劉麗亞，谷 峰

(杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310036)

乘積b-度量空間中擴(kuò)張型映象的公共不動(dòng)點(diǎn)定理

劉麗亞，谷 峰

(杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310036)

在完備的乘積b-空間中，建立一個(gè)擴(kuò)張型條件，研究了公共不動(dòng)點(diǎn)的存在性和唯一性，從而得到了一個(gè)新的公共不動(dòng)點(diǎn)定理，改進(jìn)了相關(guān)文獻(xiàn)的結(jié)果.

完備乘積b-空間；擴(kuò)張型映象；公共不動(dòng)點(diǎn)

擴(kuò)張型映象是一類重要的非線性映象,其不動(dòng)點(diǎn)的存在性備受關(guān)注.Czerwik在文[1]中介紹了b-度量空間的概念，文[2-7]在b-度量空間中研究了滿足一定壓縮條件下非線性算子不動(dòng)點(diǎn)的存在性問題，得到了一些新結(jié)果.

2008年，Bashirov等[8-9]介紹了乘積度量空間的概念.2012年，F(xiàn)lorack等[10]研究了在乘積度量空間中的一些實(shí)際應(yīng)用.此后，文[11-14]進(jìn)一步討論了乘積度量空間中的不動(dòng)點(diǎn)問題，得到了相關(guān)的公共不動(dòng)點(diǎn)定理.文[15]利用映象對(duì)相容和弱相容的條件，討論了完備度量空間中4個(gè)映象的一類新的壓縮映象的公共不動(dòng)點(diǎn)問題.

受上述文獻(xiàn)的啟發(fā)，本文引入了乘積b-度量空間的定義，在完備乘積b-度量空間中研究擴(kuò)張型映象的不動(dòng)點(diǎn)存在性問題，得到了幾個(gè)新的不動(dòng)點(diǎn)定理，推廣了一些已知的相關(guān)結(jié)果，而且也是度量空間中某些經(jīng)典結(jié)果在錐度量空間的進(jìn)一步推廣.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[1]設(shè)X是一非空集，令d:X×X→R+滿足

(b-1)d(x,y)=0，若x=y；

(b-2)d(x,y)=d(y,x), ?x,y∈X且x≠y；

(b-3)d(x,y)≤k(d(x,z)+d(z,y)),?x,y,z∈X,k≥1.

則稱函數(shù)d是X上的一個(gè)b-度量，稱(X,d)為b-度量空間，其中k為其系數(shù).

定義2[8]設(shè)X是一非空集，令d:X×X→R+滿足

(M-1)d(x,y)≥1，?x,y∈X;

(M-2)d(x,y)=1當(dāng)且僅當(dāng)x=y,?x,y∈X；

(M-3)d(x,y)=d(y,x)，?x,y∈X；

(M-4)d(x,y)≤d(x,z)·d(z,y),?x,y,z∈X.

則稱函數(shù)d是X上的一個(gè)乘積度量，稱(X,d)為乘積度量空間.

定義3[8]設(shè)X是一非空集，令d:X×X→R+滿足

(Mb-1)d(x,y)≥1，?x,y∈X；

(Mb-2)d(x,y)=1當(dāng)且僅當(dāng)x=y,?x,y∈X；

(Mb-3)d(x,y)=d(y,x), ?x,y∈X；

(Mb-4)d(x,y)≤(d(x,z)·d(z,y))k,?x,y,z∈X,k≥1.

則稱函數(shù)d是X上的一個(gè)乘積b-度量，稱(X,d)為乘積b-度量空間，其中k為其系數(shù).

例1設(shè)X是一非空集, (X,d)是一b-度量空間，其中k≥1為其系數(shù).定義d:X×X→R+滿足d(x,y)=ed(x,y)，從而可知函數(shù)d在X上滿足條件(Mb-1)，(Mb-2)和(Mb-3).且易得，對(duì)于?z∈X，有

由此證得(X,d)是一乘積b-度量空間，且k是其系數(shù).

例2定義函數(shù)d:(R+)n×(R+)n→R如下：

其中x=(x1,x1,…,xn),y=(y1,y1,…,yn)∈(R+)n,且|·|:R+→R+定義為

其中實(shí)數(shù)k>1.顯然易知d是定義在R+上的乘積b-度量，且k為其系數(shù).

定義4[15]設(shè)X是一非空集，(X,d)為乘積b-度量空間.序列{xn}?X,n∈+，如果存在x∈X，使得則稱序列{xn}收斂于x，也稱x為序列{xn}的極限，記為x.

定義5[15]設(shè)X是一非空集，(X,d)為乘積b-度量空間.{xn}?X，如果對(duì)于任意的ε>1，存在+，使得對(duì)于任意的m,n≥+，有d(xn,xm)<ε.則稱{xn}為(X,d)上的柯西列.

定義6[15]設(shè)X是一非空集，(X,d)為乘積b-度量空間.如果對(duì)于(X,d)上的每個(gè)柯西列在X上都是收斂的，則稱(X,d)為完備的乘積b-度量空間.

引理1設(shè)X是一非空集，(X,d)為乘積b-度量空間，其中實(shí)系數(shù)k≥1.序列{xn}和{yn}?X分別收斂于x和y∈X，則有

證明由條件(Mb-4)可得

d(xn,yn)≤(d(xn,x)·d(x,yn))k=(d(xn,x))k·(d(x,yn))k≤

(d(xn,x))k·(d(x,y))k2·(d(y,yn))k2.

(1)

d(x,y)≤(d(x,xn)·d(xn,y))k=(d(x,xn))k·(d(xn,y))k≤

(d(x,xn))k·(d(xn,yn))k2·(d(yn,y))k2.

(2)

于式(1)，(2)，令n→∞取極限，又由定義3可得

令{yn}=z，由條件(Mb-4)可得

d(xn,z)≤(d(xn,x)·d(x,z))k.

(3)

d(x,z)≤(d(x,xn)·d(xn,z))k.

(4)

于式(3)，(4)，令n→∞取極限，又由定義3可得

證明由條件(Mb-3)可得

d(yn,t)≤(d(yn,xn)·d(xn,t))k.

(5)

于式(5)，令n→∞取上極限得

定義8[15]乘積b-度量空間(X,d)中的自映象對(duì)(f,g)稱為是弱相容的，若fx=gx,x∈X,就有fgx=gfx,即d(fx,gx)=1?d(fgx,gfx)=1.

例3[8]設(shè)X=[0,+∞)，(X,d)是乘積b-度量空間，即d(x,y)=e(x-y)2,?x,y∈X.f,g是X上的兩個(gè)自映象，分別定義為

于是可得，當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)，fx=gx=2,進(jìn)而有fgx=gfx=2.可證得(f,g)是弱相容的.

2 主要結(jié)果

定義函數(shù)φ:[0,+∞)5→[0,+∞)滿足以下條件：

1)φ是非減的，且關(guān)于每個(gè)元素都連續(xù)；

2) 對(duì)于?t≥1，存在函數(shù)φ:[0,+∞)→[0,+∞)，使得

φ(t)=min{φ(t,t,t,t,t),φ(t,1,1,t,t),φ(t,1,t,1,t),φ(1,t,1,t,t),φ(t,t,1,t,1)}≥t.

(6)

定理1設(shè)X是一非空集，(X,d)是完備的乘積b-度量空間，其中s≥1為其系數(shù).f,g,T,S:X→X為X上的4個(gè)自映象，且滿足以下條件:

1)fX?TX;gX?SX;

2) ?λ∈(0,1),使得?x,y∈X有

dλ(fx,gy)≥φ{(diào)ds4(Sx,Ty),ds4(Sx,fx),ds4(Ty,gy),(d(fx,gy)·d(Sx,gy))s5,(d(fx,gy)·d(Ty,fx))s5}.

(7)

如果f,g,S和T滿足下面條件之一，則f,g,S和T有唯一的公共不動(dòng)點(diǎn).

(a) (f,S)其中之一連續(xù)，(f,S)是相容的，(g,T)是弱相容的；

(b) (g,T)其中之一連續(xù)，(g,T)是相容的，(f,S)是弱相容的.

證明任取x0∈X,因?yàn)閒X?TX,所以?x1∈X,使得fx1=Tx0,又由gX?SX,可知?x2∈X,使得gx2=Sx1,….依此類推可得到序列{yn}?X,即為

y2n=Tx2n=fx2n+1;y2n+1=Sx2n+1=gx2n+2,n=0,1,2,….

首先，由條件(Mb-4)可知

d(y2n+1,y2n+2)≤(d(y2n,y2n+1)·d(y2n,y2n+2))s.

(8)

在式(7)中令(x,y)=(x2n+1,x2n+2),又由式(8)可得

即

dλ(y2n,y2n+1)≥φ{(diào)ds4(y2n+1,y2n+2),ds4(y2n,y2n+1),ds4(y2n+1,y2n+2),ds4(y2n,y2n+1),ds4(y2n+1,y2n+2)}.

(9)

假設(shè)d(y2n+1,y2n+2)>d(y2n,y2n+1)成立，那么d(y2n+1,y2n+2)>1(否則,d(y2n,y2n+1)<1,出現(xiàn)矛盾).由式(6)，可將式(9)整理為

即dλ(y2n,y2n+1)≥ds4(y2n,y2n+1),出現(xiàn)矛盾.所以有d(y2n+1,y2n+2)≤d(y2n,y2n+1).此時(shí)由式(6)，(9)可得

即

d(y2n+1,y2n+2)≤dh(y2n,y2n+1).

(11)

同理，可證得

d(y2n,y2n+1)≤dh(y2n-1,y2n).

(12)

由式(11)，(12)可得，對(duì)于?n∈,有

d(yn,yn+1)≤dh(yn-1,yn)≤dh2(yn-2,yn-1)≤…≤dhn(y0,y1).

(13)

因此對(duì)于?m,n∈,m>n,根據(jù)條件(Mb-4)和式(13)可得

又由y2n=Tx2n=fx2n+1;y2n+1=Sx2n+1=gx2n+2,n=0,1,2,…,可知

(14)

以下證明t是f,g,S和T的公共不動(dòng)點(diǎn).

第一步:證明St=t.由式(7)可得

于式(15)，令n→∞,取極限，又由式(6)和引理1，可得

上式即為dλ(St,t)≥d(St,t).又由條件λ∈(0,1)和s≥1,可知d(St,t)=1,即St=t.

第二步:證明gt=Tt=t.由t∈SX?gX,所以?u∈gX,使得gu=St=t.

由式(8)可知

于式(16)，令n→∞,取極限，又由式(6)和引理1，可得

由條件λ∈(0,1)和s≥1,可知d(t,Tu)=1,進(jìn)而可知Tu=gu=t.又由(g,T)是弱相容的，從而可知gt=gTu=Tgu=Tt.

現(xiàn)證gt=t.在式(7)中令(x,y)=(x2n+1,t),可得

于式(17)，令n→∞,取極限，又由式(6)和引理1，可得

由條件λ∈(0,1)和s≥1,可知d(t,Tgt)=1,進(jìn)而有g(shù)t=t.所以Tt=gt=t.

第三步:證明ft=t.又由式(6)，(7)可知

由條件λ∈(0,1)和s≥1,可得d(t,ft)=0,即ft=t,從而可知ft=gt=St=Tt=t.

于式(18)，令n→∞，取極限，又由式(6)和引理1，可得

由條件λ∈(0,1)和s≥1,可知d(ft,t)=1,進(jìn)而有ft=t.

接下來(lái)證明ft=St成立.在式(7)中，令(x,y)=(t,x2n+2),可得

于式(19)，令n→∞,取極限，又由式(6)和引理1，可得

由條件λ∈(0,1)和s≥1,可知d(St,t)=1,從而有St=t.

重復(fù)(I)中的第二步操作，即可得gt=Tt=t.從而可知ft=gt=St=Tt=t.

類似于(I)和(II)的思路，條件(b)也可證得ft=gt=St=Tt=t,即f,g,T和S有公共不動(dòng)點(diǎn).

最后證明公共不動(dòng)點(diǎn)的唯一性.

假設(shè)?t*∈X,使得ft*=gt*=St*=Tt*=t*.那么由式(6)，(7)可得

由條件λ∈(0,1)和s≥1,可知d(t,t*)=1,進(jìn)而有t=t*.即f,g,T和S的公共不動(dòng)點(diǎn)具有唯一性.

注1在定理1中如果取S=T=I(I表恒等映像)，即可證得以下結(jié)論.

推論1設(shè)X是一非空集，(X,d)是完備的乘積b-度量空間，其系數(shù)為s≥1.f,g:X→X為X上的兩個(gè)自映象，且滿足以下條件:?λ∈(0,1),使得?x,y∈X有

dλ(fx,gy)≥φ{(diào)ds4(x,y),ds4(x,fx),ds4(y,gy),(d(fx,gy)·d(x,gy))s5,(d(fx,gy)·d(y,fx))s5}，

則f和g有唯一的公共不動(dòng)點(diǎn).

定理2設(shè)X是一非空集，(X,d)是完備的乘積b-度量空間，其系數(shù)為s≥1.f,g,T,S:X→X為X上的4個(gè)自映象，且滿足以下條件:

1)fX?TX;gX?SX;

2) ?λ∈(0,1),使得?x,y∈X有

dλ(fx,gy)≥min{ds4(Sx,Ty),ds4(Sx,fx),ds4(Ty,gy),(d(fx,gy)·d(Sx,gy))s5,(d(fx,gy)·d(Ty,fx))s5}.

如果f,g,S和T滿足下面條件之一，則f,g,S和T有唯一的公共不動(dòng)點(diǎn).

(a) (f,S)其中之一連續(xù)，(f,S)是相容的，(g,T)是弱相容的；

(b) (g,T)其中之一連續(xù)，(g,T)是相容的，(f,S)是弱相容的.

證明類似于定理1的證明方法，可證得.

推論2設(shè)X是一非空集，(X,d)是完備的乘積b-度量空間，其系數(shù)為s≥1.f,g,T,S:X→X為X上的4個(gè)自映象，且滿足以下條件：

1)fX?TX;gX?SX;

2) ?λ∈(0,1)，使得?x,y∈X有

dλ(fx,gy)≥min{ds4(Sx,Ty),ds4(Sx,fx),ds4(Ty,gy)}.

如果f,g,S和T滿足下面條件之一，則f,g,S和T有唯一的公共不動(dòng)點(diǎn).

(a) (f,S)其中之一連續(xù)，(f,S)是相容的，(g,T)是弱相容的；

(b) (g,T)其中之一連續(xù)，(g,T)是相容的，(f,S)是弱相容的.

[1] CZERWIK S. Contraction mappings inb-metric spaces[J]. Acta Math Inform Univ Ostrav,1993,1(1):5-11.

[2] AGHAJANI A, ABBAS M, ROSHAN J. Common fixed point of generalized weak contractive mappings in partially orderedb-metric spaces[J]. Math Slovaca,2014,64(4):941-960.

[3] AKKOUCHI M. Common fixed point theorems for two selfmappings of ab-metric space under an implicit relation[J]. Hacettepe Journal of Mathematics and Statics,2011,40(6):805-810.

[4] BOTA M F, KARAPINAR E, MLESNITE O. Ulam-Hyers stability results for fixed point problems via α-ψ-contractive mapping inb-metric space[J]. Abstr Appl Anal,2013,2013:825293.

[5] BOTA M F, KARAPINAR E. A note on “some results on multi-valued weakly Jungck mappings inb-metric space”[J]. Cent Eur J Math,2013,11(9):1711-1712.

[6] AYDI H, BOTA M F, KARAPINAR E, et al. A common fixed point for weakφ-contractions onb-metric spaces[J]. Fixed Point Theory,2012,13(2):337-346.

[7] HUSSAIN N, SHAH M H. KKM mappings in coneb-metric spaces[J]. Comput Math Appl,2011,62(4):1677-1684.

[8] BASHIROV A E, KURPLNARA E M, OZYAPLCL A. Multiplicative calculus and its applications[J]. J Math Anal Appl,2008,337(1):36-48.

[9] BASHIROV A E, MISIRLI E, TANDOGDU Y, et al. On modeling with multiplicative differential equations[J]. Appl Math J Chin Univ,2011,26(4):425-438.

[10] FLORACK L, ASSEN H V. Multiplicative calculus in biomedical image analysis[J]. J Math Imaging Vis,2012,42(1):64-75.

[11] HE X J, SONG M M, CHEN D P. Common fixed points for weak commutative mappings on a multiplicative metric space[J]. Fixed Point Theory Appl,2014,2014:48.

[12] ABBAS M, ALI B, SULEIMAN Y I. Common fixed points of locally contractive mappings in multiplicative metric spaces with application[J]. Int J Math Math Sci,2015,2015:218683.

[13] KANG S M, KUMAR P, KUMAR S, et al. Common fixed points for compatible mappings and its variants in multiplicative metric spaces[J]. Int J Pure Appl Math,2015,102(2):383-406.

[14] ?ZAVSAR M, CEVIKEL A C. Fixed point of multiplicative contraction mappings on multiplicative metric spaces[J]. Mathematics,2012,arXiv:1205.5131v1.

[15] GU F, CHO Y J. Common fixed point results for four maps satisfyingφ-contractive condition in multiplicative metric spaces[J]. Fixed Point Theory Appli,2015,2015(1):165.

ACommonFixedPointTheoremofExpandingMappingsinMultiplicativeb-metricSpaces

LIU liya, GU Feng

(School of Science, Hangzhou Normal University, Hangzhou 310036, China)

In complete multiplicativeb-metric spaces, by establishing a new expanding condition, the existence and the uniqueness of the common fixed point are studied, a new common fixed point theorem is obtained, which improves the corresponding results in some references.

complete multiplicativeb-metric space; expanding mappings; common fixed point

2016-08-23

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11071169)；浙江省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(Y6110287).

谷 峰(1960-)，男，教授，主要從事非線性泛函分析及應(yīng)用研究.E-mail：gufeng99@sohu.com

10.3969/j.issn.1674-232X.2017.06.012

O177.91MSC201047H10；54H25

A

1674-232X(2017)06-0634-07