一個(gè)三角形不等式的證明與類比

賀 斌 孟凡海 閔 華

(湖北省谷城縣第三中學(xué) 441700)

在△ABC中，設(shè)∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a、b、c，則有如下不等式成立：

(1)

筆者查閱資料，未見(jiàn)有人給出(1)式的證明．為此本文將給出不等式(1)的證明，并通過(guò)類比，給出了兩個(gè)與之類似的不等式．

我們先給出不等式(1)的證明．

證明因?yàn)樵凇鰽BC中有

故欲證(1)式，只需證

(cosB+cosC)a2+(cosC+cosA)b2+(cosA+cosB)c2≥a2+b2+c2．

(2)

由余弦定理知， (2)式?

(b2+c2)cosA+(c2+a2)cosB+(a2+b2)cosC

≥2bccosA+2cacosB+2abcosC

?

(b-c)2cosA+(c-a)2cosB+(a-b)2cosC≥0．

(3)

不妨設(shè)A≤B≤C，則∠A、∠B均為銳角，

cosA、cosB>0，且c-a≥b-a≥0．

從而 (c-a)2≥(b-a)2，

進(jìn)而有 (c-a)2cosB≥(b-a)2cosB，

所以

(c-a)2cosB+(a-b)2cosC

≥(a-b)2(cosB+cosC)．

所以(c-a)2cosB+(a-b)2cosC≥0，

又(b-c)2cosA≥0，

將以上兩式相加知：(3)式成立，從而原不等式(1)成立．證畢．

類比不等式(1)，筆者發(fā)現(xiàn)，在△ABC中，如下的兩個(gè)不等式也是成立的：

(5)

(4)式的證明

將以上三式相加，并注意到a=bcosC+ccosB等三式，得

+(ccosA+acosC)+(acosB+bcosA)]

(5)式的證明

?a2·(1-cosA)+b2·(1-cosB)+

?a2cosA+b2cosB+c2cosC

(6)

不妨設(shè)A≤B≤C，則

a2≤b2≤c2，cosA≥cosB≥cosC，

于是，根據(jù)切比雪夫不等式知

a2cosA+b2cosB+c2cosC

沿著本文的思路，讀者還可以提出一些類似的不等式，這里還有較大的探索空間．