周凌峰

數(shù)學(xué)中的很多問題由于學(xué)生思維的片面性會被誤解，甚至是漏解，這種思維的片面性即使是優(yōu)秀的學(xué)生也不例外，所以在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生縝密的思維品質(zhì)，幫助其克服思維的片面性很有必要。

一、產(chǎn)生思維片面性的原因分析

1.概念不清

很多學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，往往只注重怎樣解題，對概念的學(xué)習(xí)不夠重視，特別是對概念的內(nèi)涵和外延的理解膚淺，造成解題時思維的片面性。

【例1】m為非負(fù)數(shù)，試判斷關(guān)于x的方程4mx2-4mx+m-3=0的根的情況。

解：∵△=（-4m）2-4×4m（m-3）=48m

又∵m為非負(fù)數(shù)

∴m>0

∴△=（-4m）2-4×4m（m-3）=48m>0

∴原方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根

這里，學(xué)生把“非負(fù)數(shù)”理解為“正數(shù)”，概念不清，縮小了概念的外延，m的值還可以為0。數(shù)學(xué)中這樣易錯的概念還有很多，如把“不大于”理解為“小于”，把“點(diǎn)不在圓內(nèi)”理解為“點(diǎn)在圓外”等。

2.忽略定理、公式成立的條件

數(shù)學(xué)中的許多定理、公式總是在一定的條件下成立的，忽略了它們成立的條件就會誤解或漏解。

【例2】若關(guān)于x的一元二次方程2x2-2x+3m-1=0有兩個實(shí)數(shù)根x1、x2，且x1·x2>x1+x2-4，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

解：∵x1+x2=1，x1·x2=

∴ >1-4

∴m>

此時，學(xué)生忽略根與系數(shù)關(guān)系成立的前提為一元二次方程要有實(shí)數(shù)根，根的判別式△=（-2）2-4×2（3m-1）≥0，即m≤，所以正確的結(jié)果應(yīng)為

3.思維定勢的負(fù)面影響

所謂思維定勢，就是指在解決問題的過程中所形成的比較固定的思維方式。思維定勢在問題解決的過程中一般起限制作用，它限制著形成假設(shè)的范圍，并使所嘗試的問題解決方法固定化。

【例3】關(guān)于x的方程2kx2+（8k+1）x+8k=0有兩個不相等的實(shí)根，求k的取值范圍。

解：由Δ=（8k+1）2-4×2k×8k>0

得k>

出錯原因是受思維定勢的影響，認(rèn)為方程中出現(xiàn)x2項(xiàng)就是一元二次方程的一種思維準(zhǔn)備狀態(tài)，忽略了二次項(xiàng)系數(shù)k≠0。同樣受分配律m（a+b）=ma+mb的思維方式的負(fù)遷移，學(xué)生經(jīng)常認(rèn)為式子sin（x+y）=sinx+siny，lg（x+y）=lgx+lgy都是成立的，數(shù)學(xué)中的此類問題在學(xué)生中屢見不鮮。

4.缺乏解后反思的習(xí)慣

波利亞指出：“即使是相當(dāng)好的學(xué)生，當(dāng)他得到問題的解答，并且很干凈利落地寫下論證后，他就會合上書本，找點(diǎn)別的事來做。這樣，他們就錯過了解題的一個重要而有教益的方面。通過回顧所完成的解答，通過重新考慮和重新檢驗(yàn)這個結(jié)果和得出這個結(jié)果的路子，學(xué)生們可以鞏固他們的知識和發(fā)展他們的解題能力?！笨梢娊夂蠓此嫉闹匾浴Ａ硪环矫?，解后反思還可以發(fā)現(xiàn)和檢驗(yàn)解題的完備性、是否漏解，有助于培養(yǎng)縝密的思維品質(zhì)。

【例4】已知⊙O1與⊙O2相交于A、B，兩圓的半徑分別為13cm和15cm，公共弦AB=24cm，求兩圓的圓心距O1O2的長。

大部分學(xué)生只考慮兩圓的圓心在公共弦兩側(cè)的情形（如圖1），解出O1O2=14cm，往往不假思索認(rèn)為問題已經(jīng)解決了，卻忽視了兩圓的圓心在公共弦的同側(cè)的情形（如圖2），造成了漏解。

很多幾何問題由于圖形位置的變化，若不注意解后多反思解答的完備性，丟解現(xiàn)象則在所難免。

二、培養(yǎng)學(xué)生縝密思維的幾點(diǎn)做法

1.加強(qiáng)概念的教學(xué)

概念是思維的基本單位，概念是否清晰、理解是否透徹對學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的影響很大。概念是對事物本質(zhì)屬性的概括，具有較強(qiáng)的抽象性，學(xué)生不易掌握。所以教師在概念教學(xué)中要讓學(xué)生進(jìn)行充分的自主活動，使他們有機(jī)會經(jīng)歷概念產(chǎn)生的過程，了解概念產(chǎn)生的條件，把握概念形成的規(guī)律，在分化和比較的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生及時對各個刺激模式中的共同屬性進(jìn)行抽象，并從共同特征中抽象出本質(zhì)屬性。及時對概念的本質(zhì)特征進(jìn)行抽象概括，有利于學(xué)生更加準(zhǔn)確、迅速地掌握概念，否則就有可能使無關(guān)特征得到強(qiáng)化，使學(xué)生將無關(guān)特征當(dāng)成本質(zhì)特征，從而產(chǎn)生對概念的錯誤理解。

例如，在學(xué)習(xí)角的正弦的概念時，可先引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用三角形相似的知識得出角的對邊與斜邊之比為一個常數(shù)，它與角的大小有關(guān)而與角的對邊與斜邊的長度無關(guān)，由此抽象出角的正弦本質(zhì)上是一個比值，是以角為自變量的一個函數(shù)。學(xué)生深刻理解這個概念后，輔以適當(dāng)?shù)木毩?xí)，類似sin（x+y）=sinx+siny的錯誤則會大量減少。

2.理清定理、公式的來龍去脈

數(shù)學(xué)中很多定理、公式往往都有它成立的條件和適用的范圍，有的教師在教學(xué)中喜歡把這些知識慷慨地奉送給學(xué)生，在學(xué)生還沒有搞清楚它們的來龍去脈時就急于讓他們應(yīng)用這些定理、公式解決問題，導(dǎo)致學(xué)生知其然而不知其所以然，造成誤解或漏解。

例如，前述例3中a0=1使用的條件為a≠0，教材中給出此公式時，規(guī)定0的零次方無意義，學(xué)生并不理解這一規(guī)定，甚至有的教師也不求甚解。實(shí)際上，該公式的源頭為同底數(shù)冪的除法am÷an=am-n（a≠0），當(dāng)m=n時即為a0=1，a=0時分母為零沒有意義，a0=1就不成立了。

3.發(fā)揮定勢的積極作用，克服定勢的消極影響

由于思維定勢是指向?qū)ο蟮囊环N動力準(zhǔn)備狀態(tài)，是因?yàn)榻處熯^分強(qiáng)調(diào)求同思維而形成的，所以在數(shù)學(xué)概念和規(guī)律的應(yīng)用時，要加強(qiáng)“變式”教學(xué)，善于從不同的角度、不同的方向?qū)ふ医鉀Q問題的方法和途徑，強(qiáng)調(diào)“一題多解”“一題多變”，在不斷尋求變化中培養(yǎng)學(xué)生的求異思維。教師既要培養(yǎng)學(xué)生解決類似問題的心理導(dǎo)向，又要引導(dǎo)學(xué)生遇到用習(xí)慣方法難以解決或解決不全面的有關(guān)問題時積極嘗試換其他角度思考。

4.培養(yǎng)學(xué)生解后反思的習(xí)慣

學(xué)生解題往往得到答案就萬事大吉了，很少有解后反思的習(xí)慣，教師應(yīng)加強(qiáng)引導(dǎo)讓學(xué)生逐步形成解后反思的習(xí)慣。筆者認(rèn)為解后可反思更佳解法，反思解題所用的思想方法，反思問題是否可引申和一般化，反思解題是否完備。特別是對解題完備性的反思可有效防止漏解，增加思維的嚴(yán)密性。

例如，PA、PB是⊙O的兩條切線，A、B為切點(diǎn)，∠P=40°，若M是⊙O上異于A、B的一個動點(diǎn)，求∠AMB的度數(shù)。這個問題很多學(xué)生習(xí)慣上都會得出∠AMB=70°，如果學(xué)生能反思一下，既然M是動點(diǎn)，就讓它動起來，在圓周上運(yùn)動一周是否還有別的可能情形，則會得出M在劣弧AB上時∠AMB=110°。大多數(shù)的幾何問題只要有反思的習(xí)慣，多變換圖形的位置，就可順利解決。