遼寧撫順市四方高級中學(xué) 孟慶杰 (郵編：113122)

兩類高考?？嫉碾p曲線

遼寧撫順市四方高級中學(xué) 孟慶杰 (郵編：113122)

離心率為和的兩類雙曲線,在高考試題中頻頻出現(xiàn).他們就像一對兄弟,一會兒獨(dú)立出現(xiàn),一會兒聯(lián)手出現(xiàn).其實(shí)他們既有親密關(guān)系,又有獨(dú)立性質(zhì).如果能弄清他們的關(guān)系與性質(zhì),則此類高考試題順利解決.

高考;雙曲線;離心率

1 兩類雙曲線的關(guān)系及性質(zhì)

1.1 基本性質(zhì)(以焦點(diǎn)在x軸上為例)

設(shè)雙曲線的實(shí)半軸為a,虛半軸為b,半焦距為c,離心率為e.

(1)基本關(guān)系

(2)本身關(guān)系

①離心率為 5的雙曲線,焦點(diǎn)到漸近線的距離d＝b＝2a;離心率為的雙曲線,焦點(diǎn)到漸近線的距離d＝b＝a.

1.2 相似性質(zhì)

(1)與中點(diǎn)有關(guān)的性質(zhì)

①已知雙曲線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn),F是雙曲線的一個焦點(diǎn).則雙曲線的離心率為 5的充要條件是在雙曲線上存在點(diǎn)P,使PF的中點(diǎn)恰為雙曲線虛軸的一個端點(diǎn).

充分性 由題意及中點(diǎn)坐標(biāo)公式,得P(－c,2b),將點(diǎn)P坐標(biāo)代入方程,得e＝ 5.

必要性 連接FB并延長到點(diǎn)P,使FB＝BP,由中點(diǎn)坐標(biāo)公式,得P(－c,2b).又e＝5,所以將P坐標(biāo)代入方程,得所以點(diǎn)P在雙曲線上.焦點(diǎn)在y時,同理可證結(jié)論成立.

說明 當(dāng)F為右焦點(diǎn)時,還有一個符合條件的P2;當(dāng)F為左焦點(diǎn)時,也有兩個符合條件的P3和P1,如圖1.

圖1

②已知雙曲線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O,F是雙曲線的一個焦點(diǎn),點(diǎn)A為虛軸上一點(diǎn)且 OA 等于虛軸長,則雙曲線的離心率為的充要條件是延長AF交雙曲線于P點(diǎn),且AF＝FP.證明 由題意不妨設(shè)雙曲線方程為＝1(a＞0,b＞0),F(c,0),虛軸上的點(diǎn)A(0,2b),如圖2.

充分性 由題意及中點(diǎn)坐標(biāo)公式,得P(2c,－2b),將點(diǎn)P坐標(biāo)代入方程,得e＝.

必要性 連接AF并延長到點(diǎn)P,使AF＝FP,由中點(diǎn)坐標(biāo)公式,得P(2c,－2b).又e＝,所以將P坐標(biāo)代入方程,得－4＝1,所以點(diǎn)P在雙曲線上.焦點(diǎn)在y時,同理可證結(jié)論成立.

說明 當(dāng)F為右焦點(diǎn)時,還有一個符合條件的P1;當(dāng)F為左焦點(diǎn)時,也有兩個符合條件的P3和P2,如圖2.

(2)與等差數(shù)列有關(guān)的性質(zhì)

圖2

圖3

說明 當(dāng)F為右焦點(diǎn)時,還有一個符合條件的l;當(dāng)F為左焦點(diǎn)時,也有兩個符合條件的l,如圖3.

圖4

說明 當(dāng)F為右焦點(diǎn)時,還有一個符合條件的l;當(dāng)F為左焦點(diǎn)時,也有兩個符合條件的l,如圖4.

①已知雙曲線方程為 ＝1(a＞0,b＞0),拋物線方程為y＝kx2＋m.證明：

(i)若雙曲線離心率為 5且km＝1,則拋物線與雙曲線的漸近線相切;(ii)若雙曲線離心率為 5且拋物線與雙曲線的漸近線相切,則km＝1;(iii)若拋物線與雙曲線的漸近線相切且km＝1,則雙曲線離心率為 5.

說明 雙曲線方程為 ＝1(a＞0,b＞0),拋物線方程為x＝ky2＋m,仍然滿足上述性質(zhì).

②已知雙曲線方程為 ＝1(a＞0,b＞0),拋物線方程為x＝ky2＋m.證明：

(4)與三等分點(diǎn)和四等分點(diǎn)有關(guān)的性質(zhì)

已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的雙曲線的一個頂點(diǎn)為A,過A作直線l交雙曲線的兩條漸近線于B、C兩點(diǎn).

(i)由題意設(shè)直線l方程為y＝－x＋a,聯(lián)立直線l與漸近線方程,求得所以b＝2a,即e＝ 5.所以③成立.

圖5

說明 當(dāng)A為左頂點(diǎn)時,直線l為AC2和AC3如圖5,同理可證結(jié)論成立.曲線方程為1(a＞0,b＞0),A(a,0),如圖6.

圖6

(i)由題意設(shè)直線l方程為y＝x－a,聯(lián)立直線l與漸近線方程,求得即a＝2b,所以3＝(2b,2b),＝(2b,2b),所 以3＝.當(dāng)直線l方程為y＝－x＋a變?yōu)橹本€AC1時如圖6,同理可證結(jié)論成立,所以(i)成立.

說明 當(dāng)A為左頂點(diǎn)時,直線l為AC2和AC3如圖6,同理可證結(jié)論成立.當(dāng)雙曲線焦點(diǎn)在y軸上時,上述結(jié)論成立.

圖7

證明 (i)(如圖7)設(shè)直線l方程為y＝3x＋m,聯(lián)立直線l與漸近線方程,求得又e＝,即b＝2a,由兩點(diǎn)間距離公式得 P2A ＝m,P2B ＝m,所以 P2A ＝P2B .

當(dāng)設(shè)直線l方程為y＝－3x＋m,即直線l為直線P1B1時,同理可證結(jié)論成立,所以(i)成立.

(ii)(如圖7)設(shè)直線l方程為y＝kx＋m,聯(lián)立直線l與漸近線方程,求得又e＝ 5,即b＝2a,P2A ＝P2B,由兩點(diǎn)距離公式化簡解得k2＝9,即直線l的斜率為3或－3,其中當(dāng)直線l為直線P1B時,直線l的斜率為3;當(dāng)直線l為直線P1B1時,直線l的斜率為－3,所以(ii)成立.

(iii)(如圖7)設(shè)直線l方程為y＝3x＋m,聯(lián)立直線l與漸近線方程,求得P2B,由兩點(diǎn)間距離公式化簡整理得b＝2a,即e＝5.所以(iii)成立.

說明：若過P2作直線l(如圖7),同理可證上述結(jié)論成立.＝1(a＞0,b＞0),x軸上有兩點(diǎn)P1(－m,0)和P2(m,0)(m＞0),過P1作不平行于y軸的直線l交雙曲線漸近線于A,B兩點(diǎn)(如圖8),(i)若雙曲線的離心率為,且直線l的斜率為或－,則PA ＝PB ;(ii)若雙曲線的離心率為,22且PA ＝PB ,則直線l的斜率為或－22;(iii)若直線l的斜率為或－,且PA ＝PB ,則雙曲線的離心率為.22

圖8

(ii)(如圖8)設(shè)直線l方程為x＋ky＋m＝0,聯(lián)立直線l與漸近線方程,求得,即a＝2b,P2A ＝P2B,所以由兩點(diǎn)間距離公式化簡整理,得k2＝9,即直線l的斜率為或－,其中當(dāng)直線l為直線P1B時,直線l的斜率為;當(dāng)直線l為直線PB時,直線l的斜率為－11,所以(ii)成立.

說明：若過P2作直線l(如圖8),同理可證上述結(jié)論成立.

1.3 共同性質(zhì)

證明(1) 當(dāng)0＜m＜a時(如圖9)

充分性 由題意直線l方程為bx＋ay－ab＝0,由梯形中位線性質(zhì),得2d＝,解得a＝2b或b＝2a,所以雙曲線的離心率為 5或

圖9

必要性 由充分性證明得d1＋d2＝e＝或e＝,所以a＝2b或b＝2a,c＝

當(dāng)m＝0時,點(diǎn)P1、P2與原點(diǎn)重合,d1＝d2,同理可證成立;當(dāng)m＝a時,點(diǎn)P2與點(diǎn)A重合,d2＝0,d1＋d2＝d1＝,同理可證成立.

(2)當(dāng)m＞a時(如圖10),由平面幾何知識得d1－d2＝2d.以下證明同(1)的證明.

說明 當(dāng)a＜m＜b時,在y軸上存在兩點(diǎn)P1(0,m)和P2(0,－m)(m≥0),則雙曲線的離心率為或的充要條件是d＋d＝c,

圖10

12證明同上.當(dāng)m＞a且m＞b時,結(jié)論同上面(2),證明同上.

2 兩類雙曲線在高考試題中的展示

2.1 基本問題爭先恐后永不言敗

(1)求雙曲線方程

解 因?yàn)閏＝5,由基本性質(zhì),立即得b＝1,a＝2,所以所求方程為－y2＝1,漸近線方程為y＝±x.

說明 2009年重慶文,求離心率為 5的雙曲線的方程;2011年廣東,求離心率為的雙曲線的方程;2014年天津,文理求離心率為的雙曲線的方程;2015課標(biāo)2文,求離心率為的雙曲線的方程;2016年北京文,求離心率為的雙曲線的方程;2016年天津文,求離心率為的雙曲線的方程.

(2)找雙曲線方程

(3)求離心率

－y2＝1的離心率等于 .

說明 2014年福建理,求離心率為 5.

(4)求漸近線

解 由基本性質(zhì)C正確.

(5)求頂點(diǎn)到漸近線距離

解 由基本性質(zhì)得C正確.

(6)綜合

解 由題意a＝2,a＝2b,所以B正確.

解 由題意b＝2a,又C1的右焦點(diǎn)為F(5,0),由基本性質(zhì)得a＝1,b＝2.

例8 (2014年北京理)設(shè)雙曲線C經(jīng)過點(diǎn)(2,2),且與－x2＝1具有相同漸近線,則C的方程為;漸近線方程為.

例9 (2015年上海文)已知雙曲線C1、C2的頂點(diǎn)重合,C1的方程為－y2＝1,若C2的一條漸近線的斜率是C1的條漸近線的斜率的2倍,則C2的方程為 .

解 由題意雙曲線C2的a＝2,a＝b,所以所求方程為x2－y2＝4.

2.2 獨(dú)闖天下各顯風(fēng)彩

例10 (2008年全國1文)雙曲線的中心為原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上,兩條漸近線分別為l1、l2,經(jīng)過右焦點(diǎn)F垂直于l1的直線分別交l1、l2于A,B兩點(diǎn).已知成等差數(shù)列,且同向.求雙曲線的離心率.

2.3 兄弟聯(lián)手打造奇跡

圖11

解 設(shè)A(a,0),B(0,b)或A1(a,0),B1(0,b)(如圖11),由共同性質(zhì)1得s＝2d＝或s＝2d1＝c,當(dāng)線段A1B1移動到線段AB時,滿足s≥c,所以≤e≤.

2017-09-19)