巧添“輔助”，事半功倍

鄭浩明

(江蘇省鹽城市亭湖初級中學 224000)

巧添“輔助”，事半功倍

鄭浩明

(江蘇省鹽城市亭湖初級中學 224000)

平面幾何問題是初中數(shù)學中的重點內(nèi)容，有些平面幾何問題的解決離不開輔助線的添加.但是如何合理添加輔助線是一個極為重要的問題，合理地添加輔助線能夠事半功倍地解決問題，而輔助線添加得不好，就會陷入勞而無功的境地，所以對于輔助線問題的研究非常有必要.

輔助線；復制圓；平面幾何

在初中數(shù)學的平面幾何問題中，輔助線的添加對于平面幾何問題的解決至關(guān)重要，通過適當?shù)奶砑虞o助線，不但可以充分挖掘題目中的隱含條件，還能夠?qū)⒃究此坪翢o關(guān)聯(lián)的條件加聯(lián)系起來.教師在平時的教學過程中要注意這一方面的教學研究.

一、添加輔助線，巧求余弦值

對于平面幾何中的三角函數(shù)問題，通過題中的顯性條件有時無法很好地解決問題.而通過添加輔助線，可以充分挖掘題目中的隱含條件，將原本無法直接解決的問題進行轉(zhuǎn)化，提高解題效率.

例1 如圖所示，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，BC>AD，AD=2，AB=4，AB上有點E，現(xiàn)將△CBE沿CE向上翻折，使得點B恰好與點D重合，請求出∠BCE的余弦值.

分析對于本題，題干中的條件無法直接得到所要求的結(jié)論，對于所要求的余弦值，在相關(guān)三角形中并沒有已知的長度，所以需要將問題進行轉(zhuǎn)化，將∠BCE轉(zhuǎn)化為其它角.而題干中的“翻折”就是解決此題的突破口，通過適當?shù)奶砑虞o助線，將問題進行合理轉(zhuǎn)化.

二、添加輔助線，證明邊相等

平面幾何中的證明問題一直都是中考中的熱點問題，這些問題往往都需要通過添加輔助線來解決.通過添加輔助線，可以將原本無法直接使用的條件進行合理轉(zhuǎn)化，獨辟蹊徑的解決問題，而且添加輔助線的方法多種多樣，還能鍛煉學生的發(fā)散思維.

例2 如圖所示，在△ABC中，AB=AC，D點在AB上，E點在AC的延長線上，DE與BC相交于F，并且DB=CE，求證：DF=EF.

分析對于此題，題目中的條件并沒有提供線段的長度，所以通過代數(shù)的方法求出線段的長度顯然不可行，此時轉(zhuǎn)換思路，可以通過證明三角形全等來證明DF=EF，但是這兩條線段所在的三角形顯然不全等，所以可通過添加輔助線，構(gòu)造三角形來證明DF=EF.

解如圖所示，過點D作DG∥AC，與BC相交于G，所以∠DGB=∠ACB.因為AB=AC，所以∠ABC=∠ACB，所以∠DGB=∠ABC，所以DG=DB.又因為DB=CE，所以DG=CE.在△DFG和△EFC中，DG=EC,∠GDF=∠CEF,∠DFG=∠EFC，所以△DFG?△EFC，所以DF=EF.

三、添加輔助圓，巧求線段長

在平面幾何的問題中，添加輔助線段或者輔助直線非常常見，而添加輔助圓卻比較少見.但是輔助圓也是輔助線中的一種，而且添加輔助圓可以更好地解決問題，將問題以圓為載體呈現(xiàn)出來，會讓解題思路更加開闊，問題的解決也會變得容易.

例3 如圖所示，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB=AC=AD=5，BC=6，請求出BD的長度.

分析本題的各個條件之間似乎無法直接聯(lián)系起來，而所要求的結(jié)論與已知條件之間的關(guān)系也不是很明確，仔細觀察已知條件，發(fā)現(xiàn)如果添加輔助圓的話，會使得復雜的問題變得柳暗花明.

綜上所述，在平面幾何問題中，對于一些條件與結(jié)論之間關(guān)系不明確的問題，通過添加輔助線可以很好地解決問題.但是輔助線的添加非常具有靈活性，合理的添加輔助線對于解題至關(guān)重要，這就需要學生在平時的復習中勤加練習，多做歸納總結(jié).

[1]王璟.巧添輔助線解答三角形問題[J].數(shù)理化學習(教研版),2017(03).

[2]宋桂珂.初中數(shù)學輔助線技巧淺略[J].學周刊,2015(02).

2017-07-01

鄭浩明(1988.06-)，男，江蘇省鹽城人，本科，中學二級教師，主要從事數(shù)學教學與研究.

G632

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1008-0333(2017)32-0012-02

李克柏]