高中數(shù)學(xué)中復(fù)數(shù)的運算方法

曾寅震 湖南省長沙市第一中學(xué)

高中數(shù)學(xué)中復(fù)數(shù)的運算方法

曾寅震 湖南省長沙市第一中學(xué)

在高中數(shù)學(xué)復(fù)數(shù)部分知識學(xué)習(xí)過程中，很多同學(xué)都覺得其運算方法不好掌握，在解題計算時很容易出錯。為了幫助同學(xué)們厘清復(fù)數(shù)的運算方法，文章圍繞復(fù)數(shù)的相關(guān)概念展開，通過詳細解答例題的方式復(fù)數(shù)的運算方法。

高中數(shù)學(xué) 復(fù)數(shù) 運算方法

復(fù)數(shù)相關(guān)知識在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是相對比較基礎(chǔ)的知識，其原理比較簡單，教材的描述也比較具體。復(fù)數(shù)的運算過程與平常的實數(shù)運算方式具有差異，在計算時很容易出錯。為了減少失誤，準(zhǔn)確的解答出與復(fù)數(shù)計算相關(guān)的題目，需要對其計算方法進行細致研究。

1 復(fù)數(shù)概念解析

在高中的數(shù)學(xué)教材中，其對復(fù)數(shù)的定義主要是根據(jù)實數(shù)和新數(shù)這兩個概念來進行推導(dǎo)的，實數(shù)的運算法則大家都比較熟悉。在實數(shù)的基礎(chǔ)上增加新數(shù)i，并將其記作a+i，然后再用實數(shù)b與i相乘，并記作bi，然后再將兩則運算相加，并得到復(fù)數(shù)的形式a+bi，其中，a、b都屬于實數(shù)R。經(jīng)過查閱相關(guān)文獻后，筆者發(fā)現(xiàn)人們對復(fù)數(shù)的認識存在前后兩個階段。第一個階段是復(fù)數(shù)的產(chǎn)生主要是人們在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，求解某些三次方程時發(fā)現(xiàn)了負數(shù)開平方的形式，并且部分三次方程的三個實數(shù)根客觀存在。而這與人們之前的認知之間存在矛盾之處，為了解釋這一問題，人們便引入了復(fù)數(shù)這一概念，并將其看做部分三次方程的形式解。第二階段是人們發(fā)現(xiàn)在研究平面旋轉(zhuǎn)運動時，復(fù)數(shù)及其運算能夠為其建立有效模型，復(fù)數(shù)理論被人們認知并得到了重視。復(fù)數(shù)與實數(shù)一樣，也存在四則運算，但其計算形式與結(jié)果內(nèi)涵與實數(shù)不同，復(fù)數(shù)具備典型的二元數(shù)特征，其自身極具奧妙性。

2 復(fù)數(shù)的運算方法分析

2.1 復(fù)數(shù)的運算法則分析

復(fù)數(shù)與實數(shù)一樣，具有加法、減法、乘法、除法等運算法則，復(fù)數(shù)的加法運算法則是假設(shè)X1=a+bi，x2=c+di，那么x1+x2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。在復(fù)數(shù)的加法運算法則中，復(fù)數(shù)的實部和與虛部和都是相互對應(yīng)的，并且其結(jié)果也仍然是復(fù)數(shù)。復(fù)數(shù)的加法原則滿足實數(shù)加法原則中的交換律和結(jié)合律，即三個任意的復(fù)數(shù)相加，在進行計算時其兩兩之間的順序是可以打亂的。復(fù)數(shù)的減法原則是(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i，其實部差與虛部差都是相互對應(yīng)的，并且其結(jié)果也仍然是復(fù)數(shù)。復(fù)數(shù)的乘法原則是假設(shè)X1=a+bi，x2=c+di是兩個任意的復(fù)數(shù)，并且a、b、c、d都屬于實數(shù)R，那么，X1乘以x2就可以表示為（a+bi）（c+di）=（ac-bd）+(bc+ad)i，實質(zhì)上就是將其多項式相乘并展開，合并，然后就得到上述結(jié)果。復(fù)數(shù)乘以復(fù)數(shù)之后，其結(jié)果仍然是復(fù)數(shù)。復(fù)數(shù)的除法原則是若滿足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的復(fù)數(shù)x+yi(x，y∈R)叫復(fù)數(shù)a+bi除以復(fù)數(shù)c+di的商。在解答復(fù)數(shù)的除法運算時，可以像實數(shù)一樣，將其轉(zhuǎn)化為乘法運算，只不過需要在其分子分母上同時乘以分母的共軛，實質(zhì)上就是變換其加減號。除法的運算法則是：設(shè)復(fù)數(shù)a+bi(a，b∈R)，除以c+di(c，d∈R)，其商為x+yi(x，y∈R)，即(a+bi)÷(c+di)=x+yi(x，y∈R)

因為，(x+yi)(c+di)=(cx－dy)+(dx+cy)i．

所以(cx－dy)+(dx+cy)i=a+bi．

所 以 就 有(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c^2+d^2)+(bc-ad)/ (c^2+d^2)i

2.2 復(fù)數(shù)的運算方法分析

例題1：如果有（4+2i）+(3+8i)，試求其值。

此題是一道明顯的復(fù)數(shù)加法運算題目，在進行解答時只需要根據(jù)其加法運算法則(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i進行帶入計算即可。題目中（4+2i）+(3+8i)=（4+3）+（2+8）i=7+10i。所以題目的答案是（4+2i）+(3+8i)。

例題2：計算（5-6i）+(-2-i)-(3+4i)

解：根據(jù)復(fù)數(shù)加法和減法運算法則可知，在解答此題目時只需要將其實部部分與虛部部分分別相加減即可。即（5-2-3）+（-6-1-4）i=-11i。

通過上面的幾道例題可以看出來，復(fù)數(shù)的所有運算方法都是根據(jù)其運算法則而來。要想做好與復(fù)數(shù)相關(guān)的計算題，就必須要牢固掌握其四則運算法則中的具體內(nèi)容，并在課后多加練習(xí)。隨著后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，復(fù)數(shù)的運算不僅僅停留在加減乘除這種簡單的算法中，其還會涉及到指數(shù)運算。其指數(shù)運算規(guī)則是，當(dāng)i的指數(shù)是奇數(shù)時，那么其值便是1，如果i的指數(shù)是偶數(shù)，那么其值便是-1。比如在計算i+i2+i3+、、、i2006這一道題時，需要先將原來的式子進行展開，并尋找其中的規(guī)律，然后按照復(fù)數(shù)指數(shù)的相關(guān)法則進行計算。其具體計算過程是i+i2+i3+、、i2006=（i+i2+i3+i4）+（i5+i6+i7+8）+、、、（i2001+i2002+i2003+i2004）+i2005+i2006=0+i+i2=i-1．如果不了解復(fù)數(shù)的指數(shù)運算法則，此道題目是難以解決的。

在高中數(shù)學(xué)復(fù)數(shù)的學(xué)習(xí)中，不僅要厘清復(fù)數(shù)的概念，還需要牢固掌握其四則運算法則，并記住其具體運算公式。只有這樣，才能在解答相關(guān)計算題目時游刃有余，并提高其正確性。

[1]康連霞.復(fù)數(shù)解題的常用技巧[J].教育實踐與研究，2001，08:41-42

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