趙張峰,鄧洪洲

(同濟(jì)大學(xué) 建筑工程系,上海 200092)

空氣動(dòng)力分析中動(dòng)網(wǎng)格技術(shù)的數(shù)值阻尼

趙張峰,鄧洪洲*

(同濟(jì)大學(xué) 建筑工程系,上海 200092)

利用FLUENT進(jìn)行空氣動(dòng)力分析，并采用常加速度Newmark法計(jì)算物體運(yùn)動(dòng)參數(shù)時(shí)，動(dòng)網(wǎng)格宏模塊由于數(shù)據(jù)傳遞方式的限制，修改了常加速度Newmark法的原有算法，動(dòng)網(wǎng)格宏模塊的軟件算法其有效性存在質(zhì)疑。針對(duì)以上問題，首先給出數(shù)值算例以顯示軟件算法的缺陷特征，提出軟件算法會(huì)引入數(shù)值阻尼的假定，而后通過數(shù)學(xué)手段證明數(shù)值阻尼的存在，并給出數(shù)值阻尼的理論計(jì)算公式。之后，給出算例，得出算例的數(shù)值阻尼，并利用數(shù)值阻尼修正軟件算法，同時(shí)驗(yàn)證理論公式的有效性。最后給出文章理論的工程應(yīng)用。

FLUENT；動(dòng)網(wǎng)格；Newmark法；數(shù)值阻尼

0 引 言

FLUENT是常用的空氣動(dòng)力分析軟件，軟件進(jìn)行流固耦合分析的計(jì)算步驟如下：在每一個(gè)時(shí)間步內(nèi)，先求解流體控制方程，得到速度場(chǎng)、壓力場(chǎng)以及作用于固體的升力和阻力，通過UDF提取升力和阻力，并結(jié)合動(dòng)力方程計(jì)算固體的振動(dòng)響應(yīng)，將振動(dòng)響應(yīng)中的速度項(xiàng)通過FLUENT動(dòng)網(wǎng)格宏模塊DEFINE_CG_MOTION傳遞到FLUENT計(jì)算數(shù)據(jù)中，速度與時(shí)間步之積即為固體近似的位移響應(yīng)變化，根據(jù)位移響應(yīng)變化確定固體下個(gè)時(shí)間步的空間坐標(biāo)，同時(shí)更新固體附近的網(wǎng)格劃分，進(jìn)行下一個(gè)時(shí)間步的計(jì)算(以上參考FLUENT用戶自定義函數(shù)手冊(cè)[1])。

由文獻(xiàn)[2-4]可知，在FLUENT中流固耦合的計(jì)算方法應(yīng)用廣泛，同時(shí)可以采用多種數(shù)學(xué)方法求解運(yùn)動(dòng)微分方程(新型顯示積分法[5]、四階Runge-Kutta、Newmark-β算法等)，本文著重對(duì)采用常加速度Newmark法求解運(yùn)動(dòng)微分方程的流固耦合計(jì)算方法進(jìn)行分析。

常加速度Newmark法獲取固體的振動(dòng)響應(yīng)，振動(dòng)響應(yīng)包括位移、速度、加速度，其計(jì)算結(jié)果是穩(wěn)定的，同時(shí)具有二階精度[6]，因此在時(shí)間步長(zhǎng)較小的條件下，可以認(rèn)為這三個(gè)振動(dòng)響應(yīng)是精確的，然而在FLUENT中采用動(dòng)網(wǎng)格宏模塊DEFINE_CG_MOTION將速度項(xiàng)傳遞到計(jì)算數(shù)據(jù)中，通過速度與時(shí)間步的乘積確定位移響應(yīng)變化，從而確定新時(shí)間步的位移響應(yīng)，這個(gè)位移響應(yīng)與常加速度Newmark法直接計(jì)算得出的位移響應(yīng)不存在等價(jià)性。因此，在FLUENT中，用速度響應(yīng)結(jié)合時(shí)間步長(zhǎng)計(jì)算得出的新位移響應(yīng)來替代用常加速度Newmark法直接計(jì)算得出的位移響應(yīng)，這樣的做法將改變常加速度Newmark法原有的計(jì)算過程，是一種近似于常加速度Newmark法的算法(下文將這種算法統(tǒng)一命名為軟件算法，同時(shí)常加速度Newmark法簡(jiǎn)稱為Newmark法)，需要對(duì)軟件采用的算法流程進(jìn)行分析，以確定算法流程的可靠性。

本文首先給出數(shù)值算例，提出軟件采用的算法流程會(huì)引入數(shù)值阻尼的假定。而后通過數(shù)學(xué)手段證明數(shù)值阻尼的存在，并給出數(shù)值阻尼的理論計(jì)算公式。之后，給出算例，得出算例的數(shù)值阻尼，并利用數(shù)值阻尼修正軟件采用的算法，同時(shí)驗(yàn)證理論公式的有效性。最后，給出文章理論的工程應(yīng)用。

1 Newmark算法與軟件算法算例比較

1.1 算例信息

文獻(xiàn)[7]闡述了輸電塔典型節(jié)點(diǎn)鋼管構(gòu)件渦激振動(dòng)的研究。其中鋼管構(gòu)件直徑70 mm，壁厚3.5 mm，鋼管桿件長(zhǎng)度在2354 mm～3766 mm之間，自振頻率在7.06 Hz～13.36 Hz之間。在風(fēng)洞中改變來流風(fēng)速的大小，對(duì)鋼管在空氣中渦激振動(dòng)的現(xiàn)象進(jìn)行研究。

由于輸電塔鋼管構(gòu)件渦激振動(dòng)現(xiàn)象是在微風(fēng)下產(chǎn)生的，來流風(fēng)速較小，其振動(dòng)由一階自振頻率控制，因此采用單自由度體系進(jìn)行分析。其力學(xué)模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

式中：k為物體剛度；c為阻尼系數(shù)；p(t)為外荷載；x為物體的位移。

為方便分析，對(duì)構(gòu)件的參數(shù)進(jìn)行簡(jiǎn)化。物體的質(zhì)量取為m=5.74 kg，自振頻率取為10 Hz，則k取為22660.6 N/m，空氣密度ρ=1.225 kg/m3，來流風(fēng)速為3.2 m/s，迎風(fēng)面積為0.07 m2，阻尼比取ξ為0.015。

由于FLUENT計(jì)算量較大，用C語言模擬軟件算法的過程，程序借鑒于文獻(xiàn)[8]。C語言計(jì)算結(jié)果經(jīng)過驗(yàn)證與FLUNET穩(wěn)定后的計(jì)算結(jié)果一致，因此下文采用C語言對(duì)FLUENT軟件的算法流程以及Newmark法的算法流程進(jìn)行編譯計(jì)算，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行比較分析。

根據(jù)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)理論[9]，當(dāng)阻尼比不為0時(shí)，物體振動(dòng)振幅公式為：

式中：p0是荷載最大值，取為0.307 N；β為荷載頻率與固有頻率比，取為0.97。

不同阻尼比條件下，計(jì)算結(jié)果如表1所示。

表1 不同阻尼比對(duì)應(yīng)振幅Table 1 Amplitude of different damping ratios

1.2 有阻尼時(shí)Newmark算法與軟件算法比較

時(shí)間步長(zhǎng)為0.001 s，計(jì)算9000個(gè)時(shí)間步，阻尼為0.015。圖1為阻尼比為0.015時(shí)，Newmark算法和軟件算法的位移時(shí)程圖。采用Newmark算法時(shí)，穩(wěn)定的位移最大值為2.07×10-4，與理論值的誤差在0.5%以內(nèi)，可以認(rèn)為Newmark算法是精確的。采用軟件算法時(shí)，穩(wěn)定的位移最大值為1.60×10-4，與理論值的誤差在22.3%，軟件算法計(jì)算誤差很大。

1.3 無阻尼時(shí)Newmark算法與軟件算法比較

在有阻尼條件下，軟件算法比Newmark算法的位移幅值要小的多。結(jié)合文獻(xiàn)[10]中對(duì)數(shù)值阻尼的定義(這種阻尼并不是材料本身的內(nèi)阻尼，而是由于數(shù)值計(jì)算方法產(chǎn)生的“數(shù)值阻尼”，或稱為“算法阻尼”)，筆者提出在軟件算法中引入數(shù)值阻尼的假定。為驗(yàn)證以上假定，筆者將分析無阻尼條件下的位移時(shí)程圖(見圖2)。

為了顯示阻尼經(jīng)典的衰減特征，在無阻尼算例中，外力為0，初始位移為0.0005 m。

在圖2中，采用Newmark算法時(shí)，位移沒有隨著時(shí)間出現(xiàn)衰減的現(xiàn)象，證明Newmark算法是不會(huì)引入數(shù)值阻尼的。然而在采用軟件算法時(shí)，阻尼為0的條件下，位移隨著時(shí)間出現(xiàn)了衰減的現(xiàn)象，同時(shí)根據(jù)阻尼比與位移關(guān)系式[9]：

式中：xn、xn+m是物體位移按時(shí)間等間距排列后序號(hào)為n和n+m的數(shù)值，ξ為阻尼比，Δt為時(shí)間間隔，T為自振周期。

根據(jù)式(3)計(jì)算得阻尼比為1.57%。計(jì)算得到數(shù)值阻尼后，將初始阻尼與數(shù)值阻尼疊加，計(jì)算疊加后阻尼比的理論位移值(根據(jù)式(2))，并與軟件算法的數(shù)值算例值進(jìn)行比較，如表2所示。

表2 考慮數(shù)值阻尼后理論位移與數(shù)值算例位移比較Table 2 Comparison of theoretical displacement and numerical displacement considering numerical damping

在表2中總阻尼為初始阻尼與數(shù)值阻尼之和?？傋枘岜雀鶕?jù)式(2)計(jì)算得理論位移，并與算例位移進(jìn)行比較。根據(jù)表2可知，理論位移與數(shù)值算例位移擬合性很好，誤差在0.9%左右。

因此數(shù)值算例驗(yàn)證了軟件算法引入數(shù)值阻尼的假定，而數(shù)值阻尼的最終確定需要用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行理論證明。

2 算法流程說明

2.1 常加速度Newmark法計(jì)算流程說明

根據(jù)文獻(xiàn)[11]給出的常加速度Newmark法采用的基本假定：

為求解t+Δt時(shí)刻位移、速度和加速度，引入t+Δt時(shí)刻的平衡方程：

式中：m、c、k分別為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、阻尼系數(shù)、剛度，pt+Δt為t+Δt時(shí)刻的外荷載。

5) 此時(shí)t+Δt時(shí)刻的位移、速度和加速度均為已知，可以進(jìn)行下一個(gè)時(shí)間步未知參數(shù)的求解。

2.2 軟件算法計(jì)算流程說明

圖3兩種算法的流程比較，從中可以看出，軟件算法在Newmark算法的基礎(chǔ)上，根據(jù)式(7)用速度值對(duì)位移值進(jìn)行了修正。

3 軟件算法數(shù)值阻尼理論證明

3.1 軟件算法位移遞推關(guān)系式求解

借鑒文獻(xiàn)[12]中Newmark法解的穩(wěn)定性中相關(guān)的推導(dǎo)方式，進(jìn)行軟件算法的遞推關(guān)系式推導(dǎo)。為了避免出現(xiàn)參數(shù)表示的歧義，將臨時(shí)xt+Δt用at+Δt表示。由前面可知數(shù)值阻尼與初始阻尼比沒有關(guān)系，同時(shí)外荷載僅僅影響振幅的大小，不會(huì)改變數(shù)值阻尼，因此在求解通項(xiàng)公式的過程中忽略初始阻尼系數(shù)以及外荷載，簡(jiǎn)化平衡方程式如式(8)。將簡(jiǎn)化平衡方程式與Newmark算法基本假定式(9)(10)以及修正公式(11)聯(lián)立，如下：

將式(8)代入式(9)(10)可得式(12)(13)：

將式(13)代入式(12)可得式(14)：

將式(14)代入式(11)可得式(15):

式(14)為t+Δt時(shí)刻的速度表達(dá)式，易知t時(shí)刻的速度表達(dá)式為式(16)：

將式(16)代入式(13)可得式(17):

at+Δt=xt+at-xt-Δt-0.25w2(at-Δt+at)Δt2-

由式(15)易得式(18)(19):

將式(18)(19)代入式(17)可得式(20):

由式(20)易得式(21):

將式(20)(21)代入式(15)可得式(22):

式(22)即為軟件算法的遞推關(guān)系式。

3.2 軟件算法位移通項(xiàng)式求解

根據(jù)軟件算法位移的遞推關(guān)系式，利用特征值[13]的方法求解位移的通項(xiàng)式。

由遞推關(guān)系式(22)可知：

式中：a=[1/2+1/8(w2Δt2)]-1[1-3/8(w2Δt2)]，b=[1/2+1/8(w2Δt2)]-1[-1/2-1/8(w2Δt2)]=-1，c=[1/2+1/8(w2Δt2)]-1[1/8(w2Δt2)]

求解矩陣A，得矩陣A的三個(gè)特征值，記為λ1、λ2、λ3，對(duì)應(yīng)的特征向量分別為V1、V2、V3，則可以推得式(24):

式中，ci為待定參數(shù)，可以根據(jù)初始值確定。

由式(24)可以得出軟件算法的位移通項(xiàng)式(25):

式中，v1i為特征向量Vi第一行的數(shù)值。

由數(shù)值算例的求解可知，結(jié)構(gòu)振動(dòng)形式具有周期性，且振幅隨著時(shí)間的推移出現(xiàn)衰減性，因此特征值λ1和λ2必定為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)，同時(shí)c1v11=c2v12(保證位移不為虛數(shù)，消除虛數(shù)項(xiàng))，記λ1,2=α±βi，并假定物體的初始位移為0(忽略通項(xiàng)式中的第三項(xiàng))，則可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化式(25)，得式(26):

3.3 軟件算法數(shù)值阻尼計(jì)算

根據(jù)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)理論[9]，位移按e-ξwt衰減，即：在一個(gè)周期內(nèi)，位移將衰減為原來的e-ξw2π/w=e-2πξ。一個(gè)周期內(nèi)，在復(fù)平面上，復(fù)數(shù)需要旋轉(zhuǎn)的次數(shù)為2π/θ，投影長(zhǎng)度將變?yōu)樵瓉淼膃-2πξ倍，計(jì)算式如式(27):

因此，由式(27)可以推出阻尼比公式：

因此，軟件算法引入數(shù)值阻尼的命題得到證明。

3.4 數(shù)值阻尼與采樣步長(zhǎng)、自振周期的關(guān)系

由于軟件算法將引入數(shù)值阻尼，數(shù)值阻尼與矩陣A的特征值有關(guān)，同時(shí)矩陣A中的特征值與矩陣A中行列的數(shù)值有關(guān)，矩陣A中行列的數(shù)值與wΔt有關(guān)，因此軟件算法引入的數(shù)值阻尼僅僅與wΔt相關(guān)。

由于wΔt在分析中不直觀，因此筆者對(duì)wΔt進(jìn)行如下變換：wΔt=(2π/T)Δt=2π(Δt/T)。Δt為采樣時(shí)間間隔，T為結(jié)構(gòu)自振周期，該比值直觀地反映了單位周期內(nèi)采樣密度，在之后的分析中將采用Δt/T作為主要參數(shù)。

取一系列Δt/T值，計(jì)算對(duì)應(yīng)的wΔt值，將wΔt值代入矩陣A，并計(jì)算矩陣A的特征值，根據(jù)復(fù)數(shù)特征值實(shí)部和虛部大小，結(jié)合式(28)計(jì)算阻尼比。計(jì)算結(jié)果如圖5。

由圖5可知，當(dāng)Δt/T小于0.01時(shí)，數(shù)值阻尼呈現(xiàn)增長(zhǎng)趨勢(shì)，數(shù)值計(jì)算的結(jié)果是穩(wěn)定的；當(dāng)Δt/T大于0.3時(shí)，數(shù)值阻尼為負(fù)，數(shù)值計(jì)算的結(jié)果是不穩(wěn)定的。表3給出Δt/T介于0.0001～0.01時(shí)數(shù)值阻尼的大小，從表3中可以看出數(shù)值阻尼隨Δt/T的變化是接近線性的，同時(shí)若結(jié)構(gòu)初始的阻尼值較小，則數(shù)值阻尼將引起較大的誤差。

表3 Δt/T介于0.0001～0.01時(shí)數(shù)值阻尼的大小Table 3 Numerical damping while the value of Δt/T is between 0.0001～0.01

4 算例驗(yàn)證

4.1 算例的數(shù)值阻尼計(jì)算

取前文的數(shù)值算例對(duì)理論進(jìn)行驗(yàn)證。易知：Δt=0.001 s，T=0.1 s，Δt/T=0.01。根據(jù)表3可知，數(shù)值阻尼為0.0157，與圖2結(jié)合阻尼比與位移關(guān)系式計(jì)算所得的數(shù)值阻尼0.0157一致，說明理論公式的正確性以及精確性。

4.2 利用數(shù)值阻尼修正算法

軟件算法的數(shù)值阻尼為0.0157，初始阻尼0.015，因此在實(shí)際計(jì)算中將初始阻尼扣除數(shù)值阻尼，即為-0.0007，將扣除數(shù)值阻尼的軟件算法記為修正算法。

圖6為阻尼比為0.015時(shí)，Newmark算法和修正算法的位移時(shí)程圖。采用Newmark算法時(shí)，穩(wěn)定的位移最大值為2.07×10-4，與理論值的誤差在0.5%以內(nèi)；采用修正算法時(shí)，穩(wěn)定的位移最大值為2.02×10-4，與理論值的誤差在2.0%。

修正算法計(jì)算精度可以滿足要求。數(shù)值阻尼的理論公式，可以修正軟件算法存在數(shù)值阻尼的缺陷。

4.3 Δt/T取值范圍拓展討論

文章公式主要應(yīng)用于輸電塔鋼管構(gòu)件渦激振動(dòng)，因此采樣頻率范圍取為每周期20～2000次，可以涵蓋實(shí)際工程應(yīng)用，對(duì)應(yīng)Δt/T介于0.0005～0.05。因此，本節(jié)中Δt/T討論的范圍為0.0005～0.05。

當(dāng)Δt/T=0.01時(shí)，算例的數(shù)值阻尼與理論公式計(jì)算所得數(shù)值阻尼一致。下面將給出Δt/T取值介于0.0005～0.05時(shí)，算例的數(shù)值阻尼與理論公式計(jì)算的數(shù)值阻尼的比較，以進(jìn)一步驗(yàn)證理論公式的正確性。

在表4中，算例數(shù)值阻尼的獲取方式和1.3節(jié)無阻尼時(shí)Newmark算法與軟件算法比較中所用方式一致，均采用假定外荷載為0，初始位移為0.0005 m，獲取位移衰減時(shí)程圖，根據(jù)公式(3)計(jì)算數(shù)值阻尼。理論數(shù)值阻尼根據(jù)表3獲得。

表4 算例數(shù)值阻尼與理論數(shù)值阻尼比較Table 4 Numerical damping of cases and theoretical formula

由表4可知，當(dāng)Δt/T小于0.01時(shí)，理論公式的計(jì)算誤差在1%以內(nèi)；當(dāng)Δt/T為0.03以及0.05時(shí)，理論公式計(jì)算精度下降。計(jì)算精度下降的原因如下：采樣間隔過大，算法自身計(jì)算精度下降，計(jì)算精度導(dǎo)致的誤差比例上升，導(dǎo)致理論數(shù)值阻尼與算例數(shù)值阻尼誤差加大。

因此，實(shí)際應(yīng)用中，采用理論公式求解數(shù)值阻尼并用數(shù)值阻尼修正軟件算法的必要條件是Δt/T小于0.01。

5 工程應(yīng)用

FLUENT動(dòng)網(wǎng)格宏模塊DEFINE_CG_MOTION在實(shí)際工程中被用于模擬空氣對(duì)彈性體的作用，文獻(xiàn)[2-3,14-15]均涉及動(dòng)網(wǎng)格宏模塊在空氣動(dòng)力學(xué)方面的應(yīng)用。采用本文的數(shù)值阻尼理論公式修正軟件算法的數(shù)值阻尼，可以提高軟件的計(jì)算精度，對(duì)相關(guān)的研究工作及工程應(yīng)用有實(shí)用價(jià)值。

本文的算例是輸電塔鋼管構(gòu)件的渦振，鋼管構(gòu)件渦振由一階振型控制，因此力學(xué)模型采用單自由度體系，之后的理論均是建立在單自由度體系的理論基礎(chǔ)上。鑒于以上原因，多自由度體系不在本文考慮之內(nèi)。考慮其它多自由度結(jié)構(gòu)體系時(shí)模型時(shí)，因多自由度體系的復(fù)雜性，數(shù)值阻尼的求解較為困難，筆者建議可以從如下三種方法著手，嘗試處理數(shù)值阻尼造成的誤差：

1) 計(jì)算機(jī)運(yùn)行能力足夠的條件下，可以采用減小Δt/T比值的方法，減小數(shù)值阻尼的影響。

2) 當(dāng)物體的位移為主要參考變量時(shí)，可以返回修正速度，使得修正速度與時(shí)間步長(zhǎng)計(jì)算得的位移為真值，確保位移的正確性。

3) 采用其他的數(shù)值積分方法，使得數(shù)值積分方法與軟件的數(shù)據(jù)傳遞模式相匹配。

6 結(jié) 論

1) 利用FLUENT進(jìn)行空氣動(dòng)力分析，并采用常加速度Newmark法計(jì)算物體運(yùn)動(dòng)參數(shù)時(shí)，常用的計(jì)算模塊是動(dòng)網(wǎng)格宏模塊。動(dòng)網(wǎng)格宏模塊由于自身數(shù)據(jù)傳遞方式的限制，修改了常加速度Newmark法的原有算法，引入了數(shù)值阻尼。

2) 數(shù)學(xué)方法證明了數(shù)值阻尼的存在，并得出數(shù)值阻尼的理論計(jì)算公式。軟件算法的數(shù)值阻尼僅與Δt/T的值有關(guān)(Δt為采樣步長(zhǎng)，T為自振周期)，當(dāng)Δt/T小于0.01時(shí)，數(shù)值阻尼呈現(xiàn)增長(zhǎng)趨勢(shì)，數(shù)值計(jì)算的結(jié)果是穩(wěn)定的；當(dāng)Δt/T大于0.3時(shí)，數(shù)值阻尼為負(fù)，數(shù)值計(jì)算的結(jié)果是不穩(wěn)定的。

3) 數(shù)值算例的驗(yàn)證結(jié)果表明：利用數(shù)值阻尼理論公式可以修正軟件算法存在數(shù)值阻尼的缺陷。

4) 實(shí)際應(yīng)用中，采用理論公式求解數(shù)值阻尼并用數(shù)值阻尼修正軟件算法的必要條件是Δt/T小于0.01。

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Numericaldampingofdynamicmeshforaerodynamicanalysis

ZHAO Zhangfeng,DENG Hongzhou*

(DepartmentofStructuralEngineering,TongjiUniversity,Shanghai200092,China)

In order to carry out aerodynamic analysis with the FLUENT software and constant averaged acceleration Newmark method on dynamic mesh,the algorithm in the Newmark method needs to be changed due to the limitation of the data transfer mode.For the validation of this modification,numerical tests were simulated to show the deficiency in the algorithm.Based on these tests,we propose a hypothesis that numerical damping is introduced by the algorithm.This assumption was proved by mathematics method,and theoretical formula was provided to calculate the numerical damping.The effectiveness of this formula was validated by calculating numerical dumping in a test and calibrating the algorithm with the calculated numerical dumping.Moreover,this formula was applied to some engineering applications.

FLUENT; dynamic mesh; Newmark method; numerical damping

0258-1825(2017)06-0860-06

V211.3

A

10.7638/kqdlxxb-2015.0080

2015-06-25;

2015-08-23

國(guó)家自然科學(xué)基金(51578421)

趙張峰(1990-)，男，浙江嵊州人，碩士研究生，研究方向：輸電塔鋼管構(gòu)件渦激振動(dòng).E-mail:zzfmmf@163.com

鄧洪州*(1960-)，男，教授，研究方向：輸電塔優(yōu)化設(shè)計(jì)等.E-mail:denghz@#edu.cn

趙張峰,鄧洪洲.空氣動(dòng)力分析中動(dòng)網(wǎng)格技術(shù)的數(shù)值阻尼[J].空氣動(dòng)力學(xué)學(xué)報(bào),2017,35(6):860-865.

10.7638/kqdlxxb-2015.0080 ZHAO Z F,DENG H Z.Numerical damping of dynamic mesh for aerodynamic analysis[J].Acta Aerodynamica Sinica,2017,35(6):860-865.