尋找數(shù)學(xué)有趣的密碼

文︳徐 晟

尋找數(shù)學(xué)有趣的密碼

文︳徐 晟

很多人都說數(shù)學(xué)是枯燥的，乏味的學(xué)科。這是因?yàn)閿?shù)學(xué)是形式科學(xué)的一種，它抽象、嚴(yán)密，越到高一級知識越明顯，學(xué)生不易接受。所以，教學(xué)時(shí)一定要將數(shù)學(xué)知識通俗化、趣味化，才能讓學(xué)生易于理解。但現(xiàn)實(shí)教學(xué)情況不容樂觀，因此許多學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)時(shí)感到恐懼和焦慮。

比如，中學(xué)數(shù)學(xué)中“無理數(shù)”概念的學(xué)習(xí)。這個(gè)概念可是引發(fā)了數(shù)學(xué)史上的第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，它是抽象的、難理解的。如果教學(xué)中不作通俗化的處理，學(xué)生根本就不知道這個(gè)概念是怎么產(chǎn)生的，有什么本質(zhì)屬性。因此，教材是這樣編排的（如圖）。

為什么學(xué)習(xí)數(shù)，要從幾何開始？這樣設(shè)計(jì)，是符合歷史，也符合邏輯的。因?yàn)椋瑹o理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，正是從研究正方形的對角線與邊的關(guān)系中產(chǎn)生的。

歷史上，古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯將數(shù)學(xué)知識運(yùn)用得純熟之后，覺得不能只滿足于用來算題解題，于是他試著從數(shù)學(xué)領(lǐng)域擴(kuò)大到哲學(xué)，用數(shù)的觀點(diǎn)去解釋世界。經(jīng)過一番刻苦實(shí)踐，他提出“萬物皆為數(shù)（指有理數(shù)）”的觀點(diǎn)：數(shù)的元素就是萬物的元素，世界是由數(shù)組成的，世界上的一切沒有不可以用數(shù)來表示的，數(shù)本身就是世界的秩序。

但是，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的弟子希帕索斯發(fā)現(xiàn)了一個(gè)驚人的事實(shí)，一個(gè)正方形的對角線與其一邊的長度是不可公度的（若正方形的邊長為1，則對角線的長不是一個(gè)有理數(shù)）。這一不可公度性與畢氏學(xué)派的“萬物皆為數(shù)”的觀點(diǎn)大相徑庭。這一發(fā)現(xiàn)使該學(xué)派領(lǐng)導(dǎo)人惶恐，認(rèn)為這將動(dòng)搖他們在學(xué)術(shù)界的統(tǒng)治地位，于是極力封鎖該真理的流傳。希帕索斯被迫流亡他鄉(xiāng)。不幸的是，在一條海船上還是遇到畢氏門徒。最終他被畢氏門徒殘忍地投入了水中殺害。

希帕索斯的發(fā)現(xiàn)，第一次向人們揭示了有理數(shù)系的缺陷，證明了它不能同連續(xù)的無限直線等同看待，有理數(shù)并沒有布滿數(shù)軸上的點(diǎn)，在數(shù)軸上存在著不能用有理數(shù)表示的“孔隙”。而這種“孔隙”經(jīng)后人證明簡直多得不可勝數(shù)。于是，古希臘人把有理數(shù)視為連續(xù)銜接的那種算術(shù)連續(xù)統(tǒng)的設(shè)想徹底地破滅了。不可公度的發(fā)現(xiàn)，對以后2000多年數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響，促使人們從依靠直覺、經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)向依靠證明，推動(dòng)了公理幾何學(xué)和邏輯學(xué)的發(fā)展，并且孕育了微積分思想。人們?yōu)榱思o(jì)念希帕索斯這位為真理而獻(xiàn)身的可敬學(xué)者，就把不可公度的量取名“無理數(shù)”——這就是無理數(shù)的由來。

由無理數(shù)引發(fā)的數(shù)學(xué)危機(jī)一直延續(xù)到19世紀(jì)下半葉。1872年，德國數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的分割來定義無理數(shù)，并把實(shí)數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上，從而結(jié)束了無理數(shù)被認(rèn)為無理的時(shí)代，也結(jié)束了持續(xù)2000多年的數(shù)學(xué)史上的第一次大危機(jī)。

由此看來，無理數(shù)來之不易，學(xué)習(xí)無理數(shù)概念時(shí)，讓學(xué)生知道這段歷史，既可以幫助他們更好地理解概念，也增添了趣味性。

你是有心人，教學(xué)可以從這一點(diǎn)出發(fā)，學(xué)習(xí)概念后，再讓學(xué)生從數(shù)學(xué)美的角度體驗(yàn)數(shù)學(xué)的有趣。

我們來看看與無理數(shù)有關(guān)的美妙的式子，趣味會來得更足。比如這個(gè)式子：

這個(gè)優(yōu)美的式子來自印度數(shù)學(xué)奇才拉馬努金。他曾經(jīng)深入地研究了形如上式的無窮根式并得到了這個(gè)神奇的結(jié)果。傳說拉馬努金曾經(jīng)把這個(gè)結(jié)果放在《印度數(shù)學(xué)會刊》上征集證明，結(jié)果數(shù)月內(nèi)無人能應(yīng)。

如果上式還不足以讓人驚嘆，那再看看這個(gè)：

這個(gè)絕美的公式不僅將圓周率和e聯(lián)系起來，還將黃金分割數(shù)也包含在內(nèi)。它的發(fā)現(xiàn)者，仍然是印度數(shù)學(xué)奇才拉馬努金。1913年，來自南印度的小職員拉馬努金，給當(dāng)時(shí)32歲就已經(jīng)執(zhí)掌英國數(shù)學(xué)界牛耳的哈代去了一封長達(dá)9頁的信，信中附帶了120條他發(fā)現(xiàn)的公式，上面這個(gè)公式就是其中的一條。這條公式令哈代完全摸不著頭腦，他從沒見過這樣的公式，連稍微接近點(diǎn)的都沒有！但是哈代確信這個(gè)公式是對的，因?yàn)闆]有人能有這樣的想象力去編造這樣漂亮的公式。果然不久之后，數(shù)學(xué)家們就嚴(yán)格地證明了這個(gè)公式，它和諧而又氣勢磅礴的形式令每一個(gè)初次見到它的人都會為之悸動(dòng)！借用哈代的一句話：“這個(gè)公式完全打敗了我，我無法確信世界上居然還會有這種東西存在！”

數(shù)學(xué)就是那么巧妙，圓周率和e都是無理數(shù)，那你再看看它——eπi+1=0。這就是受到我們?nèi)f世敬仰的歐拉公式。它將數(shù)學(xué)里最重要的幾個(gè)數(shù)字聯(lián)系到了一起：兩個(gè)無理數(shù)：自然對數(shù)的底e，圓周率π；兩個(gè)單位：虛數(shù)單位i和自然數(shù)的單位1；以及被稱為人類偉大發(fā)現(xiàn)之一的0。數(shù)學(xué)家們評價(jià)它是“上帝創(chuàng)造的公式”。

歷史上的歐拉是一位全才數(shù)學(xué)家，同時(shí)也是一名虔誠的教徒，篤信上帝的存在。據(jù)說有一次俄國的葉卡捷琳娜二世邀請狄德羅訪問她的宮廷，而狄德羅是一名不折不扣的無神論者。不久，葉卡捷琳娜二世就厭倦了狄德羅那喋喋不休的無神論說教之詞，讓歐拉來好好教訓(xùn)他一頓。歐拉開門見山地質(zhì)問道：“eπi+1=0，所以上帝存在，請回答！”結(jié)果不懂?dāng)?shù)學(xué)的狄德羅被弄得一頭霧水，無言以對。

你看，本來枯燥難懂的無理數(shù)概念，經(jīng)過挖掘，前后多了許多有趣的事情。學(xué)習(xí)前，可以了解歷史故事，學(xué)習(xí)后，可以欣賞美妙的公式。

也許你會問，欣賞過后呢？我們能否自己創(chuàng)造？最后看看這個(gè)例子，你就知道答案了。

話說世人皆知勾三股四弦五，而鮮有人知道這個(gè)簡單的等式：33+43+53=63。這個(gè)完美的式子可以在上述提到的英國數(shù)學(xué)家哈代所著的《數(shù)論導(dǎo)引》中找到，它是一類三次不定方程最簡單的特解。學(xué)習(xí)勾股定理時(shí)，我們都會寫32+42=52。然而寫完就了事。實(shí)際上，稍微類比運(yùn)算一下，就能得出33+43+53=63?？墒?，大家都沒有想到它，與數(shù)學(xué)有趣的密碼失之交臂，多么令人遺憾！

（作者單位：長沙市雅禮中學(xué)）