李文鑫，蔡國(guó)偉，楊德友

（東北電力大學(xué)電氣工程學(xué)院，吉林吉林132012）

0 引 言

隨著特高壓電網(wǎng)的建設(shè)，跨區(qū)輸送功率大、送電距離遠(yuǎn)，形成大區(qū)互聯(lián)結(jié)構(gòu)，由此帶來的小干擾穩(wěn)定問題嚴(yán)重影響電網(wǎng)的安全穩(wěn)定運(yùn)行，小干擾穩(wěn)定約束下的聯(lián)絡(luò)線輸送極限已成為保證電網(wǎng)安全運(yùn)行的重要依據(jù)［1-2］。

在負(fù)荷高峰期，系統(tǒng)間聯(lián)絡(luò)線傳輸功率容易達(dá)到其極值，弱化系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定性，引起弱阻尼模式，有必要在線估測(cè)出電力系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定下聯(lián)絡(luò)線功率極值，預(yù)防電力系統(tǒng)出現(xiàn)弱阻尼模式，以提高電力系統(tǒng)運(yùn)行的安全穩(wěn)定性［3-5］。

目前國(guó)內(nèi)外有關(guān)區(qū)間聯(lián)絡(luò)線功率的研究主要集中在聯(lián)絡(luò)線功率振蕩研究、聯(lián)絡(luò)線功率波動(dòng)理論分析、聯(lián)絡(luò)線隨機(jī)功率波動(dòng)機(jī)制。文獻(xiàn)［6］對(duì)聯(lián)絡(luò)線功率波動(dòng)最大值進(jìn)行了理論推導(dǎo)，分析了影響聯(lián)絡(luò)線功率波動(dòng)峰值的相關(guān)因素。文獻(xiàn)［7］基于沖擊功率的分配理論，推導(dǎo)了互聯(lián)系統(tǒng)在發(fā)生功率擾動(dòng)后聯(lián)絡(luò)線功率的變化。文獻(xiàn)［8］提出由于功率缺額引起的聯(lián)絡(luò)線功率波動(dòng)的機(jī)制，給出影響功率波動(dòng)峰值大小的關(guān)鍵因素，為互聯(lián)電力系統(tǒng)的運(yùn)行方式安排提供理論基礎(chǔ)和技術(shù)依據(jù)。

研究表明Hopf分岔指數(shù)在電力系統(tǒng)穩(wěn)定性分析領(lǐng)域具有很強(qiáng)的適應(yīng)性。文獻(xiàn)［9-10］在深入分析系統(tǒng)重要特征值和Hopf分岔點(diǎn)之間關(guān)系的基礎(chǔ)上，提出了用于分析電力系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定分析的Hopf分岔指數(shù)。現(xiàn)有Hopf分岔指數(shù)計(jì)算速率較慢，嚴(yán)重影響Hopf分岔指數(shù)在系統(tǒng)在線安全評(píng)估方面的應(yīng)用。

為了進(jìn)一步提高Hopf分岔指數(shù)的計(jì)算速率，在深入分析系統(tǒng)重要特征值和Hopf分岔點(diǎn)之間的特性關(guān)系的基礎(chǔ)上，本文提出了基于改進(jìn)的Hopf分岔指數(shù)的電力系統(tǒng)區(qū)間聯(lián)絡(luò)線極限值評(píng)估方法。本文提出的方法在降低了計(jì)算矩陣維度的同時(shí)，極大提高了計(jì)算速率。IEEE4機(jī)2區(qū)域系統(tǒng)仿真計(jì)算結(jié)果驗(yàn)證了本文所提方法在聯(lián)絡(luò)線功率極值在線估計(jì)中的有效性和準(zhǔn)確性。

1 Hopf分岔與阻尼水平

1.1 Hopf分岔指數(shù)

電力系統(tǒng)的線性化狀態(tài)方程可以表示為：

式中A為系統(tǒng)狀態(tài)矩陣。

目前，電力系統(tǒng)中應(yīng)用最為廣泛的為文獻(xiàn)［9］和文獻(xiàn)［10］提出的Hopf分岔指數(shù)。

文獻(xiàn)［9］提出的Hopf分岔指數(shù)形式如下：

λc＝αc＋jβc為系統(tǒng) A陣的特征值。

此指數(shù)為特征值實(shí)部絕對(duì)值，可以預(yù)測(cè)任何一種不穩(wěn)定現(xiàn)象。

文獻(xiàn)［10］提出的Hopf分岔指數(shù)形式為：

式中 In為n維單位陣；βc為特征值虛部；σmin為矩陣最小奇異值計(jì)算。

1.2 改進(jìn)的Hopf分岔指數(shù)

λc＝αc＋jβc為系統(tǒng) A的特征值，［vR±j vI］是特征值相應(yīng)特征向量。

將上式解耦，得到如下等式：

由等式（4）可得出等式（5）：

當(dāng)系統(tǒng)到達(dá)臨界狀態(tài)時(shí)，因?yàn)樘卣髦祵?shí)部ac＝0，由于特征向量［vRvI］≠0，因此：

由于矩陣行列式值并不是一個(gè)連續(xù)值，矩陣行列式值不能作為指數(shù)。矩陣的最小奇異值等于其行列式值，用矩陣的最小奇異值［11］代替其行列式值：

可以利用HBI在線監(jiān)測(cè)Hopf分岔。Hopf分岔指數(shù)在Hopf分岔點(diǎn)處為零。

由于現(xiàn)代大型電力系統(tǒng)維數(shù)n很大，AM矩陣是2n維矩陣，因此HBI的計(jì)算量較大，且計(jì)算速率較慢。

當(dāng)A、B、C和D矩陣為可交換矩陣時(shí)，以下等式成立：

由于A陣和βcIn矩陣為可交換矩陣，因此等式成立：

定義改進(jìn)的Hopf分岔指數(shù)為Improved Hopf Bifurcation Index（IHBI），則：

文獻(xiàn)［10］證明Hopf分岔指數(shù)與狀態(tài)變量之間存在良好的線性關(guān)系，因此改進(jìn)Hopf分岔指數(shù)與聯(lián)絡(luò)線功率存在良好線性關(guān)系。

2 隨機(jī)子空間辨識(shí)算法

在實(shí)際應(yīng)用中，量測(cè)數(shù)據(jù)在時(shí)間上都是離散的，經(jīng)離散采樣后，可得如下隨機(jī)狀態(tài)空間系統(tǒng)［12］：

其中，xk∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)量；yk∈Rl為量測(cè)到的輸出量；wk∈Rn和 vk∈Rl均為假定白噪聲；且 E（wk）＝E（vk）＝0分別代表系統(tǒng)狀態(tài)矩陣和系統(tǒng)輸出矩陣；A∈Rn×n和 C∈Rl×n為連續(xù)系統(tǒng)矩陣的最重要特征值；Δt為采樣時(shí)間間隔。

對(duì)式（11）所示的隨機(jī)系統(tǒng)，由采樣時(shí)序數(shù)據(jù)組成Hankle矩陣為：

式中i＝2n；n為系統(tǒng)階數(shù)；j為量測(cè)量系統(tǒng)采樣數(shù)。令正交投影所得矩陣為：

計(jì)算Oi奇異值分解（SVD）值：

則延伸可觀察矩陣Γi和Γi－1可表示為：

利用式（13）、式（14）、式（16）和式（17）可得Kalman濾波狀態(tài)序列：

式中∴表示相應(yīng)矩陣的偽逆。

將式（12）、式（18）和式（19）代入式（20）即可計(jì)算得到狀態(tài)矩陣和輸出矩陣：

SSI辨識(shí)系統(tǒng)算法辨識(shí)得到離散狀態(tài)下系統(tǒng)矩陣Ad。由式（21），從而得到連續(xù)狀態(tài)下系統(tǒng)矩陣A。

在確定離散系統(tǒng)狀態(tài)矩陣Ad后，對(duì)其進(jìn)行特征值分解［13］：

式中 Λ＝diag（λi）∈Rn×n；λi為離散系統(tǒng)特征值；i＝1，2，…，n；ψ為系統(tǒng)特征向量。

根據(jù)離散系統(tǒng)與連續(xù)系統(tǒng)的特征值關(guān)系，可得連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)特征值：

3 聯(lián)絡(luò)線輸送極限在線估計(jì)

基于SSI理論的小擾動(dòng)穩(wěn)定下聯(lián)絡(luò)線功率極值在線估計(jì)步驟如下所示。首先利用SSI算法對(duì)從PDC（Phasor Data Concentrator）中獲取的聯(lián)絡(luò)線隨機(jī)波動(dòng)信號(hào)進(jìn)行計(jì)算，得到離散狀態(tài)矩陣Ad及觀測(cè)矩陣C。將系統(tǒng)離散狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)檫B續(xù)狀態(tài)，從而得出連續(xù)狀態(tài)下系統(tǒng)矩陣A，并辨識(shí)得出A陣的重要特征值。計(jì)算得出改進(jìn)Hopf分岔指數(shù)。

在線估計(jì)步驟如下所示：

（1）從 PDC（Phasor Data Concentrator）中獲取區(qū)間聯(lián)絡(luò)線隨機(jī)波動(dòng)信號(hào)；

（2）利用SSI算法對(duì)區(qū)間聯(lián)絡(luò)線隨機(jī)波動(dòng)信號(hào)進(jìn)行辨識(shí)以得到系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)。SSI辨識(shí)得到模態(tài)參數(shù)中包括離散狀態(tài)下的系統(tǒng)矩陣和重要特征值；

（3）將SSI辨識(shí)得到的離散狀態(tài)下的系統(tǒng)矩陣和重要特征值轉(zhuǎn)換成連續(xù)狀態(tài)下系統(tǒng)矩陣和重要特征值；

（4）計(jì)算得出改進(jìn)Hopf分岔指數(shù)，即為小干擾穩(wěn)定下聯(lián)絡(luò)線功率極值的估計(jì)指數(shù)；

（5）從PMU相量測(cè)量裝置中獲取聯(lián)絡(luò)線功率值，由于改進(jìn)Hopf分岔指數(shù)與聯(lián)絡(luò)線功率之間具有良好線性關(guān)系，從而估計(jì)得出小干擾穩(wěn)定下聯(lián)絡(luò)線功率極值。

聯(lián)絡(luò)線輸送極限在線估計(jì)流程圖如圖1所示。

圖1 聯(lián)絡(luò)線功率在線估計(jì)流程圖Fig.1 Online estimation flow chart of the tie line

4 數(shù)字仿真分析

4.1 IEEE4機(jī)2區(qū)域系統(tǒng)

以IEEE4機(jī)2區(qū)域系統(tǒng)為例，對(duì)本文提出的預(yù)測(cè)聯(lián)絡(luò)線功率極限值的改進(jìn)Hopf分岔指數(shù)法進(jìn)行仿真分析。IEEE4機(jī)2區(qū)域系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖2所示，詳細(xì)系統(tǒng)數(shù)據(jù)見文獻(xiàn)［14］。

圖2 4機(jī)2區(qū)域系統(tǒng)模型圖Fig.2 Simulation model of 2-area 4-machine system

利用電力系統(tǒng)綜合分析程序（power system analysis software package，PSASP）計(jì)算系統(tǒng)基礎(chǔ)運(yùn)行方式下的機(jī)電振蕩模式，分析結(jié)果如表1所示。

表1 4機(jī)2區(qū)域系統(tǒng)特征值分析結(jié)果Tab.1 Characteristic analysis results of four-generator two-area

假設(shè)系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)1和節(jié)點(diǎn)2處的發(fā)電機(jī)有功功率輸出每5 s按其基礎(chǔ)值的5%增加，直至系統(tǒng)聯(lián)絡(luò)線功率達(dá)到其極限功率。利用PSAT仿真軟件獲取系統(tǒng)某一穩(wěn)定運(yùn)行狀態(tài)下，時(shí)長(zhǎng)為1 min的聯(lián)絡(luò)線有功功率時(shí)域響應(yīng)，如圖3所示。各時(shí)刻聯(lián)絡(luò)線有功功率大小及系統(tǒng)區(qū)間振蕩的特征值分析結(jié)果如表2所示。

圖3 聯(lián)絡(luò)線有功功率時(shí)域響應(yīng)Fig.3 Active power time domain response of tie line

表2 4機(jī)2區(qū)域系統(tǒng)特征值計(jì)算結(jié)果Tab.2 Calculation results of characteristic value of 2-area 4-machine system

分析表2可知，隨著系統(tǒng)中發(fā)電機(jī)1和2的有功功率輸出不斷增加，系統(tǒng)區(qū)間聯(lián)絡(luò)線有功功率隨之不斷增加。同時(shí)，特征值分析結(jié)果表明隨著區(qū)間聯(lián)絡(luò)線有功功率的增加，區(qū)間振蕩頻率基本保持不變，但特征值實(shí)部逐漸向虛軸靠近，系統(tǒng)阻尼比不斷減小，直至阻尼比減小為零，此時(shí)系統(tǒng)聯(lián)絡(luò)線有功功率達(dá)到其極限值，即IEEE4機(jī)2區(qū)系統(tǒng)處于Hopf分岔點(diǎn)，此時(shí)得到系統(tǒng)聯(lián)絡(luò)線功率極值為245 MW。

利用本文提出的方法計(jì)算IEEE4機(jī)2區(qū)域系統(tǒng)改進(jìn)Hopf分岔指數(shù)。首先，以系統(tǒng)聯(lián)絡(luò)線率隨機(jī)響應(yīng)信號(hào)為基礎(chǔ)，利用SSI算法辨識(shí)系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)，進(jìn)而利用SSI辨識(shí)參數(shù)計(jì)算得到改進(jìn)Hopf分岔指數(shù)。辨識(shí)結(jié)果如表3所示，改進(jìn)Hopf分岔指數(shù)計(jì)算結(jié)果如表4所示。

分析表3可知，SSI辨識(shí)得到的系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)與基礎(chǔ)運(yùn)行方式下的值十分接近。進(jìn)而利用SSI辨識(shí)結(jié)果計(jì)算得到改進(jìn)Hopf分岔指數(shù)，如表4所示。由表4可知，隨著區(qū)間聯(lián)絡(luò)線有功功率的不斷增大，IHBI值不斷減小，即系統(tǒng)穩(wěn)定程度不斷下降。當(dāng)IHBI減小為0時(shí)，聯(lián)絡(luò)線有功功率達(dá)到其極限值，此時(shí)系統(tǒng)處于Hopf分岔點(diǎn)。系統(tǒng)聯(lián)絡(luò)線有功功率極值和特征值實(shí)部絕對(duì)值、IHBI之間的關(guān)系如圖4所示。

結(jié)合表2和表4分析可知，利用IHBI估算得到的聯(lián)絡(luò)線功率極值約為248 MW，與系統(tǒng)特征值計(jì)算分析結(jié)果得到一致結(jié)論，表明本文提出的用于聯(lián)絡(luò)線功率極值估算的改進(jìn)Hopf分岔指數(shù)法具有良好的評(píng)估效果。

表3 SSI算法辨識(shí)結(jié)果Tab.3 Identification results using SSI

表4 IHBI計(jì)算結(jié)果及聯(lián)絡(luò)線有功功率極值估計(jì)Tab.4 Calculation results of IHBI and the estimation of the active power of the tie line

圖4 聯(lián)絡(luò)線有功功率-特征值實(shí)部-IHBI關(guān)系圖Fig.4 Online application of eigenvalue real part and IHBI

5 結(jié)束語

本文在深入研究Hopf分岔理論基礎(chǔ)上提出了改進(jìn)Hopf分岔指數(shù)，用于電力系統(tǒng)聯(lián)絡(luò)線功率極值的在線評(píng)估。仿真計(jì)算與分析表明：

（1）與傳統(tǒng)Hopf分岔指數(shù)相比，本文提出的改進(jìn)Hopf分岔指數(shù)計(jì)算矩陣維數(shù)更少，有效提高了計(jì)算速率；

（2）本文提出的改進(jìn)Hopf分岔指數(shù)與系統(tǒng)聯(lián)絡(luò)線有功功率之間具有良好線性關(guān)系，利用IHBI估算系統(tǒng)聯(lián)絡(luò)線有功功率極值具有良好的評(píng)估效果。

本文提出方法能夠準(zhǔn)確估計(jì)出聯(lián)絡(luò)線輸送極限，且具有計(jì)算過程簡(jiǎn)單、計(jì)算速度快的優(yōu)點(diǎn)，適于在線應(yīng)用。