黃桂君

(江蘇省高郵中學(xué) 225600)

讀了貴刊2016年第6期《函數(shù)結(jié)構(gòu)任繁雜 巧妙轉(zhuǎn)化變通達》一文，很有收益，雷波老師善于將函數(shù)表達式通過巧妙的轉(zhuǎn)化，使得復(fù)雜的問題得以化解從而輕松解決.

也很受啟發(fā)：教給學(xué)生解題方法當然重要，然而更重要的是教會學(xué)生思考，即探尋從無到有或從有到優(yōu)的思路，并能幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)本質(zhì).

關(guān)于原問題與轉(zhuǎn)化的關(guān)系，筆者以為應(yīng)該首先著力研究原始問題，遇到困難時，再考慮轉(zhuǎn)化.

1 關(guān)于2015年新課標全國卷Ⅰ文科第21題

盡管可通過轉(zhuǎn)化另解，如雷老師將其轉(zhuǎn)化為兩個比較簡單的函數(shù)(法2)，最好其中有一個是常數(shù)函數(shù)(法3)的圖像交點問題，回避了尋找自變量b使f′(b)<0的“難點”，但上述對原始問題的探尋、思考對學(xué)生來說還是很重要的.從簡單開始思考，就顯得自然(許多時候我們由于思維定勢往往把問題想復(fù)雜了).

無獨有偶，2016年還是新課標全國卷Ⅰ，第21題文(2)、理(1)都是同一個類似問題：已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點，求a的取值范圍.

實際情況是這似乎是一個難點.在尋找函數(shù)的一個自變量b，使f(b)>0時，學(xué)生習慣具體數(shù)據(jù)，不習慣抽象的字母；習慣答案就是一個，不習慣靈活的探尋(多了反而找不到).這往往能反映出一個學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，所以成為高考考查的重點.

如，2013年江蘇高考第20題一片段：試求函數(shù)f(x)=lnx-ax(a<0)零點的個數(shù)，并證明你的結(jié)論.很多考生通過轉(zhuǎn)化，簡單的說因為函數(shù)y=lnx與y=ax(a<0)的圖像只有一個交點，所以函數(shù)f(x)=lnx-ax(a<0)有一個零點(受平時老師教給方法的影響).這不能算作證明，也不知道怎么用數(shù)學(xué)語言表達(推理)，所以被扣了分喊冤.

而應(yīng)該根據(jù)函數(shù)零點存在性定理論證：因為f(1)=-a>0，f(ea)=a-aea=a(1-ea)<0，且函數(shù)f(x)圖像在[ea,1]上不間斷, 所以f(x)在(ea,1)上存在零點.

2016年江蘇高考第19題同樣對此進行了重復(fù)考查：“g(loga2)=aloga2+bloga2-2>aloga2-2=0”，同前面考生不會嘗試選取“ea”一樣，還是有很多考生不習慣選取諸如“l(fā)oga2”等自變量進行探索.

拋棄思維定勢圍繞核心又結(jié)合實際的做法，誰說不也是一種創(chuàng)新呢？

對于(2)：雷老師由于受到文章論點的限制，沒有解析，只是說“只要突破了第(1)問，第(2)問則迎刃而解”.其實并非如此，通過如下透視同樣能說明思想比方法更重要.

問題1求函數(shù)f(x)=ex(2x-1)-x的單調(diào)區(qū)間.(f′(x)=ex(2x+1)-1有一個零點x0=0)

問題3下面的證明過程中有問題嗎？(投影一道試題局部學(xué)生的書面表達)

上述推理是不嚴謹?shù)?，特別是a取e2得g(e2)>0更是不可靠的.教學(xué)中甚至有許多數(shù)學(xué)優(yōu)秀的學(xué)生覺得結(jié)論明顯，沒有必要找自變量驗證！我就提出了一個問題：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,1)上單調(diào)遞減，在(1,+∞)上遞增，圖像連續(xù)不間斷，且f(1)<0，那么函數(shù)f(x)有幾個零點？為什么？動手畫圖試試看，如f(x)在(1,+∞)上遞增且穿過x軸，或不穿過x軸而以它為漸近線等.讓他們懂得：重結(jié)果，也要重過程.講推理，更要說道理.

問題4記問題3中兩個零點為x1，x2，再設(shè)問：如證明x1x2>e.(改編的，過程略)

同樣無獨有偶，2016年新課標全國卷Ⅰ理科第21題(2)恰恰考的就是這樣的問題：“設(shè)x1,x2是f(x)的兩個零點，證明：x1+x2<2”.(過程略)

2 關(guān)于原文例2

我有個疑問：“務(wù)必實施分離”的道理是什么？要淡化技能技巧，重視通性通法(基本方法).其實可以從下面幾個出發(fā)點引導(dǎo)學(xué)生去思考(說一點實施分離的緣由)：

常規(guī)思路1：即證明f(x)min>1，但是有困難，因為遇到了

至此可以感覺到，如果對于2015年新課標全國卷Ⅰ的導(dǎo)數(shù)解答題在訓(xùn)練中過于強調(diào)轉(zhuǎn)化等方法，沒有讓學(xué)生練習思考到位，那么對2016年的類似問題有可能還是做不好，考不出.

教學(xué)中我們既要教給學(xué)生一些方法，更要注重教會學(xué)生思考，讓學(xué)生思考探究一些他們的能力能夠“夠得著”的問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng).