何海波，劉海龍

武漢船用電力推進裝置研究所，湖北武漢430064

基于多回路理論的異步電機徑向電磁力計算

何海波，劉海龍

武漢船用電力推進裝置研究所，湖北武漢430064

［目的］為了研究變頻器供電下的異步電機振動噪聲，提出基于多回路模型的異步電機徑向電磁力計算方法。［方法］在由定轉子基波電流計算氣隙磁動勢的傳統(tǒng)計算方法的基礎上，推導由任意定子繞組及轉子導條電流計算氣隙磁動勢及其產生的徑向電磁力的解析計算公式。介紹多回路理論及電機各電磁參量的計算方法，建立異步電機多回路動態(tài)仿真模型，獲得異步電機定子繞組及轉子導條電流，推導其產生的徑向電磁力的解析公式，并由此計算異步電機徑向電磁力，估算其產生的振動。［結果］通過實驗驗證，發(fā)現計算得到的電機振動加速度頻率及幅值與實驗結果吻合。［結論］所得結論和計算方法可為變頻器供電異步電機的低噪聲設計提供支持。

異步電機；多回路；磁動勢；徑向電磁力

0 引 言

異步電機以其結構簡單、可靠性高、成本低等優(yōu)點，被大規(guī)模應用于動力機構中，由此也帶來了噪聲問題。異步電機的振動噪聲分為機械噪聲、電磁噪聲和空氣動力噪聲。其中，徑向電磁力產生的電磁噪聲一直是人們關注的重點。異步電機的徑向電磁力由定轉子磁場諧波產生，成分復雜。隨著變頻器調速在異步電機領域使用的增多，由變頻器引入的電流諧波使得異步電機的電磁振動噪聲源更復雜。

為了研究異步電機徑向電磁力產生的電磁振動噪聲，一些學者通過解析法與模態(tài)實驗相結合的方法對常規(guī)異步電機的電磁振動問題進行了研究［1-4］。這些研究均著眼于正弦波供電下的電磁力研究，而對變頻器供電下的振動則語焉不詳。變頻器下電流諧波分量增多，電磁力中包含的諧波分量也增多，甚至可能存在階次頻率均相同的分量，使用解析法對每個諧波分量的幅值進行計算已不現實。隨著有限元計算技術的發(fā)展，一些學者開始利用有限元方法研究工頻及變頻器供電條件下異步電機的徑向電磁力波問題［5-8］。但是，該類方法無法直接揭示徑向電磁力與電機電磁參數的關系，也無法分辨電磁力諧波的來源。

為了更全面地分析任意電壓波形供電時的徑向電磁力，需要獲得定子繞組及轉子導條電流。因此，可采用多回路理論計算異步電機定子繞組及轉子導條電流。文獻［9］給出了互感參數的線性表達式，該表達式形式簡潔、利于實現，而且可以窮盡所有諧波分量，不存在截斷誤差。但是該解析公式僅針對整距、q=1（q為每極每相槽數）的情況；這種情況下的磁動勢波形規(guī)則，計算簡單，因此可以直接得到解析公式。當電機中存在非整距或q≠1的情況時，情況要復雜得多，因此推導一般性的公式很有必要。

本文擬推導一般情況下的異步電機多回路仿真模型公式，利用MATLAB對電機進行仿真，獲得定轉子繞組內的實時電流，并由此計算氣隙磁場的實時分布，應用麥克斯韋應力法計算得到各徑向電磁力諧波的階次及幅值。

1 多回路模型

首先，采用多回路理論計算定子繞組及轉子導條實際電流波形。如果將感應電機定子每一相繞組視為一個回路，而轉子每兩根導條及端環(huán)作為一個元件而形成一個大電路，可以建立多回路分析仿真模型。為便于計算，假設不計鐵磁材料飽和、磁滯、渦流影響和導電材料趨膚效應的影響。

1.1 定子電壓方程

根據電路理論，對于M相異步電機，可以列出定子電壓方程：

式中：Us=[us1us2…usM]T，為定子電壓；Rs=rsEM×M，為定子阻抗矩陣，其中rs為定子相電阻，EM×M為M×M維的單元矩陣；Is=[is1is2…isM]T，為定子電流；ψs=[ψs1ψs2… ψsM]T，為定子磁鏈。

1.2 轉子電壓方程

對于導條數為N的鼠籠轉子，可以視為N條回路。每個導條電阻為rb，兩導條間的端環(huán)電阻為re，如圖1所示。根據電路圖，可以得到下面的方程：

式中：Ir=[ir1ir2…irN]T，為轉子各導條電流；ψr=[ψr1ψr2… ψrN]T，為轉子磁鏈；Rr為轉子電阻矩陣，

圖1 轉子回路示意圖Fig.1 Rotor circuit

1.3 磁鏈方程

定轉子磁鏈方程為

式中：Lss為定子繞組互感矩陣；Lsr為定轉子回路之間的互感矩陣；Lrr為轉子導條之間的互感矩陣。則狀態(tài)方程可以改寫為

式中：θ為轉子旋轉的電角度；ωr為轉子旋轉的電角速度。

1.4 轉矩方程

根據電機理論，可得電機電磁轉矩Te為

式中，p為電機極對數。

忽略摩擦阻尼轉矩，電機的轉子運動方程為

式中：J為電機的轉動慣量；TL為負載轉矩。

2 電感計算

第1節(jié)給出了基于多回路理論的M相感應電機分析模型。其中，電阻矩陣可以通過實測或計算值給定，且假設在電機運行過程中不發(fā)生變化。需要計算各互感參數及其對電角度的導數。

2.1 定子繞組的自感及互感矩陣

假設定子繞組1個線圈所產生的磁動勢分布如圖2所示。假設任意2個線圈Q1和Q2之間的電角度差為Δθs，則互感為

式中：ψ為2個線圈的磁鏈；y為線圈節(jié)距；τ為極距；F(θs)為線圈Q1產生的磁動勢；μ0為真空磁導率；gef為氣隙的有效長度；D2為定子內徑；lef為鐵芯有效長度。

圖2 某一個槽線圈磁動勢示意圖Fig.2 Magnetomotive force of a slot coil

對于實際電機，F(θs)數值固定，Δθs與各線圈位置相關且不隨時間變化，因此積分結果為有限個固定的離散值。這些離散值可以編程計算形成表格，采用查表的方法進行計算。任意兩相線圈sm1和sm2之間的互感為

考慮到定子繞組的漏感，當sm1=sm2時，需加上漏感值。

2.2 轉子導條回路之間的互感矩陣

轉子某一導條回路產生的氣隙磁動勢分布如圖3所示，其中圓圈代表導條截面。設2個導條間的電角度為Δθr，圖3給出了2個導條回路之間的互感與電角度Δθr之間的關系。由于Δθr是離散的，因此對應的任意2個導條之間的互感也是離散的。

圖3 轉子磁動勢示意圖Fig.3 Magnetomotive force of rotor

考慮轉子導條回路之間的漏感，可以得到第rn1根導條回路與第rn2根導條回路之間的互感為

式中，F(θr)為一個導條回路產生的磁動勢。

式（10）相對簡單，積分后可得

式中：Le為端部產生的漏感；Lb為由導條產生的漏感；

2.3 定轉子之間的互感

假設定子某一相繞組產生的氣隙磁動勢分布如圖4所示，黑圈代表轉子某一回路導條截面，與該定子繞組之間的電角度差為Δθsr：

式中，Δθsr(0)為初始電角度差。當Δθsr在周期內變化時，定轉子之間的互感為

圖4 定轉子互感示意圖Fig.4 Stator rotor mutual inductance

Lsrmax的計算式為

式中，ns為定子繞組每相串聯支路數。

2.4 定轉子互感對電角度的導數

根據定轉子之間的互感關系，可以給出互感參數對電角度的導數關系：

計算各互感參數及其對電角度的導數后，即可構建變頻器電機的仿真模型，進而獲得電機定轉子所有回路電流隨時間變化的波形，得到電機電磁力沿氣隙圓周的分布情況。

3 徑向電磁力計算

3.1 變頻器磁動勢計算

多相電機通常由變頻器供電。由于變頻器中使用開關器件，輸出電壓包含大量諧波。傳統(tǒng)的解析法僅能解決基波供電下的電磁力，而對諧波電流產生的電磁力則選擇忽略不計。為計算諧波電流產生的電磁力，我們采用仿真計算獲得電機電流波形，根據其空間位置獲得電機磁通密度波形，進而獲得電機在變頻器下的電磁力。采用該方法時不再計算各次諧波的幅值，而是以各相線圈所產生的磁動勢直接相加來獲得氣隙磁動勢。

變頻器供電時，第sm相繞組產生的基波磁動勢表達式為

式中：Na為每相繞組串聯支路數；kw1為定子繞組基波繞組系數；ism(t)為第sm相繞組電流的實時大??；α為氣隙圓周空間角度；?(sm)為第sm相繞組中心線空間位置。與正弦波供電時類似，第v次諧波磁動勢波形為

式中，kwv為定子繞組第v次諧波繞組系數。則定子繞組合成磁動勢為

式中，k=1，2，3……

轉子磁動勢也采用類似的方法表示，第rn根導條電流產生的基波磁動勢表達式為

式中：N2=1；kw2為導條回路的繞相系數；irn(t)為第rn個轉子回路的實時電流；?rn(t)為第rn個轉子回路所在的空間位置。與正弦波供電時類似，第u次諧波磁動勢波形為

則轉子繞組合成磁動勢為

合成氣隙磁動勢為

3.2 氣隙磁導計算

感應電機物理氣隙的相對磁導因為卡特系數而增加。因為開槽引起趨膚效應，齒所對應的氣隙磁場比沒有開槽時大。根據文獻［10］，只考慮定子開槽時，其氣隙磁導為

式中：Λ0為氣隙磁導不變的部分；Λ1k為轉子光滑時定子第k階齒諧波磁導的幅值；Z1為定子的槽數。

類似地，若定子內表面光滑，轉子有齒槽，且轉子相對于定子以轉速Ω2旋轉，則氣隙磁導的主要成分可表示為

式中：Ω2為轉子機械角速度；Λ2k為定子光滑時定子第k階齒諧波磁導的幅值。

合成氣隙磁導為

氣隙磁通密度 b(α，t)與磁動勢 f(α，t)之間的關系為

基于Maxwell應力張量法，氣隙中任意一點的單位面積上的徑向電磁力為

3.3 電磁力的二維傅里葉分析

通過分析獲得電機電磁力的分布后，得到包含時間及空間分量的二維數組。傳統(tǒng)的傅里葉分析只能取某一時刻電磁力的空間分布進行空間分析，或者取某一空間位置處電磁力的時間分布進行頻率分析。而同階次電磁力可能含不同頻率的諧波；同樣，相同頻率的電磁力可能包含不同階次的分量。這些諧波與分量對電機振動的影響并不相同。所以，需要同時對電磁力的時間及空間分布進行傅里葉分析。

使用Matlab軟件可以實現離散數據的快速二維傅里葉分解，獲得各階次電激振力的頻譜，即

式中：prk(t)為階次為k的電磁力隨時間變化的幅值；prkf為階次為k、頻率為f的電磁力的幅值。

4 實例計算

對一臺三相200 kW電機在變頻器下的工況進行仿真，分析獲得徑向電磁力，并與振動測試實驗結果進行了對比。電機主要參數如表1所示。

表1 電機主要參數Table 1 Main parameters of motor

4.1 三相電機正弦供電仿真結果

通過仿真，得到定轉子電流波形如圖5所示。根據圖5可以得到，電機定子電流幅值、轉子轉速等數值與理論相一致，證明多回路模型適用于該電機，并具有較高的精度。

電磁力計算中合成磁動勢波形如圖6所示。由圖6可見，定轉子磁動勢波形均為典型階梯波，而合成氣隙磁動勢波形則諧波含量更為豐富。

考慮定轉子氣隙磁導后，得到的氣隙磁場波形如圖7所示。由圖7可見，氣隙磁通密度波形中諧波含量大大增加。

圖5 定子電流波形Fig.5 Stator current waveform

圖6 合成氣隙磁動勢波形Fig.6 Magnetomotive force waveform of the air gap

圖7 氣隙磁通密度波形Fig.7 The waveform of air gap flux density

根據徑向電磁力的計算公式進行電磁力計算，并作二維傅里葉分解，其結果如圖8所示。由圖8可得主要徑向電磁力諧波階次及頻率。其中0階0 Hz及-6階51.2 Hz徑向電磁力諧波幅值最高。0階0 Hz諧波分量為恒力，不引起振動。根據電機振動理論，定子鐵芯振動幅值與電磁力階次的4次方成反比，電磁力階次越低，產生振動的幅值越高。-6階51.2 Hz諧波分量雖然幅值高，階次也較高，但所產生的電磁振動幅值并不高。根據圖8，本電機中存在-2階及2階等低階電磁力，需要重點關注。

圖8 徑向電磁力階次及頻率Fig.8 Order and frequency of radial electromagnetic force

單獨提取-2階及2階電磁力頻譜如圖9所示。由圖9可見，該電機存在頻率為433 Hz及535 Hz的2階/-2階電磁力，可能產生幅值較高的振動。

圖9 2階/-2階徑向電磁力Fig.9 Order 2/-2 radial electromagnetic force

4.2 實驗驗證

為驗證理論分析的結果，搭建了如圖10所示的實驗平臺。平臺中采用無明顯激振頻率的磁粉制動器作為異步電機的負載，通過調節(jié)磁粉制動器的勵磁電流以調節(jié)負載大小。

圖10 實驗現場Fig.10 Test site

實驗測得電機振動加速度頻譜如圖11所示。

圖11 額定負載時電機底腳振動加速度頻譜Fig.11 The vibration acceleration spectrum of motor bottom with full load

電磁力計算結果與實驗結果如表2所示。根據表2可知，電磁力頻率結果吻合得很好。但計算得到的振動加速度幅值與實驗結果有一定誤差，可能是結構響應計算不夠精確。

表2 電磁力計算與實驗結果對比Table 2 Comparison of calculated and experimental results of electromagnetic force

傳統(tǒng)方法通常建立如下表格（表3，“/”左邊為階次，右邊為頻率）來計算電磁力的階次及頻率。定子磁動勢包含-51次、-33次、-15次等諧波，轉子磁動勢包含-55次、3次、61次等諧波。定轉子諧波兩兩作用后，生成電磁力。例如，定子磁動勢-51次諧波與轉子磁動勢-55次諧波相作用，產生了4階483 Hz的徑向電磁力；定子磁動勢57次諧波與轉子磁動勢-55次諧波相作用，產生了2階432 Hz的徑向電磁力。

表3 傳統(tǒng)方法計算的電磁力階次及頻率Table 3 The calculated electromagnetic force order and frequency with traditional methods

表3中存在2階 432 Hz電磁力，但沒有2階534 Hz電磁力。其原因是采用傳統(tǒng)方法計算電磁力諧波時，只考慮了定轉子磁動勢諧波的影響，而忽略了這些諧波與氣隙磁導諧波相互作用的情況。對于該電機，定子1次磁導齒諧波與轉子1次磁導齒諧波可生成14次/483 Hz諧波，與表3中的-12階/51.2 Hz諧波產生2階534 Hz電磁力，與實驗結果相吻合。因此，采用本文方法計算的結果諧波更全面。

5 結 語

本文提出的異步電機徑向電磁力計算方法可以準確獲得電機電磁力頻率及幅值，與傳統(tǒng)計算方法相比，可以通過定轉子實際諧波電流，盡可能多地計算不同階次及頻率諧波幅值。計算結果與實驗結果吻合較好，可以用于變頻器下多相電機諧波電磁力及其產生的電磁振動的頻率及幅值計算。

［1］舒波夫.電動機的噪聲和振動［M］.沈官秋，譯.北京：機械工業(yè)出版社，1980.

［2］TIMáR P L.Noise and vibration of electrical machines［M］.Amsterdam：North Holland，1989.

［3］陳永校，諸自強，應善成.電機噪聲的分析和控制［M］.杭州：浙江大學出版社，1987.

［4］祝長生，陳永校.變頻器供電的三相異步電機的噪聲特性［J］.中小型電機，1997，24（5）：9-12.

［5］王荀，邱阿瑞.籠型異步電動機徑向電磁力波的有限元計算［J］.電工技術學報，2012，27（7）：109-117.WANG X，QIU A R.Finite element calculation of radi?al electromagnetic force wave in squirrel-cage asyn?chronous motors［J］.Transactions of China Electrotech?nical Society，2012，27（7）：109-117（in Chinese）.

［6］丁衡宇，阮江軍，劉海龍，等.變頻供電異步電機徑向電磁力仿真研究［J］.微電機，2015，48（8）：9-12，31.DING H Y，RUAN J J，LIU H H，et al.Simulation re?search on radial electromagnetic force of inverter-fed induction motor［J］.Micromotors，2015，48（8）：9-12，31（in Chinese）.

［7］唐任遠，宋志環(huán)，于慎波，等.變頻器供電對永磁電機振動噪聲源的影響研究［J］.電機與控制學報，2010，14（3）：12-17.TANG R Y，SONG Z H，YU S B，et al.Study on source of vibration and acoustic noise of permanent magnet machines by inverter［J］.Electric Machines and Control，2010，14（3）：12-17（in Chinese）.

［8］王玎，祝長生，符嘉靖.基于有限元的異步電機電磁振動分析［J］.振動與沖擊，2012，31（2）：140-144.WANG D，ZHU C S，FU J J.Analysis of the electro?magnetically excited vibration in an asynchronous ma?chine by finite element method［J］.Journal of Vibra?tion and Shock，2012，31（2）：140-144（in Chi?nese）.

［9］張經緯，祝后權，黃振華，等.多相集中整距繞組感應電機的建模與仿真［J］.電機與控制學報，2010，14（9）：75-80.ZHANG J W，ZHU H Q，HUANG Z H，et al.Model?ing and simulation of a multiphase concentrated induc?tion machine［J］.Electric Machines and Control，2010，14（9）：75-80（in Chinese）.

［10］陳世坤.電機設計［M］.北京：機械工業(yè)出版社，2004.

Radial electromagnetic force calculation of induction motor based on multi-loop theory

HE Haibo，LIU Hailong
Wuhan Institute of Marine Electric Propulsion，Wuhan 430064，China

［Objectives］In order to study the vibration and noise of induction motors，a method of radial electromagnetic force calculation is established on the basis of the multi-loop model.［Methods］Based on the method of calculating air-gap magneto motive force according to stator and rotor fundamental wave current，the analytic formulas are deduced for calculating the air-gap magneto motive force and radial electromagnetic force generated in accordance with any stator winding and rotor conducting bar current.The multi-loop theory and calculation method for the electromagnetic parameters of a motor are introduced，and a dynamic simulation model of an induction motor built to achieve the current of the stator winding and rotor conducting bars，and obtain the calculation formula of radial electromagnetic force.The radial electromagnetic force and vibration are then estimated.［Results］The experimental results indicate that the vibration acceleration frequency and amplitude of the motor are consistent with the experimental results.［Conclusions］The results and calculation method can support the low noise design of converters.

induction motor；multi-loop；magneto motive force；radial electromagnetic force

U665.11

A

10.3969/j.issn.1673-3185.2017.06.019

http://kns.cnki.net/kcms/detail/42.1755.TJ.20171128.1106.018.html期刊網址：www.ship-research.com

何海波，劉海龍.基于多回路理論的異步電機徑向電磁力計算［J］.中國艦船研究，2017，12（6）：127-133.

HE H B，LIU H L.Radial electromagnetic force calculation of induction motor based on multi-loop theory［J］.Chinese Journal of Ship Research，2017，12（6）：127-133.

2017-03-31 < class="emphasis_bold"> 網絡出版時間：

時間：2017-11-28 11:06

何海波（通信作者），男，1986年生，碩士，工程師。研究方向：低噪聲電機設計。

E-mail：hhbhhy@126.com

劉海龍，男，1981年生，碩士，工程師。研究方向：低噪聲電機設計