秦 華, 馮東太

(山東理工大學(xué) 理學(xué)院,山東 淄博 255049)

普通物理實驗

Matlab在幾何光學(xué)仿真實驗中的應(yīng)用

秦 華, 馮東太

(山東理工大學(xué) 理學(xué)院,山東 淄博 255049)

在工程光學(xué)教學(xué)中，為了使學(xué)生更好地理解球面光學(xué)成像系統(tǒng)與理想光學(xué)成像系統(tǒng)的區(qū)別，提出了用Matlab程序模擬球面光學(xué)系統(tǒng)成像過程的仿真實驗，并編制了模擬程序. 把系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參量r，d，n和物距L等代入到模擬程序中，就可以仿真成像系統(tǒng)的成像過程. 仿真實驗結(jié)果顯示：理想光學(xué)成像系統(tǒng)的成像性質(zhì)在球面光學(xué)成像系統(tǒng)中不存在，但可以通過設(shè)計優(yōu)化使球面系統(tǒng)近似達到或者無限接近理想成像系統(tǒng)，理想成像系統(tǒng)的意義在于它的標(biāo)準(zhǔn)性.

幾何光學(xué);理想光學(xué)成像系統(tǒng)；球面光學(xué)成像系統(tǒng)；計算機仿真

研究光學(xué)系統(tǒng)的成像問題是幾何光學(xué)的主要內(nèi)容, 目前所使用的成像系統(tǒng)一般是球面鏡成像系統(tǒng)，也有的在球面系統(tǒng)中加入1～2個非球面[1-2]，還有一些加入部分二元光學(xué)元件[3]，這些都還是以球面成像系統(tǒng)為基礎(chǔ).

在工程光學(xué)教學(xué)中，德國科學(xué)家高斯在1841年提出了理想光學(xué)系統(tǒng)的概念. 實際中除平面反射鏡外不存在真正的理想光學(xué)系統(tǒng)，但平面反射鏡的垂軸放大率是1且成虛像，不適用于成像記錄. 理想光學(xué)系統(tǒng)中把光離散成光線，變成了純粹的幾何理論. 在工程光學(xué)教材中[4], 理想光學(xué)系統(tǒng)有下列3條重要性質(zhì)：

1)光學(xué)系統(tǒng)物方1個點(物點)對應(yīng)像方1個點(像點)，即從物點發(fā)出的所有入射光線經(jīng)光學(xué)系統(tǒng)后，出射光線均交于像點.

2)物方每條直線對應(yīng)像方的1條直線，稱共軛線；物方每個平面對應(yīng)像方的1個平面，稱為共軛面；任何垂直于主光軸的平面，其共軛面仍與主光軸垂直.

3)對垂直于主光軸的共軛平面，垂軸放大率為常量.

這3條性質(zhì)對于球面光學(xué)系統(tǒng)遠(yuǎn)軸光束不成立，或者只能近似成立. 由于學(xué)生還沒有接觸到光學(xué)設(shè)計，對此學(xué)生很難理解，教師在課堂上也不容易講明，對此可以使用光學(xué)CAD來演示講解這個問題. 但是光學(xué)CAD都是商業(yè)軟件，使用需要一定的基礎(chǔ)，再者即使會使用也無法展示其產(chǎn)生現(xiàn)象的原因. 而Matlab作為一種高級編程語言，由于其語法規(guī)則簡單，貼近于人的思維方式，具有建模和仿真等諸多強大功能[5]，因此可以引入到工程光學(xué)實驗教學(xué)課堂中，讓學(xué)生自己編程仿真光線在光學(xué)系統(tǒng)中的傳播過程，通過仿真結(jié)果理解理想光學(xué)系統(tǒng)的3條性質(zhì)，從而知道這3條性質(zhì)的意義就是作為一種設(shè)計標(biāo)準(zhǔn)而存在.

1 實際光線的光路計算及仿真

單個折射面的光路公式為[4]

(1)

式中，I和I′分別是入射角和折射角，n和n′是折射面兩側(cè)介質(zhì)折射率，r是球面的曲率半徑. 由式(1)可知，若物方截距L和物方孔徑角U已知，可以求得像方截距L′和像方孔徑角U′. 式(1)由折射定律和幾何三角關(guān)系得到，屬于實際光路的計算公式，是正確的，所以根據(jù)式(1)所編仿真程序的仿真結(jié)果也是正確的. 若有多個折射面，可迭次用式(1)和前后面的過渡公式(2)逐面計算.

(2)

因此可以用式(1)和(2)逐個驗證理想光學(xué)系統(tǒng)的3條性質(zhì). 為此開設(shè)了仿真實驗課，讓學(xué)生自己編寫Matlab仿真程序，模擬光束在光學(xué)系統(tǒng)中的傳播過程.

1.1 光學(xué)系統(tǒng)物方1個點(物點)對應(yīng)像方1個點(像點)的模擬證偽

表1列出了其雙膠合物鏡的結(jié)構(gòu)參量，選擇物距l(xiāng)=-75 mm，數(shù)值孔徑sinUmax=0.105，入瞳距l(xiāng)z=0，物高y=-7 mm.

表1 物點對應(yīng)像點的模擬結(jié)構(gòu)參量

根據(jù)式(1)和(2)用Matlab語言編制光從物點經(jīng)過物鏡到像點的光線傳輸程序如下：

r=[23.8,-11.82,-35.22];

n=[1.0,1.5163,1.6475,1.0];

L(1)=-75;d=[3.5,2.0];

k=length(r)

for m=1∶k

n′(m)=n(m+1);

I(m)= asin((L(m)-r(m))*sin(U(m))/r(m));

h(m)=r(m)*sin(U(m)+I(m));

I′(m)=asin(n(m)/n′(m)*sin(I(m)));

U′(m)=U(m)+I(m)- I′(m);

L′(m)=r(m)*(1+sin(I′(m))/sin(U′(m)));

x(m)= L′(m)- r(m)*cos( I′(m)+ U′(m));

y(m)= r(m)*sin( I′(m)+ U′(m));

if m==1

dist=0;

else

dist=d(m-1);

end

b=dist+b;

if m==k

break

end

U(m+1)= U′(m)；

L(m+1)=L′(m)-d(m)；

end

plot(x,y)

此程序比較簡單，通過引導(dǎo)，大部分學(xué)生都會編寫，其中的意義也比較容易理解，所以通過程序的運行，學(xué)生肯定對于“理想光學(xué)系統(tǒng)物方1個點(物點)對應(yīng)像方1個點(像點)”這條性質(zhì)的理想性有深刻的理解. 圖1 是以上程序的運行結(jié)果，從圖中可以看出，物平面上的3點只有中間物點近似對應(yīng)1個像點，其余兩物點經(jīng)過物鏡后變?yōu)樯?，說明這個物鏡不是理想成像系統(tǒng). 要想成為或者近似成為理想成像系統(tǒng)必須對系統(tǒng)進行優(yōu)化設(shè)計，才能在一定成像范圍內(nèi)近似達到“理想光學(xué)系統(tǒng)物方1個點對應(yīng)像方1個點”，這屬于光學(xué)設(shè)計范疇，在此不予贅述.

圖1 物點對應(yīng)像的仿真模擬

1.2 物方每條直線對應(yīng)像方的1條直線，稱共軛線的模擬證偽

表2給出了另一光學(xué)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參量，選擇物距l(xiāng)=-1 mm，物空間數(shù)值孔徑sinUmax=0.100 305 6，孔徑光闌位置位于第4面頂點，物高y=-3.5 mm. 在物面上取3個點A,B和C，A是軸上點，B和C是軸外的2個物點，同樣可以根據(jù)式(1)和(2)編程模擬A,B和C3個點發(fā)出的光經(jīng)過此光學(xué)系統(tǒng)后的成像情況，模擬結(jié)果如圖2所示. 從圖2可以看出，A,B,C3個點的像點分別為A′,B′,C′，在物空間ABC成1條垂軸直線，但ABC的像A′B′C′與光軸不再垂直，也不在1條直線上，說明“物方每條直線對應(yīng)像方的1

圖2 物距有限遠(yuǎn)時共軛線的仿真模擬

條直線”對于一般光學(xué)系統(tǒng)的不真實性. 由于以上系統(tǒng)中物方每條直線成像后并不是1條直線，所以也談不上“物方每個平面對應(yīng)像方的1個平面”. 從圖2所示的現(xiàn)象可以引出像場彎曲的概念，也就是像差理論中的場曲，為工程光學(xué)后章節(jié)像差理論的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).

從以上分析中還可以引導(dǎo)學(xué)生理解理想光學(xué)系統(tǒng)的重要性. 如果不是理想光學(xué)系統(tǒng)，所成的像就要變形，變形后像就失去了存在的意義，這樣的光學(xué)系統(tǒng)在市場就失去了競爭力.

圖3是一成像物鏡對于無窮遠(yuǎn)處的物成像模擬光路圖. 從圖3中可以看出，對于無窮遠(yuǎn)處軸上物點發(fā)出的11條光線，經(jīng)過光學(xué)系統(tǒng)后還能很好地聚焦在一點(像點)，但是對于無窮遠(yuǎn)處軸外物點發(fā)出的11條光線，經(jīng)過光學(xué)系統(tǒng)后只能近似地聚焦在一點(像點)，并且這個軸外像點與軸上像點不在同一條垂軸線上，即垂直于主光軸的直線成像后不再垂直于主光軸，像場也發(fā)生了彎曲. 這與理想光學(xué)系統(tǒng) “任何垂直于主光軸的平面，其共軛面仍與主光軸垂直” 的性質(zhì)明顯不符.

表2 共軛線的模擬結(jié)構(gòu)參量

圖3 物距無窮遠(yuǎn)時光學(xué)系統(tǒng)的成像模擬

為了達到或近似達到理想光學(xué)系統(tǒng)所具有的性質(zhì)“物方每條直線對應(yīng)像方的1條直線，任何垂直于主光軸的平面，其共軛面仍與主光軸垂直”，就必須對該光學(xué)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參量r，d，n進行調(diào)整優(yōu)化. 優(yōu)化的方法很多，現(xiàn)在光學(xué)設(shè)計最常用的是最小二乘法，如ZEMAX，CODEV，OSLO等，文獻[6-7]用粒子群算法進行光學(xué)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)優(yōu)化和設(shè)計，取得了理想的效果. 由于本科生剛剛接觸到工程光學(xué)，對像差理論還不了解，所以還不能進行光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計和優(yōu)化， 教師可以直接把優(yōu)化

表3 優(yōu)化共軛線的模擬結(jié)構(gòu)參量

結(jié)果提供給學(xué)生，讓學(xué)生由優(yōu)化得到的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參量進行光學(xué)模擬，從模擬結(jié)果對比優(yōu)化前后的不同. 表3給出了在表2所給結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上進一步消除場曲的新結(jié)構(gòu)參量，物距l(xiāng)=-1 mm，物空間數(shù)值孔徑sinUmax=0.100 005 6，孔徑光闌位置位于第4面頂點，物高y=-2.5 mm. 圖4是由表3中結(jié)構(gòu)參量模擬得到的二維光路圖，從中可以看出垂直于光軸的物AB經(jīng)此光學(xué)系統(tǒng)后像A′B′近似垂直于光軸，說明表3中的光學(xué)系統(tǒng)在一定成像范圍內(nèi)近似滿足理想光學(xué)系統(tǒng)“物方每條直線對應(yīng)像方的1條直線”的性質(zhì). 從這里也可以引導(dǎo)學(xué)生懂得學(xué)習(xí)工程光學(xué)的最終目的是培養(yǎng)光學(xué)設(shè)計工程師，研究光學(xué)設(shè)計的方法，使所設(shè)

計的成像系統(tǒng)無限接近理想成像系統(tǒng).

圖4 優(yōu)化后的共軛線的仿真模擬

1.3 對垂直于主光軸的共軛平面，垂軸放大率為常量的模擬證偽

表4列出了由ZEBASE庫中搜到一光學(xué)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參量，物距l(xiāng)=-315.189 9 mm，物空間數(shù)值孔徑sinUmax=0.019 628 58，孔徑光闌表4中已給出，成像最大物高y=-80 mm.

表4 由ZEBASE庫中得到的共軛面模擬結(jié)構(gòu)參量

顯然，β1≠β2，說明系統(tǒng)垂軸放大率并不是常數(shù)，此系統(tǒng)不是理想系統(tǒng)，但就其垂軸放大率來講已經(jīng)非常接近理想光學(xué)系統(tǒng). 使垂軸放大率是一常數(shù)，達到理想成像系統(tǒng)，是光學(xué)設(shè)計工作者一項重要的研究內(nèi)容.

圖5 共軛面的仿真模擬

2 討 論

目前只有平面鏡能達到理想光學(xué)系統(tǒng)的要求，但平面鏡的放大率為1，所成的像為虛像，因此不適用于記錄真實世界. 現(xiàn)在常用的光學(xué)成像系統(tǒng)大多是球面成像系統(tǒng)，對于球面成像系統(tǒng)與理想成像系統(tǒng)的區(qū)別，學(xué)生很難理解，認(rèn)為工程光學(xué)中所講的理想光學(xué)成像系統(tǒng)的成像公式是任何光學(xué)成像系統(tǒng)都適用的，這種誤解導(dǎo)致了工程光學(xué)學(xué)習(xí)中概念的混亂. 本文根據(jù)幾何光學(xué)理論，從學(xué)生熟知的球面折射公式出發(fā)，使用Matlab語言編程仿真了球面光學(xué)系統(tǒng)成像過程，由仿真結(jié)果證實理想光學(xué)系統(tǒng)所具有的性質(zhì)對于球面光學(xué)系統(tǒng)是不存在的，起碼不能同時存在，通過優(yōu)化設(shè)計，球面成像系統(tǒng)可以近似達到或者接近理想成像系統(tǒng)，但不會完全達到理想成像系統(tǒng).

3 結(jié)束語

通過本文的仿真實驗，不但可以使學(xué)生更好地理解了工程光學(xué)中理想光學(xué)系統(tǒng)的概念和性質(zhì)，還使學(xué)生學(xué)會了使用Matlab語言編程，增強了學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，拓展了學(xué)生的知識面，達到了事半功倍的效果. 本文的仿真實驗還為像差理論的

學(xué)習(xí)打下了基礎(chǔ)，也使學(xué)生提前接觸到光學(xué)設(shè)計的內(nèi)容，使學(xué)生對于工程光學(xué)這門課有了更全面深刻的理解.

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ApplicationofMatlabinsimulatedgeometricalopticsexperiments

QIN Hua， FENG Dong-tai

(School of Sciences， Shandong University of Technology， Zibo 255049, China)

When teaching of engineering optics, in order to enable students to better understand the difference between a spherical optical imaging system and an ideal optical imaging system, a simulation experiment using Matlab was presented. Structural parametersr,d,nandL(object distance) of an optical system were substituted into emulation programs, the imaging process of a spherical optical system could be emulated. The simulation results showed that the imaging properties of ideal optical imaging system did not exist in spherical optical imaging systems, however, spherical systems could approximately approach or infinitely close to the ideal imaging system by optimizing the design of the structure. The worth of an ideal imaging system lied in its standards.

geometrical optics; ideal imaging system; spherical optical imaging system; computer simulation

O4-39

A

1005-4642(2017)11-0013-05

2017-01-23

山東省自然科學(xué)基金資助(No.ZR2012FM001)

秦 華(1964-)，男，山東臨沂人，山東理工大學(xué)理學(xué)院副教授，博士，主要從事光學(xué)設(shè)計、全固態(tài)激光器及透明導(dǎo)電薄膜方面的研究工作.

馮東太(1961-)，男，山東淄博人，山東理工大學(xué)理學(xué)院教授，博士，主要從事量子光學(xué)與量子信息方向的工作.

[責(zé)任編輯：尹冬梅]