王 文

一個模型的運用

王 文

從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學問題，用數(shù)學符號建立數(shù)學模型，再求出模型的解，即得到現(xiàn)實生活或具體情境的解，這就是數(shù)學建模的過程.學會構建、提煉數(shù)學模型，有利于形成模型思想，提高我們的解題能力，更有助于增強學習興趣，提升應用意識.下面我們來看一個模型的提煉與應用.

蘇科版《數(shù)學》九年級下冊第150頁的第12題：

甲、乙、丙3名學生各自隨機選擇到A、B 2個書店購書.

（1）求甲、乙2名學生在不同書店購書的概率；

（2）求甲、乙、丙3名學生在同一書店購書的概率.

【解析】因為每名學生可以到A、B兩個書店購書，有兩種等可能的情形，要求解的是甲、乙、丙3名學生的購書情形，說明事情需要經過3個步驟才能完成，因此必須通過樹狀圖列舉出所有可能的情形（如圖1），再根據(jù)樹狀圖來求相應情形下的概率.

圖1

（1）從樹狀圖中發(fā)現(xiàn)：所有等可能的情況有8種，其中甲、乙2名學生在不同書店購書共有（ABA），（ABB），（BAA），（BAB）這4種等可能情況，所以P（甲、乙2名學生在不同書店購書）=

（2）從樹狀圖中發(fā)現(xiàn)：所有等可能的情況有8種，其中甲、乙、丙3名學生在同一書店購書共有（AAA），（BBB）這2種等可能情況，所以P（甲、乙、丙3名學生在同一書店購書）=

【反思】解決本題后，我們有這樣一種感覺：這類問題與我們前面探究過的“拋擲三枚相同的硬幣1次或拋擲一枚均勻的硬幣3次，出現(xiàn)向上圖案都相同的概率是多少”的解題模型完全相同.我們不妨回顧一下，將兩種情況下的樹狀圖（圖1和圖2）做一個對比，由此你可以發(fā)現(xiàn)解決這類問題的模型是相同的.

圖2

【建?！咳绻粋€事件一次只會出現(xiàn)2種等可能的結果，而且完成整個事件需要3步，則這樣的計算概率問題都可以運用“拋擲三枚相同的硬幣1次或拋擲一枚均勻的硬幣3次，出現(xiàn)向上圖案都相同的概率是多少”模型來求解，我們不妨稱之為“拋硬幣模型”.

【應用】例1 一家醫(yī)院某天出生了3個嬰兒，假設生男生女的機會相同，那么這3個嬰兒中，出現(xiàn)1個男嬰、2個女嬰的概率是多少？

【解析】我們知道，一個嬰兒的性別只有男、女兩種情形，相當于硬幣的正、反面，出生了3個嬰兒相當于拋擲3次硬幣，求3個嬰兒中出現(xiàn)1個男嬰、2個女嬰的概率就相當于求硬幣出現(xiàn)一正兩反的概率，根據(jù)上述“拋硬幣模型”，所有可能的情形有8種，其中1男2女的情況有3種，由此可知P（3個嬰兒中，出現(xiàn)1個男嬰、2個女嬰）=

例2 交通信號燈俗稱“紅綠燈”，至今已有一百多年的歷史了.“紅燈停，綠燈行”是我們日常生活中必須遵守的交通規(guī)則，這樣才能保障交通的順暢和行人的安全.小剛每天騎自行車上學都要經過三個安裝有紅燈和綠燈的路口，假如每個路口紅燈和綠燈亮的時間相同，那么，小剛從家隨時出發(fā)去學校，他不遇到紅燈的概率是多少？他至少遇到一次紅燈的概率是多少？

【解析】本題中，每過一個路口，只有兩種可能性——遇到紅燈或綠燈，且每個路口紅燈和綠燈亮的時間相同，即是等可能事件，又小剛每天騎自行車上學都要經過三個安裝有紅燈和綠燈的路口，因此本題與“拋硬幣模型”完全相同，所有可能的情形有8種，其中不遇到紅燈的概率就相當于同時拋出3枚硬幣時三個反面都朝上的概率，即P（不遇到紅燈）=，則P（至少遇到一次紅燈）=-

例3 甲、乙、丙三位同學打乒乓球，想通過“手心手背”游戲來決定其中哪兩個人先打，規(guī)則如下：三個人同時各用一只手隨機出示手心或手背，若只有兩個人手勢相同（都是手心或都是手背），則這兩人先打，若三人手勢相同，則重新決定.那么通過一次“手心手背”游戲能決定甲打乒乓球的概率是_______.

【解析】本題中，每次出示的手勢只有兩種等可能情況——手心或手背，三個人同時各用一只手隨機出示手心或手背相當于拋擲3次硬幣隨機出現(xiàn)正面與反面，因此本題與“拋硬幣模型”完全相同，所有可能的情形有8種，通過一次“手心手背”游戲能決定甲打乒乓球的可能情況有4種，所以P（通過一次“手心手背”游戲能決定甲打乒乓球）=

由此可見，通過對問題的轉化，我們可以將許多看上去不一樣的問題歸結為用同一個模型來解決的問題，讓我們感受到模型思想的魅力.因此我們在學習中要重視對模型的提煉，尋找更多的數(shù)學模型，用以解決生活中的實際問題，不斷提高自己構建模型、運用模型的能力.

運用上述模型解下列問題：

在某電視臺的一檔選秀節(jié)目中，有三位評委，每位評委在選手完成才藝表演后，出示“通過”（用√表示）或“淘汰”（用×表示）的評定結果.節(jié)目組規(guī)定：每位選手至少獲得兩位評委的“通過”才能晉級.

（1）請用樹形圖列舉出選手A獲得三位評委評定的各種可能的結果；

（2）求選手A晉級的概率.

提示：評委出示的結果只有兩種等可能的情形——通過或淘汰，確定選手是否晉級必須三位評委給出結果后才能確定，這與“拋硬幣模型”完全相同.

江蘇省興化市板橋初級中學）