巧構(gòu)幾何圖形 妙解代數(shù)問題

李冰冰

數(shù)學(xué)是中學(xué)的一門重要學(xué)科，而數(shù)學(xué)中的代數(shù)是比較復(fù)雜且枯燥的，如何解決代數(shù)問題，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的一個(gè)難點(diǎn)，因此在解題過程中需要尋找不同的思路與方法。本文主要探討如何通過構(gòu)造幾何圖形解決代數(shù)問題，將數(shù)與形結(jié)合起來，把代數(shù)問題轉(zhuǎn)換成幾何圖形，有利于直觀地看出代數(shù)式所表達(dá)的內(nèi)容，能夠通過圖形將復(fù)雜的代數(shù)問題簡(jiǎn)單化，提高解題效率，開發(fā)學(xué)生思維靈活性，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力。

一、代數(shù)問題幾何化的必要性

將代數(shù)問題幾何化這一思路方法，本質(zhì)上就是把抽象的代數(shù)問題和具象化的幾何問題相互結(jié)合起來，相互彌補(bǔ)不足之處，如幾何問題的長(zhǎng)處是能夠直觀地看出圖形，能直觀地理解兩者之間的關(guān)系，但是不足之處則是表達(dá)不夠簡(jiǎn)練。而代數(shù)式的表達(dá)都比較簡(jiǎn)練，但是代數(shù)是公式化的問題，解決起來比較復(fù)雜，沒有直觀的形象，因此代數(shù)問題是讓很多學(xué)生都頭痛的問題。將代數(shù)問題幾何化其本質(zhì)就是把抽象問題具體化，把復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，通過對(duì)圖形的處理，能夠發(fā)揮出直觀圖對(duì)抽象代數(shù)的支柱作用。

目前全國正在大力推行素質(zhì)教育，而創(chuàng)新教育是素質(zhì)教育的重要環(huán)節(jié)，因此，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力是全國推廣素質(zhì)教育的重點(diǎn)，而創(chuàng)新能力培養(yǎng)的重點(diǎn)就是加強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力，創(chuàng)新思維能力的實(shí)質(zhì)是通過不同的思路、不同解題方法的綜合運(yùn)用，在前人解決問題的基礎(chǔ)上，通過發(fā)散性思維的創(chuàng)造，能夠有新的解決問題的思路，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)上培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，也顯得尤為重要。

本文通過對(duì)勾股定理將代數(shù)問題幾何化的研究，開拓初中生的思維能力，培養(yǎng)解決問題的創(chuàng)新方法。

二、代數(shù)問題幾何化的基本步驟

數(shù)學(xué)是一門很神奇的學(xué)科，數(shù)學(xué)中的很多代數(shù)問題都可以轉(zhuǎn)換成圖形來解決，如果單純使用代數(shù)來解決問題，則會(huì)比較困難，而數(shù)學(xué)中的數(shù)字都能轉(zhuǎn)換成圖形，這就代表在代數(shù)解題時(shí)也可以通過構(gòu)建圖形來解決。一些代數(shù)問題本身比較復(fù)雜，對(duì)于初中生來說解決起來比較困難，甚至?xí)霈F(xiàn)無從下手的情況。通過將有明顯意義的代數(shù)轉(zhuǎn)換成幾何問題來研究，從而獲得問題的解決方法，這一方式通常被稱為構(gòu)造圖形法。但是代數(shù)問題幾何化的關(guān)鍵，在于引導(dǎo)學(xué)生去觀察代數(shù)、分析代數(shù)的性質(zhì)，將代數(shù)類比成幾何圖形，發(fā)揮聯(lián)想的能力，然后找出代數(shù)和幾何的共同點(diǎn)，建立幾何模型。一般用幾何方法來解決代數(shù)問題，都是以下幾個(gè)步驟：首先，需要構(gòu)建一個(gè)代數(shù)模型，將需要求解或推導(dǎo)的代數(shù)通過適當(dāng)?shù)淖冃魏娃D(zhuǎn)換，使其能夠成為我們應(yīng)用公式的圖形；其次，通過第一個(gè)步驟的變形，建立一個(gè)幾何模型，注意，這個(gè)幾何模型需要符合代數(shù)式的特點(diǎn)，例如，面積是平方，體積是立方，兩點(diǎn)之間距離是線段，像三角形、圓形、橢圓、圓柱等，都可以用來構(gòu)建幾何模型；最后，將代數(shù)問題幾何化，就是在第二步建立幾何模型的基礎(chǔ)上，通過分析幾何模型，其實(shí)就是分析代數(shù)式的過程，解決代數(shù)式中需要推導(dǎo)的問題。

三、代數(shù)問題幾何化的應(yīng)用

勾股定理是在一個(gè)直角三角形中直角邊分別為a和b，斜邊為c，直角邊a的平方加b的平方等于c的平方。勾股定理的證明方法多種多樣，而它是在數(shù)學(xué)定理中能夠被證明最多的定理之一。所以勾股定理可以說是數(shù)形結(jié)合的典范，無論是通過圖形來推導(dǎo)勾股定理，還是用勾股定理來構(gòu)建圖形，都是能夠通過很多方法去驗(yàn)證的。

如何構(gòu)建圖形來準(zhǔn)確得到勾股定理？我們來舉下面這個(gè)例子。第一個(gè)方法：首先構(gòu)建八個(gè)全等的直角三角形，全等直角三角形的定義就是三邊相等、角度相等、形狀相等的直角三角形。假設(shè)這些三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a和b，斜邊長(zhǎng)為c，然后構(gòu)建三個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b、c的正方形，像圖1、圖2一樣拼成兩個(gè)正方形，從下圖兩個(gè)拼法可以看出，這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)都是a+b，所以這兩個(gè)正方形的面積相等，那轉(zhuǎn)換成代數(shù)的話就可以推導(dǎo)出一個(gè)等式，左邊正方形的面積是a2+b2+4×ab，而右邊正方形的面積是c2+4×ab。整理這個(gè)等式之后，就能夠得出a2+b2=c2。

其實(shí)，勾股定理的證明方法有很多種，勾股定理可以說是所有數(shù)形結(jié)合的基礎(chǔ)，也是最早開創(chuàng)數(shù)形結(jié)合的鼻祖。國內(nèi)外研究勾股定理的學(xué)者專家數(shù)不勝數(shù)，這里只是簡(jiǎn)單列舉一些比較基本的方法，也是為今后數(shù)形結(jié)合的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

總之，數(shù)學(xué)問題的解決方式很多都是相通的，尤其是代數(shù)與圖形之間。代數(shù)在數(shù)學(xué)中是一個(gè)很寬泛的概念，因此我們?cè)诮鉀Q代數(shù)問題時(shí)，不能僅把思路局限于代數(shù)之中，更多時(shí)候可以換一種解題思路，將代數(shù)轉(zhuǎn)換成幾何圖形，這是一種很好的方法。在一定程度上將代數(shù)問題轉(zhuǎn)換成幾何圖形的問題，有利于直觀地看出代數(shù)式所表達(dá)的內(nèi)容，也能夠通過圖形將復(fù)雜的代數(shù)問題簡(jiǎn)單化，提供多種解題思路。在這轉(zhuǎn)化過程中，鍛煉了學(xué)生的推導(dǎo)能力。將代數(shù)問題轉(zhuǎn)換成幾何問題對(duì)學(xué)生能力也是一種考驗(yàn)，如何將代數(shù)和幾何的圖形應(yīng)用聯(lián)系起來，需要學(xué)生充分發(fā)揮發(fā)散性思維，由此鍛煉了學(xué)生的動(dòng)腦積極性和思維靈活性。另外，將數(shù)與形結(jié)合起來，有利于將復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，提高解題效率，數(shù)和形的結(jié)合，能夠加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的綜合學(xué)習(xí)能力，也可以提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力。

（作者單位：福建省漳州市石亭中學(xué)）