劉效勇，盧佩*，曹海賓，田敏

（1石河子大學(xué)理學(xué)院，新疆 石河子832003；2石河子大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，新疆 石河子832003）

基于壓縮感知的圖像重構(gòu)關(guān)鍵技術(shù)研究

劉效勇1，盧佩2*，曹海賓1，田敏2

（1石河子大學(xué)理學(xué)院，新疆 石河子832003；2石河子大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，新疆 石河子832003）

圖像在信息領(lǐng)域應(yīng)用的重要性使人們對(duì)快速成像技術(shù)提出了更高需求，壓縮感知理論為圖像處理提供了一種新途徑。本文研究了壓縮感知理論應(yīng)用于圖像重構(gòu)的關(guān)鍵技術(shù)，重點(diǎn)分析對(duì)比了各種因素對(duì)重構(gòu)圖像質(zhì)量的影響。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：通過(guò)小波變換基對(duì)信號(hào)稀疏，以哈達(dá)瑪矩陣作為測(cè)量矩陣，使用正交匹配追蹤算法時(shí)僅需50%的采樣率即可獲得較高質(zhì)量的圖像，有效減少了傳統(tǒng)方法中冗余數(shù)據(jù)過(guò)多問(wèn)題，在重構(gòu)圖像視覺(jué)效果和PSNR值上均有所提高，同時(shí)提高了恢復(fù)效率。本研究為應(yīng)用壓縮感知尋求最優(yōu)化圖像恢復(fù)方法在理論和技術(shù)上提供了有力依據(jù)和支撐。關(guān)鍵詞：壓縮感知；圖像重構(gòu)；稀疏信號(hào)；測(cè)量矩陣；重構(gòu)算法

現(xiàn)實(shí)世界的虛擬仿真以及對(duì)處理信號(hào)數(shù)字化，決定了從模擬信號(hào)源獲取數(shù)字信息時(shí)必須通過(guò)信號(hào)采樣。但是在數(shù)字圖像以及語(yǔ)音視頻的獲取過(guò)程中，按照傳統(tǒng)的奈奎斯特采樣定理進(jìn)行采樣容易導(dǎo)致采樣數(shù)據(jù)過(guò)多；另外，隨著人們對(duì)信息需求數(shù)量的不斷增長(zhǎng)，要求信息載體的帶寬愈來(lái)愈寬，采集速率以及信號(hào)處理速度也會(huì)愈來(lái)愈高，這給信號(hào)的采集、處理、傳輸以及存儲(chǔ)等帶來(lái)了很大的挑戰(zhàn)。

學(xué)者們[1-3]提出了一種新穎的信息獲取理論，即壓縮感知（compressed sensing，CS）[1-3]，該理論指出：當(dāng)信號(hào)具有稀疏性或可壓縮性時(shí)，采集少量數(shù)據(jù)就可精確或近似精確地重構(gòu)原始信號(hào)。壓縮感知突破了傳統(tǒng)的信號(hào)采樣瓶頸，能夠以遠(yuǎn)低于奈奎斯特采樣頻率采樣和恢復(fù)信號(hào)，因而可以更加有效存儲(chǔ)和傳輸信息。該理論一經(jīng)提出就受到國(guó)內(nèi)外科研人員的高度關(guān)注。目前，壓縮感知技術(shù)已被廣泛應(yīng)用在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、天文學(xué)、醫(yī)學(xué)成像、高光譜成像、遠(yuǎn)距離遙感、模擬-信息轉(zhuǎn)換、地球物理學(xué)數(shù)據(jù)分析、生物傳感、分布式壓縮感知等領(lǐng)域中[4-6]。此外，多種壓縮感知硬件相繼出現(xiàn)，如美國(guó)麻省理工大學(xué)L.Wald等人研制的MRJ RF脈沖設(shè)備，W.Freeman等人研制的編碼孔徑相機(jī)、美國(guó)萊斯大學(xué)研制的單像素照相機(jī)、美國(guó)伊利諾伊州立大學(xué)Milenkovic等人研制的DNA微陣列傳感器、美國(guó)耶魯大學(xué)研制的超光譜成像儀、中科院李廉林等人研制的CS濾波器和混沌腔等[7-11]。這些壓縮感知硬件儀器的實(shí)現(xiàn)使壓縮感知理論向?qū)嵱没斑M(jìn)了一大步。

應(yīng)用壓縮感知，可以有效地提高應(yīng)用系統(tǒng)的性能、縮短數(shù)據(jù)獲取的時(shí)間、降低數(shù)據(jù)獲取的耗能、減少數(shù)據(jù)的存儲(chǔ)空間、提高數(shù)據(jù)的傳輸速度等。壓縮感知與信號(hào)的稀疏重構(gòu)尤其是在圖像的壓縮與重建方面有著非常大的應(yīng)用價(jià)值。然而，由于缺乏有效的壓縮傳感矩陣判別理論，重構(gòu)算法需要迭代運(yùn)算，造成復(fù)雜度高速度慢，算法過(guò)程不可控，參數(shù)敏感等問(wèn)題。另外，實(shí)際應(yīng)用時(shí)也容易出現(xiàn)壓縮比太大，恢復(fù)出的圖像效果嚴(yán)重模糊，無(wú)法使用。為此，本文從多個(gè)方面對(duì)影響壓縮感知信號(hào)重構(gòu)的因素做了初步探索研究，以便從中找到壓縮感知重構(gòu)圖像的最優(yōu)化方法，從而提高重構(gòu)信號(hào)的效率和質(zhì)量。

1 壓縮感知基本理論框架

壓縮傳感理論主要包括信號(hào)的稀疏表示、編碼測(cè)量和重構(gòu)算法等三方面[12-15]。

考慮長(zhǎng)度為N的一維實(shí)值離散時(shí)間信號(hào)x，可看作RN空間N×1維的列向量，元素為x[n]，n=1，2，...，如果是圖像或高維數(shù)據(jù)矢量，則轉(zhuǎn)化成一個(gè)長(zhǎng)的一維向量。RN空間的任何信號(hào)都能用N×1維的正交基的線性組合表示。把向量"作為列向量形成N×N的基矩陣ψ=ψ1,ψ2,…ψN，則任意信號(hào)x都可以表示為：

其中α為N×1列向量的加權(quán)系數(shù)，T表示轉(zhuǎn)置操作，x和α是同一個(gè)信號(hào)的等價(jià)表示，x是信號(hào)在時(shí)域的表示，α則是信號(hào)在ψ域的表示。如果式（1）中α只有 K（KN）個(gè)非零（或絕對(duì)值較大）的系數(shù)，x稱為K稀疏信號(hào)。信號(hào)的可稀疏性表示是壓縮感知的先驗(yàn)條件，在已知信號(hào)是可壓縮的前提下，壓縮感知過(guò)程可分為兩步：

（1）設(shè)計(jì)1個(gè)與變換基不相關(guān)的M×N（M N）維測(cè)量矩陣對(duì)信號(hào)進(jìn)行觀測(cè)，得到M維的測(cè)量向量。

（2）由M維的測(cè)量向量重構(gòu)信號(hào)。

用1個(gè)與變換矩陣不相關(guān)的測(cè)量矩陣φ對(duì)信號(hào)進(jìn)行線性投影，得到線性測(cè)量值y：

其中φ是個(gè)M×N的隨機(jī)測(cè)量矩陣，=φψ。構(gòu)造合理有效的測(cè)量矩陣是壓縮感知研究的核心問(wèn)題。Candès等[2]指出，高斯隨機(jī)變量形成測(cè)量矩陣可以作為普適的CS觀測(cè)矩陣。

因?yàn)閥的維數(shù)小于x的維數(shù)，所以公式(2)有無(wú)窮解，重構(gòu)原始信號(hào)比較困難。既然x為K稀疏，可以利用下面的優(yōu)化問(wèn)題求解x：

當(dāng)M≥cKlog(N)時(shí)，φ具有有限等距性(RIP)，x[n]能被重構(gòu)，此處c是個(gè)小常系數(shù)。

上面的問(wèn)題可以通過(guò)貪婪迭代算法解決，其中最常用的是使用正交匹配追蹤算法(OMP)。

最后，當(dāng)稀疏系數(shù)α被精確重構(gòu)后，通過(guò)ψ的逆矩陣重構(gòu)信號(hào)x：

壓縮感知指出：當(dāng)信號(hào)在某個(gè)變換域是稀疏的或可壓縮的，可以利用與變換矩陣非相干的測(cè)量矩陣將變換系數(shù)線性投影為低維觀測(cè)向量，同時(shí)這種投影保持了重建信號(hào)所需的信息，通過(guò)進(jìn)一步求解稀疏最優(yōu)化問(wèn)題就能夠從低維觀測(cè)向量精確地或高概率精確地重建原始高維信號(hào)。在該理論框架下，采樣速率不再取決于信號(hào)的帶寬，而在很大程度上取決于2個(gè)基本準(zhǔn)則：稀疏性和非相干性，或者稀疏性和等距約束性。

2 影響壓縮感知重構(gòu)信號(hào)質(zhì)量的關(guān)鍵技術(shù)研究

壓縮感知能夠依據(jù)少量采樣數(shù)據(jù)，從低維觀測(cè)向量精確地重建原始高維信號(hào)。該理論包含3個(gè)關(guān)鍵部分：稀疏變換基、測(cè)量矩陣和重構(gòu)算法。因此，通過(guò)壓縮感知理論對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行采樣與重構(gòu)，在重構(gòu)過(guò)程中信號(hào)自身的稀疏程度，信號(hào)采樣率、選用的測(cè)量矩陣和重構(gòu)算法等不可避免地影響重構(gòu)信號(hào)的質(zhì)量，為此，本研究從以上幾個(gè)重要方面對(duì)影響信號(hào)壓縮感知信號(hào)重構(gòu)的因素做了初步探索研究。為了更能直觀地判斷各算法的恢復(fù)效果，以重構(gòu)圖像和原始圖像的峰值信噪比(PSNR)、信噪比(SNR)、均方差（MSE）值以及運(yùn)算速度(Run-Time，RT)作為評(píng)判重構(gòu)圖像效果的客觀評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。

2.1 采樣率對(duì)重構(gòu)信號(hào)質(zhì)量的影響

實(shí)驗(yàn)中選用256*256像素的經(jīng)典灰度圖像“l(fā)ena”進(jìn)行測(cè)試，測(cè)量矩陣使用高斯隨機(jī)矩陣構(gòu)造，重構(gòu)圖像時(shí)采用正交匹配追蹤算法。圖1為采樣率(Sampling Rate，SR)分別為20%至80%時(shí)圖像的重構(gòu)效果圖。由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可見(jiàn)，在測(cè)量矩陣和恢復(fù)算法相同的情況下，信號(hào)的采樣率越高重構(gòu)圖像的質(zhì)量越好。采樣率大于50% 時(shí)恢復(fù)結(jié)果比較清晰；采樣率為40% 時(shí)，仍能較好的重構(gòu)圖像；在采樣率為30% 時(shí)，恢復(fù)的效果很差，出現(xiàn)了較多噪聲，圖像大部分細(xì)節(jié)信息丟失。這也驗(yàn)證了壓縮感知的測(cè)量值與信號(hào)稀疏度的關(guān)系，只有當(dāng)測(cè)量值大于某個(gè)固定范圍時(shí)，即滿足測(cè)量值M≥cKlog(N)時(shí)，才能較好的構(gòu)建出原始圖像。當(dāng)然，隨著采樣率的增大，采樣的測(cè)量值就越多，運(yùn)算所需時(shí)間就越長(zhǎng)。

圖1 采樣率不同時(shí)圖像重構(gòu)效果對(duì)比Fig.1 Results contrast under different sampling rate

2.2 稀疏變換基對(duì)重構(gòu)信號(hào)質(zhì)量的影響

應(yīng)用壓縮感知理論對(duì)信號(hào)處理性能分析，必須保證該信號(hào)在某個(gè)特定正交空間上是稀疏的。由于1個(gè)信號(hào)的稀疏性與所選取的正交空間特性密切相關(guān)，因而，選用1個(gè)最合適的稀疏變換域?qū)⑵浔硎境鰜?lái)非常重要。為此，此處對(duì)同一個(gè)信號(hào)數(shù)據(jù)矩陣稀疏變換基分別采用離散余弦變換 (DCT)，快速傅里葉變換(FFT)和小波變換(DWT)[16-18]，對(duì)比重構(gòu)信號(hào)的質(zhì)量和性能。在重構(gòu)過(guò)程中，測(cè)量矩陣使用高斯矩陣，重構(gòu)算法使用正交匹配追蹤算法。

實(shí)驗(yàn)中的測(cè)試圖像仍然選用256*256像素的“l(fā)ena”灰度圖像，原始圖像的采樣率(M/N)分別為40%、50%、60%時(shí)，各種情況下重構(gòu)質(zhì)量如表1所示。比較分析結(jié)果（表1）可見(jiàn)，相同的采樣率下，采用小波變換時(shí)重構(gòu)圖像質(zhì)量最好，并且運(yùn)行時(shí)間最快。采用離散余弦變換時(shí)恢復(fù)圖像質(zhì)量效果最差，而采用快速傅里葉變換所需時(shí)間最長(zhǎng)。因而，對(duì)信號(hào)進(jìn)行稀疏時(shí)應(yīng)以使用小波變換為宜。

表1 稀疏變換基不同時(shí)圖像重構(gòu)效果對(duì)比Tab.1 Results contrast under different sparse transform basis

接表1

2.3 測(cè)量矩陣對(duì)重構(gòu)信號(hào)質(zhì)量的影響

測(cè)量矩陣是壓縮感知中最重要的部分，在原始信號(hào)抽樣的獲取與信號(hào)重建過(guò)程中起著關(guān)鍵性作用。因此，測(cè)量矩陣的選擇和構(gòu)造是壓縮感知的核心內(nèi)容，在測(cè)量矩陣設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)首先考慮到2個(gè)基本準(zhǔn)則：具有有限等距性、測(cè)量矩陣和稀疏矩陣間具有不相關(guān)性。

測(cè)量矩陣之間性能各有差異，實(shí)際使用時(shí)盡量選用性能盡可能好的測(cè)量矩陣。此處選擇了目前經(jīng)常使用的已被發(fā)現(xiàn)且具有較好性質(zhì)的高斯矩陣(Gauss Matrix)、哈達(dá)瑪矩陣 (Hadamard Matrix)、伯努利矩陣 (BernouliMatrix)、部分正交矩陣(Partial OrthogonalMatrix)以及諾斯萊特矩陣(Noiselets Matrix)作為測(cè)量矩陣時(shí)重構(gòu)信號(hào)的效果[19-21]，實(shí)驗(yàn)中使用256*256像素的灰度圖像“flower”做為測(cè)試圖像，通過(guò)小波變換基對(duì)信號(hào)稀疏，正交匹配追蹤(OMP)算法進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)。由實(shí)驗(yàn)結(jié)果（圖2）可見(jiàn)，相同采樣率下，使用高斯矩陣、哈達(dá)瑪矩陣和部分正交矩陣作為測(cè)量矩陣時(shí)重構(gòu)圖像運(yùn)行時(shí)間較短，而將伯努利矩陣和諾斯萊特矩陣用作測(cè)量矩陣時(shí)恢復(fù)圖像耗時(shí)較長(zhǎng)；使用諾斯萊特矩陣作為測(cè)量矩陣圖像重構(gòu)效果最為理想，使用哈達(dá)瑪矩陣和部分正交矩陣時(shí)恢復(fù)重構(gòu)效果差別不是很大，采樣率較低時(shí)，使用伯努利矩陣重構(gòu)效果最不理想。

圖2 測(cè)量矩陣不同時(shí)圖像重構(gòu)效果對(duì)比Fig.2 Results contrast under different measurement matrix

圖3 為采樣率取50%時(shí)選用不同測(cè)量矩陣的重構(gòu)效果圖，通過(guò)圖像視覺(jué)和PSNR值也可以比較重構(gòu)圖像質(zhì)量?jī)?yōu)劣。

圖3 相同采樣率時(shí)各測(cè)量矩陣圖像重構(gòu)效果Fig.3 Results contrast under different measurement matrix

2.4 重構(gòu)算法對(duì)重構(gòu)信號(hào)質(zhì)量的影響

在相同條件下，壓縮感知不同重構(gòu)算法有不同特點(diǎn)，應(yīng)用時(shí)盡量采用效果最優(yōu)化算法，此處對(duì)3種常用的基追蹤算法(BP)算法、正交匹配追蹤(OMP)算法和階段正交匹配追蹤(StOMP)算法做了對(duì)比研究[22-25]。實(shí)驗(yàn)中，對(duì)256*256的灰度圖像“Barbara”進(jìn)行重構(gòu)，使用小波對(duì)圖像進(jìn)行變換，使用效果比較好速度較快的結(jié)構(gòu)化隨機(jī)矩陣作為測(cè)量矩陣。

(1)相同采樣率時(shí)各算法的性能比較。實(shí)驗(yàn)中設(shè)定圖像的采樣率（M/N）恒為80%時(shí)，得到的對(duì)比結(jié)果如圖4所示。由圖4可見(jiàn)，3種算法采樣率相同時(shí)，BP算法重構(gòu)圖像效果最好，OMP重構(gòu)圖像效果較好，而StOMP算法重構(gòu)圖像效果最差。3種算法中，BP算法運(yùn)行時(shí)間最長(zhǎng)，StOMP算法運(yùn)行時(shí)間最短。

圖4 相同采樣率不同算法時(shí)的性能比較Fig.4 Results contrast under different algorithms

(2)采用率不同時(shí)各算法的性能比較。為了進(jìn)一步比較各算法的性能，對(duì)原始圖像在不同采樣率情況下重構(gòu)結(jié)果進(jìn)行了比較，原始圖像的采樣率（M/N） 分別為 80%、70%、60%、50%、40%、30%時(shí)，各算法對(duì)應(yīng)的重構(gòu)圖像效果對(duì)比如圖5所示。

圖5 不同算法時(shí)圖像重構(gòu)效果Fig.5 Results contrast under different algorithms

由圖5可見(jiàn)，3種算法均是隨著采樣率的增加，重構(gòu)圖像與原始圖像的峰值信噪比PSNR增大，如圖5b。說(shuō)明信號(hào)的采樣率越高，重構(gòu)圖像質(zhì)量越高，效果越明顯。相同采樣率下，BP算法重構(gòu)圖像質(zhì)量最好，StOMP算法重構(gòu)圖像的質(zhì)量最差；當(dāng)采用率低于70%時(shí)，StOMP算法重構(gòu)圖像的質(zhì)量基本不變，但效果比較不理想。3種算法下，重構(gòu)圖像和原始圖像的均方差總體趨勢(shì)下都是隨采樣率的增加而減??；相同采樣率條件下，BP算法均方差最大，StOMP算法均方差最小，如圖5c。

綜合上面所得的結(jié)果可知，OMP算法同時(shí)能夠兼顧重構(gòu)時(shí)間和重構(gòu)質(zhì)量，是一種相對(duì)比較實(shí)用的重構(gòu)算法。

3 結(jié)論

本文研究了應(yīng)用壓縮感知理論進(jìn)行圖像重構(gòu)的關(guān)鍵技術(shù)，分析對(duì)比了信號(hào)稀疏表示所選取的正交變換基、編碼所構(gòu)造的測(cè)量矩陣和重構(gòu)算法等不同時(shí)對(duì)重構(gòu)圖像質(zhì)量的影響。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：應(yīng)用壓縮感知理論，僅需30%的采樣率即可有效恢復(fù)圖像，當(dāng)采樣率達(dá)到50%時(shí)能夠獲得較高質(zhì)量的圖像，相較于傳統(tǒng)圖像重構(gòu)方法中要求采樣率至少為原始信號(hào)的2倍，大大降低了采樣過(guò)程中冗余數(shù)據(jù)過(guò)多，信息處理過(guò)慢的問(wèn)題，同時(shí)保證了圖像信號(hào)恢復(fù)的質(zhì)量。

一般情況下，以相對(duì)較大的采樣率進(jìn)行采樣，使用小波變換基對(duì)信號(hào)稀疏，以諾斯萊特矩陣作為測(cè)量矩陣，以O(shè)MP算法進(jìn)行重構(gòu)能夠有效兼顧圖像恢復(fù)效率和恢復(fù)質(zhì)量。該研究對(duì)當(dāng)前應(yīng)用壓縮感知理論進(jìn)行圖像處理時(shí)在大大降低硬件采集系統(tǒng)的復(fù)雜度和耗費(fèi)成本的前提下，進(jìn)一步提高重構(gòu)圖像的速度和質(zhì)量，具有重要的應(yīng)用意義。

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Research on key techniques of image reconstruction based on compressed sensing

Liu Xiaoyong1,Lu Pei2*,Cao Haibing1,Tian Min2
(1 College of Science,Shihezi University,Shihezi,Xinjiang 832003,China;2 College of Information Science and Technology,Shihezi University,Shihezi,Xinjiang 832003,China)

The rapid imaging technology put forward higher demand due to the importance of image application in information,and compressed sensing providesanew way forimageprocessing.Thispaperstudiesthekey technologiesof image reconstruction based on compressed sensing,comparative analysis of the influences on the quality of reconstructed image is emphases.The experimental results show that only 50%of the sampling rate we can obtain high quality images using wavelet transform based on signal sparse,Hadamard matrix as the measurement matrix and orthogonal matching pursuit algorithm.The method availably reduces the redundant data and the visual effects,PSNR values and recovery efficiency of reconstructed image are improved.This research provides a strong basis and support on the theory and technology for the application of compressed sensing to seek optimal image restoration method.

compressed sensing;image reconstruction;sparse signal;measurement matrix;reconstruction algorithm

TP391.41

A

10.13880/j.cnki.65-1174/n.2017.05.020

1007-7383(2017)05-0641-07

2017-02-24

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（61465011）；石河子大學(xué)高層次人才項(xiàng)目（RCZX201420、RCZX201436）作者簡(jiǎn)介：劉效勇(1976-)，男，博士，從事信息安全和三維傳感研究,e-mail:llxxyy1017@shzu.edu.cn。

*通信作者：盧佩(1979-),女,副教授,從事信號(hào)與信息處理、目標(biāo)識(shí)別研究,e-mail:lupei0@163.com。