郭明明，楊瑞峰，張鵬，郭晨霞

（1.中北大學儀器與電子學院，太原030051；2.山西省自動化檢測裝備與系統(tǒng)工程技術研究中心，太原030051）

0 引 言

在工業(yè)自動化領域中，永磁同步電機因具有優(yōu)良的機械特性被廣泛應用，可是在電機工作的過程中，不可避免的會出現(xiàn)參數(shù)變化、外界干擾等不確定擾動，尤其是當負載轉矩發(fā)生變化時，電機的位置信號會受到很大干擾，影響電機的正常工作和系統(tǒng)的運行狀態(tài)［1］。因此，在一些對魯棒性和抗擾性能要求較高的永磁同步電機伺服系統(tǒng)中，為了確保電機工作的高性能和高效率，需要采用有效的方法對這些擾動進行估計和抑制。

常用的干擾估計及抑制方法有滑?？刂品ǎ?］、自抗擾控制法［3］、觀測器法［4］、前饋控制法［5］、H∞控制器［6］、等價輸入干擾（EID）估計方法［7］等。其中，基于線性系統(tǒng)的EID估計方法可以在干擾完全未知的情況下，將不確定干擾等效為系統(tǒng)的輸入擾動并進行補償，而且系統(tǒng)結構簡單，便于設計。雖然永磁同步電機控制系統(tǒng)是一個典型的非線性系統(tǒng)，但是已有的非線性系統(tǒng)的線性化方法已經(jīng)非常成熟，可以先對電機非線性模型進行線性化，再將EID估計算法應用于永磁同步電機的控制系統(tǒng)中［8-9］。本文將EID估計算法應用于永磁同步電機位置伺服系統(tǒng)，并在backstepping控制保證系統(tǒng)穩(wěn)定性的基礎上引入電流前饋控制［10-11］，與EID估計器相互配合，以提升系統(tǒng)的抗擾性能，尤其是負載力矩突變時的性能，并將仿真結果與傳統(tǒng)的PID控制結果進行了對比分析。

1 永磁同步電機線性化模型

1.1 永磁同步電機數(shù)學模型

永磁同步電機內部存在復雜的電磁耦合關系，故假設電機磁性線路中鐵芯的磁飽和忽略不計；電機中的渦流損耗和磁滯損耗忽略不計；轉子上無阻尼繞組，轉子磁通呈正弦波分布，忽略磁場的高次諧波；定子繞組的空載電勢為正弦波。基于上述假設，通過一系列坐標變換和計算［12］，可以得出永磁同步電機在同步旋轉dq坐標系下的數(shù)學模型，其狀態(tài)空間表示如式（1）所示。

式中w為電機轉子電角頻率；np為轉子磁極對數(shù)；“.”為微分算子；Rs為定子電阻；Ls為 d，q軸的等效電感；Ψf為轉子磁鏈；Tl為負載轉矩；J為電機的轉動債量；Bs為電機的摩擦系數(shù)。

1.2 精確線性化方法

考慮到等價輸入干擾估計算法僅適用于線性系統(tǒng)，所以通過反饋線性化方法對電機模型進行線性化。對于式（1）所示的永磁同步電機的數(shù)學模型，取其狀態(tài)變量 x＝［idiqw］T，輸入量 u＝［uduq］T，輸出量y＝［idw］T，對輸出量連續(xù)求微分，直到式子中出現(xiàn)輸入量為止，得到的結果如式（2）所示。

2 干擾估計

2.1 估計原理

式（3）所示的永磁同步電機的線性化模型與等價輸入干擾估計（EID）估計算法所要求的線性結構具有相同的形式，如式（4）所示，故可以采用EID估計算法來進行干擾估計器的設計。其主要思想是對被控對象受到的擾動總和進行估計并等效到輸入端加以補償，通過控制器調整輸入量u來抑制干擾［13］。

式中 x∈Rn為狀態(tài)變量；u∈Rn為輸入量；y∈Rn為輸出量；d∈Rn為外部干擾量；“.”為微分算子；A、B、C、Bd均為常系數(shù)矩陣。基于此估計算法的控制系統(tǒng)結構框圖如圖1所示，由被控對象、狀態(tài)觀測器、濾波器、反饋增益和控制器組成。

圖1 帶EID估計器的控制系統(tǒng)結構框圖Fig.1 Structure block diagram of the control system with the EID estimator

2.2 參數(shù)設計

按照圖1所示結構，觀測器增益L，反饋增益Kp、Kr以及濾波器F（s）的設計如下。

在設計中，為保證穩(wěn)定性，要求矩陣（A-LC）的特征值實部均為負且‖F(xiàn)（s）G（s）‖∞＜1，可通過極點配置的方法得到參數(shù)矩陣L。

設計濾波器時考慮其切換角頻率應為干擾最高角頻率的5～10倍，經(jīng)過驗證一階低通濾波器可以滿足要求，一般取

在設計參數(shù) Kp、Kr時，采用線性二次型調節(jié)（LQR）最優(yōu)控制方法［14］，令輸入 r＝0，干擾 d＝0，不考慮控制器，得到輸出誤差為xk＝r－y。選取適合的性能指標，可以得到如式（6）所示的最優(yōu)控制量。

其中，P為式（7）所示里卡蒂方程的解。

選取合適的參數(shù)Qk、Rk值，通過計算可以得到參數(shù)矩陣 Kp、Kr。

3 控制器

使用EID估計算法時，估計器和控制器可以相互獨立設計，因而可以根據(jù)不同控制系統(tǒng)的不同特點和要求采取多種控制方法，為控制器設計帶來很大便捷。本設計方案中采用backstepping算法設計控制器，保證系統(tǒng)在受到擾動時仍具有良好的穩(wěn)定性，又通過電流前饋應對負載力矩的突變，與估計器共同作用于系統(tǒng)，加快系統(tǒng)響應速度的同時減小負載突變帶來的振蕩和其他干擾。backstepping算法的主要思想是將整個控制系統(tǒng)拆分為幾個低階子系統(tǒng)，采用李雅普諾夫第二方法，以系統(tǒng)穩(wěn)定性為前提反向遞推構造子系統(tǒng)各階的李雅普諾夫函數(shù)和各階之間的虛擬控制量進行控制器的設計。

對于本位置伺服系統(tǒng)，采用id＝0矢量控制，并取 x1＝id，x2＝p（p為電機電角位移），x3＝w，x4＝iq，將整個系統(tǒng)拆分成一個包含x1的一階子系統(tǒng)和一個包含x2、x3、x4的三階子系統(tǒng)，根據(jù)式（3）可以得到：

對變量x1取誤差變量為e1＝x1－x*1＝id－i*d，選擇李雅普諾夫函數(shù)如式（9）所示：

對變量x2取位置誤差量，選擇李雅普諾夫函數(shù)如式（11）所示：

對式（11）求導并將式（8）代入得：

對式（13）求導并將式（8）代入得：

對式（15）求導并將式（8）代入得：

C4＞0，則W4負定，則可由李雅普諾夫穩(wěn)定性定理判定該子系統(tǒng)的各階漸進穩(wěn)定，則該子系統(tǒng)全局漸進穩(wěn)定。

綜上，可以得到控制器的結構設計及其輸出V＝［v1v2］T。

4 仿真分析

對所設計的抗擾控制方案建立相應的MATLAB模型進行仿真實驗，將外部干擾轉化為干擾量d，初始負載為0，在仿真時間t＝0.5 s處加入一個小幅高斯噪聲作為干擾量，在仿真時間t＝0.7處以階躍突變的的形式加入一Tl＝10 Nm的負載力矩，分別觀察輸入位置指令為階躍信號和正弦波信號時的輸出響應曲線，并與傳統(tǒng)PID控制進行對比，仿真結果如圖2～圖5所示。

圖2 PID控制系統(tǒng)的位置階躍響應及局部放大Fig.2 Position stepping response of the PID control system and the partial amplification

圖3 采用抗擾控制策略的系統(tǒng)的位置階躍響應及局部放大Fig.3 Position stepping response of system with designed disturbance suppression control method and the partial amplification

圖4 PID控制系統(tǒng)的正弦跟蹤信號及局部放大Fig.4 Sinusoidal tracking signal of PID control system and the partial amplification

圖5 采用抗擾控制策略的系統(tǒng)的正弦跟蹤信號及局部放大Fig.5 Sinusoidal tracking signal of system with designed disturbance suppression control method and the partial amplification

圖5中，p*為給定的位置信號，p為輸出的位置信號，PID控制系統(tǒng)的位置階躍響應超調為5.9%，調節(jié)時間為0.163 s，在加入干擾（即 t＝0.5 s）后無明顯波動，加入負載（即t＝0.7 s）后出現(xiàn)峰值為0.005 rad的微小尖峰脈沖，隨后立刻恢復；采用抗擾控制策略的系統(tǒng)的位置階躍響應無超調，調節(jié)時間為0.117 s，在加入干擾（即 t＝0.5 s）后無明顯波動，加入負載（即t＝0.7 s）后出現(xiàn)峰值為0.002 rad的微小波動，隨后立刻恢復；對比可以看出后者具有更快更好的調節(jié)作用。比較兩系統(tǒng)的正弦信號跟蹤曲線也可以看出，采用抗擾控制策略的系統(tǒng)的快速跟蹤能力更優(yōu)。

5 結束語

運動過程的穩(wěn)定性對于位置伺服系統(tǒng)來說是非常重要的考慮因素，抑制負載變化等未知的干擾尤為重要。本文所采用的EID估計算法不要求擾動信號已知，對系統(tǒng)所受干擾具有很好的估計和抑制作用，與backstepping控制和電流前饋相互配合，既充分保證了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，又使系統(tǒng)具有了良好的抗干擾性能。所設計的抗擾控制策略經(jīng)仿真驗證具有良好的控制效果，為永磁同步電機位置伺服系統(tǒng)的抗擾控制提供了一種可行的方法。