2017年4月號問題解答

(解答由問題提供人給出)

2356設(shè)a,b,c,d>0，且a+b+c+d=4，求證：

(河南省輝縣市一中 賀基軍 453600)

證明不失一般性，設(shè)a≥b≥c≥d>0，并令

x=b+c,y=a+d=4-x，

首先注意到ad≤a+d-1.①

事實上，由a+b+c+d=4知a≥1且d≤1

?(a-1)(d-1)≤0?ad≤a+d-1.

這與d>0矛盾.

由①及②知

故

因為x-4=b+c-4<0,

故M≥7.

綜上，M≥7，所證不等式成立.

2357在任意△ABC中，求證

cot2A+cot2B+cot2C

(天津水運高級技工學(xué)校 黃兆麟300456)

證明顯然當(dāng)△ABC為非鈍角三角形時

cotA+cotB+cotC>0，

當(dāng)△ABC為鈍角三角形時,不妨設(shè)C為鈍角,那么

cotA+cotB+cotC=cotA+cotB-cot(A+B)

故知在任意△ABC中cotA+cotB+cotC恒為正值.

那么由(cotA+cotB+cotC)2

≥3(cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA)=3,

?(cotA+cotB+cotC)2

?cot2A+cot2B+cot2C+2

?cot2A+cot2B+cot2C

以上證明過程中兩次用到了恒等式

cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1.

2358如圖，在△ABC中，∠BAC≠90°，點O是其外心，△OBC的外接圓K分別與邊AB、AC交

于P、Q，直線OK交BC、圓K分別于M、D，求證：∠PDA=∠PAM.

(陜西省興平市教研室 呂建恒 713100)

證明設(shè)PQ交AD于N，連接DQ，

因為點O是△ABC的外心，OD為圓K的直徑，

所以O(shè)M⊥BC，BM=CM.

又B、D、O、P四點共圓，

所以 ∠BPD=∠BOD=∠BAC.

所以PD∥AC.

同理可證，QD∥AB.

因此，四邊形APDQ是平行四邊形.

所以PN=NQ，∠PDA=∠QAN. ①

又B、C、Q、P四點共圓，

所以 ∠AQP=∠ABC.

所以 △AQP∽△ABC.

所以 △AQN∽△ABM.

所以 ∠QAN=∠BAM. ②

由①②得 ∠PDA=∠PAM.

2359設(shè)△ABC的三邊長為a,b,c，外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r，旁切圓半徑為ra，rb，rc，面積為△，求證：

(河南質(zhì)量工程職業(yè)學(xué)院 李永利 467000)

證明設(shè)△ABC的半周長為p，則

且a+b+c=2p，

ab+bc+ca=p2+4Rr+r2，

于是

+(p-c)(p-a)]

2360n是非負(fù)整數(shù)，記Fn=22n+1，這稱為Fermat數(shù). 對于給定的m∈N+，求能整除2m+1的所有不同的Fermat數(shù).

(浙江溫州市區(qū)馬鞍池東路1-408 陳克瀛 325000)

(ii)r>k. 用反證法. 若Fr| 2m+1，則Fr| (2m+1) (2m-1)，即Fr|22k+1·l-1，又顯見Fr|22r+1-1，根據(jù)GCD的性質(zhì)得到

Fr|(22k+1·l-1，22r+1-1).

(1)

(2)

但r>k?r≥k+1?22r+1>22k+1-1，這與(2)矛盾！

綜合以上各點得，給定正整數(shù)m=2k·l，2m+1 的互異的Fermat數(shù)因子只有Fk這一個.

2017年5月號問題

(來稿請注明出處——編者)

2361若x,y,z是正實數(shù)，求證：

(1)

其中“∑”表示輪換對稱和.

(四川成都金牛西林巷18號華鑫園A601宿曉陽 610031)

2362在△ABC中，a,b,c為其三邊長，ra,rb,rc與ha,hb,hc是其對應(yīng)三邊上的旁切圓半徑與高，則有

(hb+hc)(hc+ha)(ha+hb)

(陜西省咸陽師范學(xué)院基礎(chǔ)教育課程研究中心 安振平 712000)

2363在ABC中，AD、BE、CF相交于一點O，點D、E、F分別在△ABC三邊BC、CA、AB上，則有

min(AD,BE,CF)

≤OD+OE+OF≤max(AD,BE,CF)

(西安衛(wèi)星測控中心 趙曉輝 714000)

2364給定m≥3且m∈N，設(shè)a1,a2, …,am>0，n≥m且n∈N，求證：

(湖南師大附中數(shù)學(xué)教研組 張湘君 410006)

2365已知，(如圖)在△ABC中，點P、Q分別在CB、BC的延長線上，AE垂直于∠ACQ的平分線于點E，BD1、BD2在∠ABP的內(nèi)部，且∠ABD1=∠PBD2，AD1⊥BD1，AD2⊥BD2，直線D1E、D2E分別與直線PQ交于點H、G.

求證：△EGH為等腰三角形.