tǒng)的試驗模式來說，可計算出結構振動模態(tài)振型，對于在節(jié)點或者節(jié)點線上測點的結果因其無法準確獲得其對應階的頻響函數(shù)，故所識別的對應階的頻率、模態(tài)阻尼比、模態(tài)振型系數(shù)不予采用。對于單激勵輸入多聲壓輸出的的試驗模式來說，可由式(25)、式(26)獲得結構的固有頻率、模態(tài)阻尼比與聲壓模態(tài)振型。同樣的若測點在節(jié)點或者節(jié)點線上，則所識別的對應階的頻率、模態(tài)阻尼比、聲壓模態(tài)振型系數(shù)不予采用。進一步的，若通過結構表面的離散單元計算求出Rp，當z=0.08 m時，Rp的條件數(shù)為1.58×107，此時無法通過式(29)通過聲壓模態(tài)振型準確計算出振動模態(tài)振型。因此當z≥0.08 m時采用TSVD法來改善Rp矩陣的性態(tài)。 平板結構及測點位置見圖1。

圖1 平板結構及測點位置Fig.1 The plate structure and positions of measurement

4.2 計算結果與討論

通過數(shù)值計算分別為單激勵輸入多聲壓輸出系統(tǒng)與多激勵輸入單聲壓輸出系統(tǒng)的聲壓頻響函數(shù)矩陣，再通過擬合進行結構的模態(tài)參數(shù)識別。由于結構的固有頻率和阻尼比僅通過適當一點的聲壓頻響函數(shù)即可識別，本節(jié)采用了編號40(x=0.284 m,y=0.071 m)、49(x=0.144 m,y=0.095 m)、152(x=0.057 m,y=0.284 m)位置的測量數(shù)據求出結構的固有頻率與阻尼比并取平均值。以距離表面z=0.01 m,z=0.08 m,z=0.2 m為例，識別的結果與采用有限元方法計算的結果如表1～表3，得到的結構模態(tài)振型以z=0.08 m為例如表4。將求得的結構模態(tài)振型與有限元分析得到的模態(tài)振型進行模態(tài)置信度準則(Modal Assurance Criterion，MAC)分析，以此來判斷識別的振型與理論振型的準確性，得到MAC矩陣如表5。

由MAC分析可知，矩陣的對角元素大于99%，非對角元素遠遠小于主對角元素，驗證了識別振型的準確性。

表1 z=0.01 m模態(tài)識別結果與有限元計算結果對比

表2 z=0.08 m模態(tài)識別結果與有限元計算結果對比

表3 z=0.2 m模態(tài)識別結果與有限元計算結果對比

表4 模態(tài)振型結果與有限元計算結果(z=0.08 m)

表5 識別模態(tài)振型與有限元分析模態(tài)振型的MAC矩陣(z=0.08 m)

測量距離對于模態(tài)參數(shù)識別的結果有一定的影響。且隨著距離的增加，識別的聲壓模態(tài)振型也會有所不同，在此同樣以平面鋼板為例，探討了隨距離變化，對聲壓模態(tài)振型的識別結果如表6。

通過表6可知，隨著距離的增加，所識別的模態(tài)聲壓振型也有所不同，即對于單模態(tài)振動而言，當距離表面較近時，結構的聲壓模態(tài)振型與結構的模態(tài)振型成比例關系；當距離增加時，結構的聲壓模態(tài)振型隨著波陣面擴展，所識別的聲壓模態(tài)振型結果同振動模態(tài)振型也會有較大變化；當距離gt;0.5 m時，對于奇-奇振動模態(tài)而言，在觀測面上不再有明顯的振型區(qū)別，對于偶-偶模態(tài)而言，在觀測面上只有邊角處有較大數(shù)值。因此，在傳聲器布置位置時，需考慮距離的變化對聲壓模態(tài)振型的影響，選擇適當?shù)膫髀暺鳒y量結果來進行模態(tài)參數(shù)的識別。

表6 不同距離下前6階聲壓模態(tài)振型識別結果

以一平板結構的數(shù)值計算結果分析，在多激勵輸入單聲壓輸出與單激勵多輸出的試驗分析中，表1、表2、表3的結果表明，識別的前6階固有頻率、模態(tài)阻尼比與有限元分析的模態(tài)固有頻率與阻尼比吻合，且隨著與平板距離的增加，傳聲器在z=0.01 m,z=0.08 m,z=0.2 m上也同樣能識別準確的結構固有頻率與模態(tài)阻尼比。之所以能準確地識別前6階模態(tài)參數(shù)在于：所選的觀測平面位于平板結構的正上方，且與平板的激振方向一致；所選測點的位置避開了振動模態(tài)振型或聲壓模態(tài)振型的節(jié)點與節(jié)點線，可以同時得到多階模態(tài)振動響應產生的輻射聲壓；同樣隨著距離的增加，所測聲壓雖小，但沒有其他噪聲的干擾，因此能得到各階模態(tài)振動聲輻射的聲壓響應。若所選的測點位置不當或考慮噪聲的影響而無法獲準確得對應階模態(tài)振動輻射聲場的響應，則影響此方法識別的精度。

以z=0.08 m為例，由表5、表6可知，在多激勵輸入單聲壓輸出與單激勵多單聲輸出的試驗分析中，所識別的振動模態(tài)振型與有限元分析結果吻合，經MAC矩陣的驗證，矩陣的主對角元素大于99%，這也驗證了所識別振動模態(tài)的準確性。當z≤0.08 m，所識別的聲壓振型與所識別的模態(tài)振型相似，這也數(shù)值驗證了Elwali等的假設。隨著距離的增大，在觀測面的聲壓模態(tài)振型有了較大變化，因此在傳聲器布置時同樣要考慮距離的影響。

5 結 論

本文基于邊界元和Rayleigh積分方法結合有限元結構動力學方程，推導出結構的聲壓頻響函數(shù)矩陣，建立了聲壓頻響函數(shù)矩陣與結構模態(tài)的關系，并基于此提出了基于振動產生的輻射聲壓來識別振動結構的模態(tài)參數(shù)(固有頻率、阻尼比、結構模態(tài)振型)的方法，該方法可以通過非接觸測量振動產生的輻射聲壓來識別，避免了附加質量對結構的影響。對于聲壓測量的多激勵單輸出與單激勵多輸出響應的不同試驗模式，該方法都能識別結構的固有頻率、模態(tài)阻尼比與模態(tài)振型。最后以一平板結構為例，數(shù)值驗證了該方法的準確性與適用性。數(shù)值結果表明，該方法能準確地識別平板結構的固有頻率、模態(tài)阻尼比與模態(tài)振型，驗證了基于聲壓測量的模態(tài)參數(shù)識別方法的準確性，具有一定的工程實用價值。

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Identificationofstructuralmodalparametersbasedonsoundpressuremeasurement

XIA Maolong1, LI Sheng1,2

(1.State Key Laboratory of Structural Analysis for Industrial Equipment, School of Naval Architecture,Dalian University of Technology, Dalian 116024, China;2. Collaborative Innovation Center for Advanced Ship and Deep-Sea Exploration, Shanghai 200240, China)

Based on the frequency response function of sound pressure, a method of identifying structural modal parameters from measured sound pressure was proposed. It can accurately identify the structural natural frequencies, damping ratios and mode shapes from the measured sound pressure, and can avoid mass loading due to the use of vibration sensors on the structure in traditional measurements. Combined with structural dynamic equations, the sound pressure frequency response function was established based on the boundary element method and the Rayleigh integral formulation for sound radiation from an arbitrary body. The method was also able to identify the structural modal parameters with Single-Input-Multiple-Output testing and Multiple-Input-Single-Output testing. Finally the accuracy and the validity of the method were verified through numerical simulations.

sound pressure measurement; identification of modal parameters; frequency response function of sound pressure; vibration and sound radiation

遼寧省教育廳重點實驗室基礎研究項目(LZ2014004)

2016-04-11 修改稿收到日期：2016-07-18

夏茂龍 男，博士生，1988年生

黎勝 男，博士，教授，博士生導師，1973年生

TU311.3

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.22.036