判別式法判定曲線間位置關(guān)系的原理

劉鴻春

(江蘇省高郵市第一中學 225600)

1 判別式法能直接使用嗎

若直線方程和二次曲線方程消元后得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，則我們可以通過該一元二次方程的判別式來判定直線和二次曲線的公共點個數(shù)．那么，它的理由是什么？教材和教輔資料上一般是將這個方法拿來就用．事實上，不少師生也認為這個方法理所當然，大家已經(jīng)達成共識．下面看教科書上的例題和解答．

例1 (人教A版必修二)已知直線l：3x+y-6=0和圓心為C的圓x2+y2-2y-4=0.判斷直線l與圓的位置關(guān)系．

解析(課本解法一)：由直線l與圓的方程，得

①

消去y，得

x2-3x+2=0，

②

因為

Δ=(-3)2-4×1×2=1>0,

所以，直線l與圓相交，有兩個公共點．

細細思量，學生的想法有他的道理，那么問題出在什么地方？是教科書上的解答上不完善？還是學生的想法多余了？對于教科書上解答的嚴密性，筆者從來沒有思考過這個問題，一時還不能給出答復．后經(jīng)查閱資料，思考研究，筆者從方程組同解理論給出統(tǒng)一、簡潔的理由，并進行拓展，給出判別式法在二次曲線和二次曲線的位置關(guān)系判定上的一些思考．

2 判別直線和二次曲線間位置關(guān)系

對于直線l:Ax+By+C=0而言，A與B不同時為0，下面不妨B≠0，若A≠0，同理可得相關(guān)結(jié)論．

說明2值得注意的是，下列方程組一般不同解，是推出關(guān)系，

舉例x2+y2=1與x+y-1=0聯(lián)立，消去y得x2-x=0，有

3 判別兩二次曲線間的位置關(guān)系

如果兩個曲線都是二次曲線，消元后得到一元二次方程，能用該判別式判定這兩個曲線公共點個數(shù)嗎？

不能！因為得到的一元二次方程的判別式與零比較只有三種情況，而兩個二次曲線的公共點的個數(shù)有五種不同的情況(0,1,2,3,4)，所以兩者之間不可能建立一一對應的關(guān)系.

從代數(shù)的角度分析，記二次曲線C1:f1(x,y)=0，C2:f2(x,y)=0，

若f1(x,y)=0與f2(x,y)=0聯(lián)立消元后，可以得一元二次方程mx2+nx+k=0(m≠0)，易知下列方程組③與④同解,

說明一般地，方程組④中f1(x,y)=0與f2(x,y)=0都不可少，比如：

由x2+y2=1和x2+y2-x-y=0聯(lián)立，消去y可得x2-x=0，

由x2+y2+2x=0和y2=x聯(lián)立，消去y得x2+3x=0，x=0對應的y值為0，x=-3對應的y值不存在．

由x2+y2-2x=0和y2=x聯(lián)立，消去y得x2-x=0，x=0對應的y值為0，x=1對應的y值為±1．

一般地，在方程mx2+nx+k=0(m≠0)有解的情況下，不能僅用判別式來研究兩二次曲線公共點的個數(shù)．那么，在特殊情況下，能否用判別式來判定兩二次曲線公共點的個數(shù)？看下列例子．

例2(人教A版必修二)已知圓C1:x2+y2+2x+8y-8=0，圓C2:x2+y2-4x-4y-2=0，試判斷圓C1和圓C2的關(guān)系.

解析(課本解法一) 圓C1和圓C2的方程聯(lián)立，得到方程組

①-②得

x+2y-1=0，

③

由③得

把上式代入①并整理，得

x2-2x-3=0

④

方程④根的判別式

Δ =(-2)2-4×1×(-3)

=16>0,

所以，方程④有兩個不等的實數(shù)根x1,x2，把x1,x2分別代入③，得到y(tǒng)1,y2．

因此圓C1和圓C2有兩個不同的公共點A(x1,y1),B(x2,y2).

反思與例1相比較，例2的解答在計算判別式之后，未立即下結(jié)論，而是由x1,x2分別對應唯一的y1,y2，再下結(jié)論，這個步驟是否可??？

結(jié)論2若兩圓的方程聯(lián)立消去y(或x)之后得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，則該一元二次方程解的個數(shù)即為兩圓的公共點個數(shù).

證明設圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0①，圓C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0②，

(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0③．

說明1由結(jié)論2可知，例2的解答中可以直接用④的判別式判定兩圓的公共點個數(shù)．

說明2從同解的角度看，例2的解題邏輯如下：

涉及兩二次曲線公共點的問題，我們還有下列結(jié)論．

下面舉一例說明.

(1)求a,b的值；

(2)若動圓(x-m)2+y2=1和橢圓C沒有公共點，求m的取值范圍．

解析(1)a=4,b=2．過程略.

①

②

令f(x)=3x2-8mx+4m2+12,

由題意可知，

解得m∈(-∞,5)∪(-3,3)∪(5,+∞)．