趙建學，俞翔，柴凱，楊慶超

1海軍工程大學動力工程學院，武漢430033

2海軍工程大學科研部，武漢430033

雙層隔振系統(tǒng)隔振性能分析

趙建學1，俞翔2，柴凱1，楊慶超2

1海軍工程大學動力工程學院，武漢430033

2海軍工程大學科研部，武漢430033

［目的］研究準零剛度隔振器各系統(tǒng)參數對隔振性能的影響，可為其應用于隔振系統(tǒng)提供攻關方向。［方法］以線性隔振、準零剛度隔振組成的雙層隔振系統(tǒng)和兩自由度等效線性隔振系統(tǒng)為對象，分別建立動力學模型；采用平均法推導諧波力激勵條件下2個系統(tǒng)的功率流傳遞率，證明前者比后者有更好的隔振性能，并提出增強雙層隔振系統(tǒng)隔振效果的方法。［結果］研究表明，雙層隔振系統(tǒng)第2階共振頻率對應的功率流傳遞率最大值小于1，意味著其在第2階共振頻率附近范圍內仍具有隔振效果，從而克服了兩自由度線性隔振系統(tǒng)的缺點。［結論］雙層隔振系統(tǒng)可通過適當減小阻尼比、質量比和剛度比來提高其隔振性能，且比等效線性隔振系統(tǒng)的低頻隔振性能更好。

準零剛度；雙層隔振；功率流傳遞率

0 引 言

由傳統(tǒng)隔振理論可知，線性隔振器的起始隔振頻率為系統(tǒng)固有頻率的 2倍。為實現(xiàn)低頻隔振，需減小線性隔振器的剛度，但這會減弱系統(tǒng)的承載能力。由此，國內外學者提出了具有較高靜剛度和較低動剛度的準零剛度隔振器［1］，克服了線性隔振器降低固有頻率與提高承載力之間的矛盾，具有良好的低頻隔振效果［2-3］，在艦船動力設備振動噪聲控制領域有著廣闊的應用前景。準零剛度隔振器應用于雙層隔振、浮筏隔振時，較線性隔振有良好的低頻隔振效果和較寬的隔振頻帶［4-5］。如王心龍等［4］建立了一種帶有滾輪裝置的雙層準零剛度隔振系統(tǒng)的分段非線性動力學模型，并評估了系統(tǒng)隔振性能，結果表明雙層準零剛度隔振系統(tǒng)既具有良好的低頻隔振性能，又具有較寬的隔振頻帶。周加喜等［5］將準零剛度隔振器應用于浮筏隔振，構造單層準零剛度隔振浮筏，并評估了系統(tǒng)隔振性能，結果表明準零剛度浮筏隔振的起始頻率遠低于線性浮筏隔振且隔振效率遠高于線性系統(tǒng)。

隔振系統(tǒng)隔振性能的評價指標主要有：振級落差、功率流傳遞率（插入損失）、力傳遞率和傳遞功率流。對于安裝在柔性基礎的隔振系統(tǒng)，由于在多支承處的傳遞力在幅值和相位上的差異，功率流傳遞率或響應比形式的隔振效果評價方法帶有一定的缺陷，而且功率流傳遞率較傳遞功率流和振級落差更能準確、全面地評價系統(tǒng)隔振效果［6］。因此近年來功率流傳遞率方法受到越來越多的關注。樓京俊等［7］將基礎簡化為兩端固支的彈性梁并運用機械阻抗法推導了單層柔性隔振系統(tǒng)的傳遞功率流，通過數值仿真分析了偏心激勵對功率流傳遞特性的影響，將功率流與振級落差頻譜曲線進行了比較。夏仕朝等［8］利用四邊簡支矩形阻尼薄板模擬柔性基礎，運用機械阻抗法得到隔振系統(tǒng)的功率流傳遞公式，討論了系統(tǒng)各參數對隔振效果的影響。準零剛度隔振系統(tǒng)的隔振效果會受系統(tǒng)參數的影響，因此研究各系統(tǒng)參數對隔振性能的影響可為準零剛度隔振器應用于隔振系統(tǒng)提供攻關方向。

本文將分別建立由線性隔振、準零剛度隔振組成的雙層隔振系統(tǒng)和兩自由線性隔振系統(tǒng)的動力學模型，根據功率流傳遞率定義，采用平均法推導諧波力激勵條件下2個系統(tǒng)的功率流傳遞率，運用數值分析方法分析激勵力幅值、阻尼比、質量比和剛度比等參數對雙層隔振系統(tǒng)功率流傳遞率及共振頻率的影響，提出增強雙層隔振系統(tǒng)隔振性能的方法，并對2個系統(tǒng)的功率流傳遞率進行分析比較。

1 動力學建模與功率流傳遞率求解

1.1 準零剛度隔振器模型

如圖1所示，準零剛度隔振器由1個具有正剛度的豎直彈簧和2個具有負剛度的傾斜彈簧構成［9］。圖中：k0，k1分別表示準零剛度隔振器中傾斜彈簧和豎直彈簧的剛度；L0表示傾斜彈簧的長度；h表示系統(tǒng)處于平衡位置時豎直彈簧的壓縮量；a表示傾斜彈簧安裝位置到系統(tǒng)中心的距離；x表示隔振器的位移。

圖1 準零剛度隔振器示意圖Fig.1 Schematic diagram of quasi-zero stiffness isolator

當外力F作用于系統(tǒng)時，2個具有負剛度的傾斜彈簧在豎直方向上的力為

在外力F的作用下，準零剛度系統(tǒng)在豎直方向上的力為

將 f0代入式（2），可得

式（3）經無量綱化后，得

由式（6）可知，系統(tǒng)達到準零剛度的條件與豎直彈簧和傾斜彈簧的剛度比β、傾斜彈簧的原長L0，以及傾斜彈簧安裝位置到系統(tǒng)中心的距離a有關。

將式（4）在靜平衡位置附近進行泰勒展開，得

1.2 雙層隔振系統(tǒng)

假設基座為剛性，建立雙層隔振系統(tǒng)模型如圖2所示，其中上層為準零剛度隔振器，下層是線性隔振器。圖中：kqzs，k2分別表示準零剛度隔振器非線性剛度和線性隔振器剛度；c1，c2分別表示準零剛度隔振器阻尼和線性隔振器阻尼；Y1，Y2分別表示被隔振設備位移和中間質量塊位移；m1，m2分別表示被隔振設備質量及中間質量塊質量；FcosΩT表示加在隔振設備上的激勵。

圖2 雙層隔振系統(tǒng)示意圖Fig.2 Schematic diagram of double layer vibration isolation system

以向上為正方向，由圖（2）可得

令：

其中，a表示1.1節(jié)中負剛度機構左側安裝點距準零剛度隔振器中心的距離。則式（7）轉化為無量綱非線性系統(tǒng)模型：

令

則式（9）轉化為

式（10）可以轉化為矩陣形式：

其中，

采用平均法［9］，設該系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應解為：

聯(lián)立式（13）和式（14），可得

將式（12）、式（13）和式（15）代入式（11），得到

聯(lián)立式（16）和式（17），得到

式（18）和式（19）的右項可以用 ωt在一個周期中的平均值近似的代替，并認為u和v在ωt的一個周期內保持不變，從而得到平均化方程為：

則式（20）和式（21）可分別簡化為

其中，

令式（22）和式（23）的左項等于0，則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應解可以用下面含有v1，v2，u1和u2的多項式表示：

當該系統(tǒng)受到諧波力激勵FcosΩT時，傳遞到中間質量塊的無量綱力為

將式（12）和式（13）代入式（28），解得

其中，

則傳遞到中間質量塊的無量綱力 ft的幅值Ft可以表示為

根據功率流傳遞率的定義［10］，得到雙層隔振系統(tǒng)的功率流傳遞率為

1.3 兩自由度線性隔振系統(tǒng)

假設基座為剛性，建立兩自由度線性隔振系統(tǒng)模型，如圖3所示。k1，k2分別表示上、下層隔振器剛度；c1，c2分別表示上、下層隔振器阻尼；Y1，Y2分別表示被隔振設備位移和中間質量塊位移；m1，m2分別表示被隔振設備質量及中間質量塊質量；FcosΩT表示加在隔振設備上的激勵。彈簧k1的外半徑為r。

圖3 兩自由度線性隔振系統(tǒng)示意圖Fig.3 Schematic diagram of two degree of freedom linear vibration isolation system

以向下為正方向，由圖3可得

得到系統(tǒng)的無量綱運動微分方程

則式（34）可以化為矩陣形式：

其中，

采用與1.2節(jié)中相同的步驟，可以用以下含有v1，v2，u1和u2的多項式表示系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應解：

其中，

當系統(tǒng)受到諧波力激勵FcosΩT時，傳遞到中間質量塊的無量綱力為

解得

其中，

則傳遞到中間質量塊的無量綱力 ft的幅值Ft為

根據功率流傳遞率的定義，得到兩自由度線性隔振系統(tǒng)的功率流傳遞率為

2 功率流傳遞率特性研究

2.1 激勵幅值對系統(tǒng)功率流傳遞率的影響

當雙層隔振系統(tǒng)質量比、阻尼比、剛度比一定時，不同激勵力幅值 f條件下的系統(tǒng)功率流傳遞率如圖4所示。由圖4可以看到，系統(tǒng)有2階共振峰，第1階對應的振動以被隔振設備m1的運動為主，第2階對應的振動以中間質量塊m2的運動為主，下同。隨著激勵力幅值的增大，第2階共振頻率保持不變，第1階共振頻率增大且其對應的功率流傳遞率也增大。而且第2階共振頻率對應的功率流傳遞率最大值小于1，意味著準零剛度隔振系統(tǒng)在其第2階共振頻率附近范圍內仍具有隔振效果。

圖4 不同激勵力 f條件下雙層隔振系統(tǒng)功率流傳遞率參考值Fig.4 The reference values of power transfer rate of double layer vibration isolation system under different excitation forcef

2.2 阻尼比對系統(tǒng)功率流傳遞率的影響

當雙層隔振系統(tǒng)質量比、激勵力幅值、剛度比一定時，不同阻尼比ξ1（準零剛度隔振器中彈簧的阻尼比）條件下系統(tǒng)功率流傳遞率如圖5所示。由圖5可見，隨著阻尼比ξ1的增大，第2階共振頻率及第1階共振頻率對應的功率流傳遞率均保持不變，第2階共振頻率對應的功率流傳遞率增大。這意味著可以通過減小阻尼比來增強隔振系統(tǒng)的隔振效果。

圖5 不同阻尼比ξ1條件下雙層隔振系統(tǒng)功率流傳遞率參考值Fig.5 The reference values of power transfer rate of double layer vibration isolation system under different damping ratioξ1

當雙層隔振系統(tǒng)質量比、激勵力幅值、剛度比一定時，不同阻尼比ξ2（線性隔振器中彈簧的阻尼比）條件下的系統(tǒng)功率流傳遞率如圖6所示。由圖6可得，隨著阻尼比的增大，第2階共振頻率及其對應的功率流傳遞率均減小。所以可以通過減小阻尼比來增強隔振系統(tǒng)的隔振效果。

圖6 不同阻尼比ξ2條件下雙層隔振系統(tǒng)功率流傳遞率參考值Fig.6 The reference values of power transfer rate of double layer vibration isolation system under different damping ratioξ2

2.3 質量比對系統(tǒng)功率流傳遞率的影響

當系統(tǒng)的激勵幅值、阻尼比、剛度比一定時，不同質量比w條件下兩自由度準零剛度隔振系統(tǒng)的功率流傳遞率曲線如圖7所示。由圖7可得，隨著質量比的增大，系統(tǒng)最大功率流傳遞率和第1階共振頻率基本保持不變，但第2階共振頻率增大了。所以，可以適當減小質量比，從而減小雙層隔振系統(tǒng)的隔振起始頻率，增大隔振頻率范圍，提高其低頻隔振性能。

圖7 不同質量比w條件下雙層隔振系統(tǒng)功率流傳遞率參考值Fig.7 The reference values of power transfer rate of double layer vibration isolation system under different mass ratiow

2.4 剛度比對系統(tǒng)功率流傳遞率的影響

當雙層隔振系統(tǒng)質量比、激勵力幅值、阻尼比一定時，不同剛度比條件下系統(tǒng)功率流傳遞率如圖8所示。由圖8可看出，隨著剛度比 β增大，雙層隔振系統(tǒng)第1階共振頻率及其對應的功率流傳遞率增大，第2階共振頻率及其對應的功率流傳遞率不變。所以可通過適當減小剛度比來提高準零剛度隔振系統(tǒng)的隔振性能。

圖8 不同剛度比β條件下雙層隔振系統(tǒng)功率流傳遞率參考值Fig.8 The reference values of power transfer rate of double layer vibration isolation system under different stiffness ratioβ

3 雙層隔振系統(tǒng)與兩自由度線性隔振系統(tǒng)功率流傳遞率比較

為比較雙層隔振系統(tǒng)與兩自由度線性隔振系統(tǒng)的隔振性能，令準零剛度隔振器具有正剛度的豎直彈簧和線性隔振器取相同的剛度k1，使2個隔振器具有相同的承載能力。而且2個系統(tǒng)取相同的質量參數 m1和m2，相同的阻尼c1和c2，相同的剛度k2，相同的激勵 FcosΩT，由無量綱參數式（8）和式（25），得雙層隔振系統(tǒng)的阻尼比 ξ1，ξ2和質量比w與兩自由度線性隔振系統(tǒng)的阻尼比η1，η2和質量比w′存在如下關系：

取 ξ1=0.05，ξ2=0.05，w=0.6，則相應的η1=0.025，η2=0.001 5，w′=5/3。等效線性隔振系統(tǒng)激勵力對其功率流傳遞率沒有影響，其激勵力 p取值為0.1。

從圖9可看出，與兩自由度等效線性隔振系統(tǒng)相比，雙層隔振系統(tǒng)的隔振起始頻率更小，隔振頻率范圍更大，從而具有更好的低頻隔振性能。而且，雙層隔振系統(tǒng)第2階共振頻率對應的功率流傳遞率最大值小于1，意味著其在第2階共振頻率附近范圍內仍具有隔振效果，從而克服了等效線性隔振系統(tǒng)的缺點。

圖9 雙層隔振系統(tǒng)與兩自由度等效線性隔振系統(tǒng)功率流傳遞率參考值Fig.9 The reference values of power transfer rate of double layer vibration isolation system and equivalent linear vibration isolation system

4 結 論

本文分別建立了由線性隔振器、準零剛度隔振器組成的雙層隔振系統(tǒng)和兩自由度線性隔振系統(tǒng)動力學模型，并采用平均法推導了功率流傳遞率。通過比較分析2個系統(tǒng)功率流傳遞率，得到如下結論：

1）通過適當減小阻尼比、質量比和剛度比，可以提高雙層隔振系統(tǒng)的隔振性能。

2）與兩自由度等效線性隔振系統(tǒng)相比，雙層隔振系統(tǒng)的隔振起始頻率更小，隔振頻率范圍更大，從而具有更好的低頻隔振性能。

3）雙層隔振系統(tǒng)第2階共振頻率對應的功率流傳遞率最大值小于1，意味著其在第2階共振頻率附近范圍內仍具有隔振效果，從而克服了兩自由度線性隔振系統(tǒng)的缺點。

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Vibration isolation performance analysis of double layer vibration isolation system

ZHAO Jianxue1，YU Xiang2，CHAI Kai1，YANG Qingchao2
1 College of Power Engineering，Naval University of Engineering，Wuhan 430033，China
2 Office of Research and Development，Naval University of Engineering，Wuhan 430033，China

［Objectives］Studying the influence of the system parameters of a quasi-zero stiffness isolator on vibration isolation performance can provide a key direction for the application of quasi-zero stiffness isolation in vibration isolation systems.［Methods］Based on a double layer vibration isolation system consisting of linear isolation and quasi-zero stiffness isolation，as well as an equivalent linear vibration isolation system with two degrees of freedom，dynamic models are separately established.Moreover，the average method is applied to derive the power transfer rate under the condition of two harmonic force excitation systems.It is proven that the double layer vibration isolation system has better vibration isolation performance than the equivalent linear vibration isolation system with two degrees of freedom，and a method for enhancing the vibration isolation effect of the double layer vibration isolation system is proposed.［Results］The results show that the power transfer rate of the double layer vibration isolation system is greater than 1 in the second order resonance frequency，which means that it has the effect of vibration isolation in the vicinity of resonance frequencies of the second order，which overcomes the shortcomings of the freedom linear vibration isolation system with two degrees of freedom.［Conclusions］The double layer vibration isolation system can improve vibration isolation performance by appropriately reducing the damping ratio，mass ratio and stiffness ratio，giving it better low frequency vibration isolation performance than the equivalent linear vibration isolation system.

quasi-zero stiffness；double layer vibration isolation；power transfer rate

U661.44；O322

A

10.3969/j.issn.1673-3185.2017.06.015

http://kns.cnki.net/kcms/detail/42.1755.TJ.20171128.1100.010.html期刊網址：www.ship-research.com

趙建學，俞翔，柴凱，等.雙層隔振系統(tǒng)隔振性能分析［J］.中國艦船研究，2017，12（6）：101-107.

ZHAO J X，YU X，CHAI K，et al.Vibration isolation performance analysis of double layer vibration isolation system［J］.Chinese Journal of Ship Research，2017，12（6）：101-107.

2017-03-20 < class="emphasis_bold"> 網絡出版時間：

時間：2017-11-28 11:00

國家自然科學基金資助項目（51679245）；國家自然科學基金青年科學基金資助項目（51509253）

趙建學（通信作者），男，1992年生，碩士生。研究方向：振動與噪聲控制。

E-mail：916082120@qq.com

俞翔，男，1978年生，博士，高級工程師。研究方向：振動與噪聲控制。

E-mail：yuxiang898@sina.com