李夢思

(中國傳媒大學(xué)理學(xué)院，北京100024)

鋼管合理下料問題的數(shù)學(xué)模型探究

李夢思

(中國傳媒大學(xué)理學(xué)院，北京100024)

下料問題廣泛應(yīng)用于鋼鐵、船舶、車輛、機械、建筑和制衣等行業(yè)，同時也是運籌學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)及計算機應(yīng)用等學(xué)科研究的熱點問題。本文以鋼管合理下料問題為例，通過研究其切割模式，考慮其下料過程中產(chǎn)生的廢料最少和生產(chǎn)成本最小兩種情況，比較兩種結(jié)果從而得出最優(yōu)的切割方案。文章通過整數(shù)線性規(guī)劃模型解決了生產(chǎn)過程中的切割難題，可以為實際生活中的下料問題提供參考。

下料問題 切割模式 整數(shù)線性規(guī)劃模型 Lingo Matlab

1 引言

某鋼管零售商從鋼管廠進貨，將鋼管按照顧客的要求切割后售出，從鋼管廠進貨時得到的原料鋼管長度都是1850mm?，F(xiàn)有一客戶需要15根290mm、28根315mm、21根350mm和30根455mm的鋼管。為了簡化生產(chǎn)過程，規(guī)定所使用的切割模式的種類不能超過4種，使用頻率最高的一種切割模式按照一根原料鋼管價值的1/10增加費用，使用頻率次之的切割模式按照一根原料鋼管價值的2/10增加費用，依此類推，且每種切割模式下的切割次數(shù)不能太多(一根原料鋼管最多生產(chǎn)5根產(chǎn)品)。此外，為了減少余料浪費，每種切割模式下的余料不能超過100mm。

(1)為了使總費用最小應(yīng)如何下料，總費用和余料分別為多少？

(2)為了使原料鋼管總根數(shù)最少應(yīng)如何下料，總費用和余料分別為多少?

(3)比較1、2，哪個生產(chǎn)方式更優(yōu)？可以產(chǎn)生費用最小的同時原料鋼管的總根數(shù)也最少的生產(chǎn)方式嗎？并簡述在現(xiàn)實生產(chǎn)中，我們應(yīng)該如何處理這一類問題。

2 模型假設(shè)與符號說明

2.1 模型假設(shè)

1.只考慮選擇的切割模式帶來的生產(chǎn)成本的增加，不考慮切割工序本身或其他問題帶來的生產(chǎn)成本的增加；

2.切割過程中原料鋼管不發(fā)生長度損失，即忽略切割時產(chǎn)生的廢屑；

3.切割產(chǎn)生的鋼管均合格，不會產(chǎn)生廢棄鋼管；

4.假設(shè)使用的切割模式中x1≥x2≥x3≥x4；

5.假設(shè)原料鋼管的價格為單位1 。

2.2 符號說明

i：表示切割模式的種類；

j：表示不同長度鋼管的種類；

rji：表示第i種切割模式切割所得到的種類為j的鋼管的數(shù)量；

xi：表示按照第i種模式切割的原料鋼管的根數(shù)；

numja：表示種類為j的鋼管對應(yīng)要生產(chǎn)的根數(shù)；

numjb：表示種類為j的鋼管的長度。

3 分析與建立模型

對于這類生產(chǎn)模式不確定的切割問題，可以先確定其各種符合條件的生產(chǎn)模式，以便選用合理的生產(chǎn)模式進行切割。設(shè)定切割模式i切割所得到的290mm的鋼管數(shù)為r1i根，315mm的鋼管數(shù)為r2i根，350mm的鋼管數(shù)為r3i根，455mm的鋼管數(shù)為r4i根。同時有一個隱含條件，既然要余料最省，那么每一條根鋼管要能最好的被利用，所以設(shè)定每條鋼管被切割的次數(shù)為4次，得到5根制作好的鋼管?？梢越⒁韵孪拗茥l件得出各個符合要求的生產(chǎn)模式：

在本問題上代入實際數(shù)據(jù)可得：

通過窮舉法能確定可行的模式，但是由于工作量太大，則利用此限制條件編寫Matlab程序得出切割方式整理如下表：

表1 各種切割模式

從切割方式看，有如表1所示12種切割原料的模式。根據(jù)前面的符號假設(shè)，可以用表示按照第i種模式(i=1、2、3、4)切割的原料鋼管的根數(shù)xi，為非負整數(shù)。第i種模式下每根原料鋼管生產(chǎn)290mm、315mm、350mm、455mm的鋼管數(shù)量分別為r1i,r2i,r3i,r4i，也為非負整數(shù)。

(一)目標(biāo)函數(shù)的確定

考慮所使用的切割模式不能超過4種。在總費用最少的情況下，使用頻率最高的一種切割模式按照一個原料鋼管價值的1/10增加費用，使用頻率次之的切割模式按照一根原料鋼管價值的2/10增加費用，依次類推，所以目標(biāo)函數(shù)為：min=1.1x1+1.2x2+1.3x3+1.4x4。在原料總鋼管數(shù)最少的情況下，目標(biāo)函數(shù)為：min=x1+x2+x3+x4。

(二)約束條件的確立

min=1.1x1+1.2x2+1.3x3+1.4x4

由數(shù)據(jù)可知最后求得的鋼管的根數(shù)的下界為：(250×15+315×28+350×21+455×30)÷1850≈18.1，考慮實際，所以最少的鋼管用量為19根，x1+x2+x3+x4≥19?？紤]特殊情況，若只生產(chǎn)290mm的鋼管，一根原料可以切成5根，滿足15根需求要3根原料；一根原料可以切5根315mm鋼管，滿足28根需求需切6根原料；一根原料可切5根350mm鋼管，滿足21根需求要切5根原料；一根原料可切4根455mm鋼管，滿足30根需求需切8根原料，所以原料鋼管的根數(shù)的范圍為：19≤x1+x2+x3+x4≤22，所以在以下建模的過程中帶入這個限制條件。

如果是求總費用最少，則帶入本題中的數(shù)據(jù)，可得以下規(guī)劃模型一：

min=1.1x1+1.2x2+1.3x3+1.4x4

如果是求原料鋼管數(shù)最少，則可得以下規(guī)劃模型二：

min=x1+x2+x3+x4

4 模型求解

針對問題1總費用最小的下料方法，根據(jù)規(guī)劃模型一編寫Lingo程序運行可得出如表2所示的最優(yōu)解。

表2 問題1選擇的切割模式

根據(jù)表2結(jié)果分析可知，這里選用的切割方式分別為表1中的模式2、12、1。用模式2需切割14根原料鋼管，模式12切割4根原料鋼管，模式1切割1根原料鋼管，不采用第4種模式進行切割。計算可知總費用最少為1.1×14+1.2×4+1.3×1=21.5。同時計算可知余料為14×20+4×100+1×10=690mm。由前面分析可知需使用的最少的鋼管數(shù)為19根，這里14+4+1=19根，剛好也是最少鋼管數(shù)。由于是使用了最少的原料鋼管數(shù)，所以余料剩余是最少的。

針對問題2原料鋼管總根數(shù)最少的下料方法，根據(jù)規(guī)劃模型二編寫Lingo程序運行可知，每一次運行都會產(chǎn)生不固定的結(jié)果，有多個解，同時問題1中運行得到的結(jié)果也是其中之一，每一個解都符合x1+x2+x3+x4=19的要求?，F(xiàn)在給出程序運行出來的其中一個結(jié)果如表3所示。

表3 問題2選擇的切割模式

由表3可知，選用了表1中的4種切割方式，分別為模式2、8、7、1。用模式2需切割10根原料鋼管，模式8切割4根原料鋼管，模式7切割4根原料鋼管，模式1切割1根原料鋼管。

計算可知余料為10×20+4×65+4×55+1×10=690mm。由于是使用了最少的原料鋼管數(shù)，所以余料剩余也是最少的。計算可知總費用為10×1.1+4×1.2+4×1.3+1×1.4=22.4。由22.4gt;21.5可知，問題2中多個解中有解的總費用多于問題1中的總費用。

對于問題3，兩種情況對比可知，在要求總費用最小時，出現(xiàn)了使用鋼管總數(shù)也最少的情況，但是在要求原料總根數(shù)最少時，總生產(chǎn)費用≥總費用最小時的生產(chǎn)費用。所以問題1的下料方式優(yōu)于問題2。

總費用最少時總根數(shù)最少能同時出現(xiàn)，但是在總根數(shù)最少時總費用最少卻不一定同時出現(xiàn)，在現(xiàn)實生產(chǎn)中我們應(yīng)該如何設(shè)立目標(biāo)函數(shù)，使得總費用和材料最省能同時出現(xiàn)呢？

在現(xiàn)實生產(chǎn)中，最優(yōu)的下料方式不好把控，可能出現(xiàn)在問題1、2這兩個不同的目標(biāo)中的任意一個規(guī)劃中。所以在實際生產(chǎn)時，這兩個目標(biāo)的規(guī)劃都需考慮，兩個模型的結(jié)果進行比較，結(jié)合起來考慮，進而才能得出最終的下料方案。

5 結(jié)論

下料問題是經(jīng)濟生活中常見的確定生產(chǎn)方案的問題，也是企業(yè)最關(guān)注的問題之一。本研究在合理的假設(shè)下，能夠很好地解決實際問題。模型的思路清晰，結(jié)構(gòu)簡單，有一定的適用范圍，能夠解決較簡單的生產(chǎn)方案安排的問題。模型還可以推廣到在M種原料下，生產(chǎn)N種成品的情形，同時也適用于不同的領(lǐng)域的方案安排問題，如：車輛、制衣和建筑等方面。對下料問題的研究可以很好地節(jié)省原料，降低成本，對提高經(jīng)濟效應(yīng)，對各工業(yè)領(lǐng)域來說都是一項有意義的事情。

由于這是在實際基礎(chǔ)上經(jīng)過理想化假設(shè)抽象出來的數(shù)學(xué)模型，本模型也存在著一些缺陷。如模型中假設(shè)切割過程中原料鋼管不發(fā)生長度損失，即忽略切割時產(chǎn)生的廢屑，同時切割產(chǎn)生的鋼管均合格，不會產(chǎn)生廢棄鋼管。在實際情況中是可能會產(chǎn)生廢屑和廢齊鋼管的，這是在理想化情況下假設(shè)出來的情形。但也是可以解決的，如可以根據(jù)評價一個鋼廠的鋼管廢棄率，在后面的模型建立過程中，可以把這一因素考慮進去，從而模擬出真實的情況，所以該模型具有一定的現(xiàn)實意義。

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(責(zé)任編輯：王 謙)

TheMathematicalModelResearchofSteelPipes’CuttingStockProblem

LI Meng-si

(School of Science,Communication Univeisity of China，Beijing 100024,China)

The cutting stock problem is widely used in steel，ship，machinery industry and so on，at the same time，it has been research focus of operations research，applied mathematics and computer application for several years. Taking the steel pipes’ cutting stock problem for example，the paper researches the cut mode and considers minimizing the waste and cost，finally an optimal cutting plan has been worked out. Through the integer linear programming model，the paper has solved cutting problem during the production. The paper can provide reference for cutting stock problem.

cutting stock problem,cut mode;integer linear programming model;Lingo;Matlab

O29

A

1673-4793(2017)06-0040-04

2017-08-02

李夢思(1992- )，女(漢族)，湖北荊州人，中國傳媒大學(xué)碩士研究生.E-mail：2504295301@qq.com