金融數(shù)學(xué)概述及其展望

(中南財經(jīng)政法大學(xué)，湖北 武漢 430073)

金融數(shù)學(xué)概述及其展望

程子桐

(中南財經(jīng)政法大學(xué)，湖北 武漢 430073)

本文將以二次華爾街革命為主線，簡單概述金融數(shù)學(xué)產(chǎn)生以及發(fā)展的集成，金融數(shù)學(xué)的一般理論，并針對金融數(shù)學(xué)的現(xiàn)狀對其未來發(fā)展做出展望。

金融數(shù)學(xué)；期權(quán)定價；金融衍生工具

一、引言

自從兩次合計革命以來，金融數(shù)學(xué)得到了前所未有的發(fā)展，成為了一門以數(shù)學(xué)與金融為主的交叉學(xué)科。它的主要內(nèi)容包括對完全隨機情況下的投資組合最佳選擇理論以及資產(chǎn)的定價理論。其概念和基礎(chǔ)經(jīng)濟思想是最優(yōu)、均衡和套利。從金融數(shù)學(xué)出現(xiàn)以來已經(jīng)有近60年的發(fā)展歷史，尤其是最近幾年來，金融數(shù)學(xué)的很多假定理論得到了證實和大量的應(yīng)用，帶動了整個金融市場內(nèi)大量產(chǎn)品的創(chuàng)新，讓金融交易更加豐富，這門學(xué)科在我國的經(jīng)濟發(fā)展中同樣有著不可或缺的作用，在未來也會與經(jīng)濟繁榮更加密切相關(guān)。

二、金融數(shù)學(xué)的初步發(fā)展

金融數(shù)學(xué)這一名詞的首次提出是出自于一位法國數(shù)學(xué)家的博士論文中，用以描述股票價格的布朗運動。再后來的1905年愛因斯坦也曾做過相關(guān)研究，不過并未引起當(dāng)時學(xué)界的廣泛關(guān)注。直到20世紀中葉，薩維奇終于開始認識到這一學(xué)科所代表的巨大意義，開始對其進行更加細致的研究，金融數(shù)學(xué)的研究開始進入“黃金時代”，掀開了嶄新的一頁。

金融數(shù)學(xué)是在兩次華爾街革命中開始完善起來的。第一次革命表現(xiàn)在靜態(tài)投資組合的研究上。1952年，馬可韋茨提出了以均值為理論基礎(chǔ)的方差模型投資組合問題的研究，但這一理論計算風(fēng)險資產(chǎn)價格的協(xié)方差計算量太大，威廉在1964年又提出了CAPM資產(chǎn)定價模型，它在假設(shè)市場均衡的基礎(chǔ)上，任何資產(chǎn)的預(yù)期收益率是市場風(fēng)險的線性函數(shù)，也就是零風(fēng)險利率加風(fēng)險補償即為預(yù)期收益率，做出了導(dǎo)致資產(chǎn)與其收益率波動的最主要原因是系統(tǒng)風(fēng)險。

第二次革命是決策由靜轉(zhuǎn)動。1970年，固定匯率被浮動匯率所代替，市場上出現(xiàn)了諸如期貨等衍生工具，這些工具的作用無異是管控金融風(fēng)險，不過要想真正實現(xiàn)就必須要對衍生工具作出定價。巴舍利耶的布朗運動模型直接導(dǎo)致了隨機過程數(shù)學(xué)與金融工程學(xué)的出現(xiàn)。

三、金融數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論

如今，金融數(shù)學(xué)主要用于以數(shù)學(xué)方式的研究成果來描述經(jīng)濟、管理、金融等領(lǐng)域的問題，它的基礎(chǔ)理論可以在三個方面加以體現(xiàn)。

(一)投資組合選擇理論

維茲將隨機變量定位在投資組合中的股價上面，設(shè)方差為風(fēng)險而均值為收益，探索在收益固定前提下盡量減少風(fēng)險的投資組合問題，并且將其表達為二次規(guī)劃的最優(yōu)解：

MaxXTVX

這里X=(x1,x2,…,xn)T代表一種投資組合，Xi代表投資在第i支股上的權(quán)重，H=(h1,h2,…,hn)T是收益的均值向量，V是收益的協(xié)方矩陣，r是容許范圍內(nèi)最低限度的收益率，L=(l1,l2,…,ln)T、P=(p1,p2,…,pn)是買空賣空限，而li=0、pi=1時賣空買空都不可以。

Marco Weitz不但將這一模型的求解問題進行了解決，并證明了多種證券的組合投資較僅投資一種證券風(fēng)險較小，它目前仍是風(fēng)投的基礎(chǔ)綱領(lǐng)。

(二)CAPM理論

實際上Marco Weitz所提出的投資組合模型在應(yīng)用于股價的協(xié)方差計算上不太容易，所有在1964年，William Sharpe又提出了CAPM模型：

E[Ri]=RF+βi(E[RM]-RF)

這里的RF代指沒有風(fēng)險的資產(chǎn)收益率。RM代指市場資產(chǎn)組合收益，βi=Cov(RI,RM)/Var(RM)為分風(fēng)險系數(shù)。這個模型詳細敘述了系統(tǒng)風(fēng)險和投資風(fēng)險二者的數(shù)量關(guān)系，讓投資者能夠更為直白的看到由于擔(dān)負風(fēng)險而獲取回報的線性關(guān)系。并提出了獲得投資收益的因素只有系統(tǒng)風(fēng)險，而其余風(fēng)險能夠以投資組合的方式加以分散。

在上個世紀70年代，Black和Schools在其共同著作中提出了著名的BS公式，并認為股票股價和期望收益率沒有關(guān)系，也就是投資偏好不會影響期權(quán)的合理價格，是非風(fēng)險中性的。

四、金融數(shù)學(xué)最新進展

(一)隨機最優(yōu)控制論

這一理論是在20世紀60年代在控制理論中使用Buerman最優(yōu)策略，并綜合測度論以及泛函分析方法衍生出來的針對隨機問題的解決理論。

(二)鞅理論

這一理論是金融數(shù)學(xué)界比較新的理論方法。它提出了金融市場在一定的假設(shè)下，其價格是一種隨機鞅的形式。卡拉塔茲等人使用這一概念做出了衍生證券的定價問題，對金融市場運作秩序進行了比較詳實的描述，并給出了處理復(fù)合衍生產(chǎn)品定價以及風(fēng)險管控的所有計算步驟，也解決了不完全市場領(lǐng)域衍生產(chǎn)品定價問題。當(dāng)前國外的以鞅理論為基礎(chǔ)的定價論在金融數(shù)學(xué)界有著重要地位，國內(nèi)也開始尋求以這一理論進行研究。

(三)最優(yōu)停時理論

這一理論可以說實用價值很高，不過將其使用在解決金融問題上的研究還比較基礎(chǔ)，大多數(shù)研究成果都停留在初級階段，也不是很多，不過學(xué)界很多研究者都認為這一理論在投資組合上將會產(chǎn)生較為不錯的效果。

(四)微分對策理論

穩(wěn)態(tài)假設(shè)并不能完全代表金融領(lǐng)域的現(xiàn)實環(huán)境。每當(dāng)出現(xiàn)不正常波動是，證券價格就不會遵循布朗運動規(guī)律。這時使用隨機動態(tài)模型的方式對投資組合問題進行探討的話，會產(chǎn)生極大的偏差，而使用微分對策理論則不會出現(xiàn)這種問題。它能夠擴大市場穩(wěn)態(tài)的假定范圍，也能夠?qū)⒉淮_定性干擾作為另一方，針對最差的部分進行優(yōu)化。

(五)其他研究理論、實證方法

科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展讓金融數(shù)學(xué)的中很多假設(shè)都能夠?qū)崿F(xiàn)，小波分析.遺傳算法、仿退火算法 、非電子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等與一般金融學(xué)理論組合起來，在多個數(shù)學(xué)領(lǐng)域方面都起到了不錯的成效，國內(nèi)的研究也漸漸隨著金融業(yè)的復(fù)興而更加繁榮起來。

五、金融數(shù)學(xué)現(xiàn)今的問題

在以往對金融經(jīng)濟進行描述的模式一般有兩種，也就是隨機游走模型和決定論模型，這兩種模型可以說是處于對立狀態(tài)，前者由Newton提出，認為如果開始時狀態(tài)一致的話金融經(jīng)濟的的運轉(zhuǎn)動作完全可以預(yù)判，而后者是由Brown提出，認為各個階段的收益率互不影響，不同階段的收益率分散是一致的。最近幾十年，金融學(xué)界也有著較大的分歧：有的研究者從分析技術(shù)出發(fā)，認為市場是按照一種規(guī)則往復(fù)運轉(zhuǎn)的；也有學(xué)者以分析非線性系統(tǒng)為突破口，不相信市場按一定規(guī)律往復(fù)運轉(zhuǎn)，最近的研究是學(xué)者使用新的方法手段證明了在金融經(jīng)濟范疇中，實際上應(yīng)該是兩中運轉(zhuǎn)模式共同存在，如果這一結(jié)論有著更有力的證明，那么現(xiàn)在的學(xué)界起碼有下面幾個問題擺在研究者面前：

1、分析金融經(jīng)濟的變動的三種性質(zhì)，也就是對所謂的無序性、朦朧性、籠統(tǒng)性作出全面探討，從而對其之間的承接條件、變換構(gòu)造、演化進程、性質(zhì)特點、誘發(fā)結(jié)果和應(yīng)該使用的針對性的經(jīng)濟策略(貨幣戰(zhàn)略)。

2、對以貨幣信譽為基礎(chǔ)的貨幣需要量、供應(yīng)量、經(jīng)濟資產(chǎn)流動和流速做出系統(tǒng)分析，研究出貨幣平衡與失衡的正確限定以及實際模型，對改進社會金融平穩(wěn)狀態(tài)對財經(jīng)、經(jīng)濟、物資、外匯的均衡提出有力的憑據(jù)。

3、全面分析物價指數(shù)、稅率、保率、利率、匯率，為制訂有序的三率模式供給行之有效的數(shù)學(xué)模型。

4、對組織能源以及產(chǎn)出能力因素的抉擇進行設(shè)置，并結(jié)合金融經(jīng)濟目標(biāo)為探討標(biāo)的的多方向統(tǒng)合分析，使其更好的、更普遍的使用在金融數(shù)學(xué)研究之中。

六、結(jié)語

隨著科技和學(xué)界理論的愈發(fā)豐富，金融數(shù)學(xué)的研究愈發(fā)受到廣大學(xué)者的關(guān)注，20世紀末，數(shù)十位學(xué)者聯(lián)合發(fā)起了巴舍利耶金融學(xué)會(Bachelier Financial Society)，希望以學(xué)術(shù)界的密切交流推進各種數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)模型在金融性中的靈活使用，很多專門研究將數(shù)學(xué)與金融學(xué)相結(jié)合的刊物諸如Management Science、Theory and Decision、Journal of Financial and Quantitative Analysis等也紛紛創(chuàng)刊，金融數(shù)學(xué)進入繁榮時期，中國也已經(jīng)把金融數(shù)學(xué)列為國家密切關(guān)注的研究學(xué)科，受到廣泛關(guān)注，在現(xiàn)今的金融學(xué)術(shù)研究中，數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法、模型占有著極其重要的位置，很多浸淫于數(shù)學(xué)和理學(xué)研究的專家學(xué)者都開始將目光投向了金融數(shù)學(xué)的研究當(dāng)中，為現(xiàn)今的金融學(xué)研究注入了巨大的動力。

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